高中数学常用公式及常用结论-大全.pdf

教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 1 高中数学常用公式及常用结论 1 1 1 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 2 德摩根公式德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 3 包含关系包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 4 容斥原理容斥原理 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 5 5 集合集合 12 n a aa 的子集个数共有的子集个数共有2n个个 真子集有真子集有2n 1 1 个个 非空子集有非空子集有2n 1 1 个个 非空的真子集非空的真子集 有有2n 2 2 个个 6 6 二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 顶点式顶点式 2 0 f xa xhk a 3 3 零点式零点式 12 0 f xa xxxxa 7 7 7 7 解连不等式解连不等式 Nf xM 常有以下转化形式常有以下转化形式 Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 11 f xNMN 8 8 方程方程0 xf在在 21 kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根 与与0 21 kfkf不等价不等价 前者是后者的一个必要而不是前者是后者的一个必要而不是 充分条件充分条件 特别地特别地 方程方程 0 0 2 acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在 21 kk内内 等价于等价于0 21 kfkf 或或 0 1 kf且且 22 21 1 kk a b k 或或0 2 kf且且 2 21 22 k a bkk 0a 0 时 若时 若 qp a b x 2 则 则 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 2 当当 a a 0 0 时 若时 若 qp a b x 2 则 则 min min f xf pf q 若 若 qp a b x 2 则 则 max max f xf pf q min min f xf pf q 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 2 10 10 一元二次方程的实根分布一元二次方程的实根分布 依据 若依据 若 0f m f n 2 2 方程 方程0 xf在在 区间区间 m n内有根的充要条件为内有根的充要条件为 0f m f n 或或 0 0 f n af m 3 3 方程 方程0 xf在区间在区间 n 内有根的充要条件为内有根的充要条件为 0f m 或或 2 40 2 pq p m cbxaxxf恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 0 0 0 a b c 或或 2 0 40 a bac baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是增函数 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 xf 则则 xf为增函数为增函数 如果如果0 4 4 幂函数幂函数 f xx 1 f xyf x f yf 5 5 余弦函数余弦函数 cosf xx 正弦函数正弦函数 sing xx f xyf x f yg x g y 0 0 1 lim1 x g x f x 2929 几个函数方程的周期几个函数方程的周期 约定约定 a 0a 0 1 1 axfxf 则 则 xf的周期的周期 T T a a 2 2 0 axfxf 或或 0 1 xf xf axf 或或 1 f x a f x 0 f x 或或 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x 则则 xf的周期的周期 T T 2a2a 3 3 0 1 1 xf axf xf 则 则 xf的周期的周期 T 3T 3a a 4 4 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且且 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 且 且1n 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 5 2 2 1 m n m n a a 0 am nN 且 且1n 3131 根式的性质 根式的性质 1 1 n n aa 2 2 当 当n为奇数时 为奇数时 nn aa 当当n为偶数时 为偶数时 0 0 nn a a aa a a 2 2 0 rsrs aaar sQ 3 3 0 0 rrr aba b abrQ 注注注注 若若若若 a a a a 0 0 0 0 p p p p 是一个无理数是一个无理数是一个无理数是一个无理数 则则则则 a a a a p p p p表示一个确定的实数 表示一个确定的实数表示一个确定的实数表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质上述有理指数幂的运算性质上述有理指数幂的运算性质上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指数对于无理数指数对于无理数指数对于无理数指数 幂都适用幂都适用幂都适用幂都适用 33 33 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 3434 对数的换底公式对数的换底公式 log log log m a m N N a 0a 且且1a 0m 且且1m 0N 推论推论loglog m n a a n bb m 0a 且且1a 0m n 且且1m 1n 0N 3535 对数的四则运算法则 对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a a 1 1 M M 0 0 N N 0 0 则 则 1 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog n aa MnM nR 36 36 设设函数函数 0 log 2 acbxaxxf m 记记acb4 2 若若 xf的定义域为的定义域为R 则则0 a 且且0a 且 且0 对于对于0 a的情形的情形 需要单独检验需要单独检验 37 37 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若0a 0b 0 x 1 x a 则函数则函数log ax ybx 1 1 当当ab 时时 在在 1 0 a 和和 1 a 上上log ax ybx 为增函数为增函数 2 2 当当ab 0p 0a 且 且1a 则 则 1 1 1 1 log log m pm npn 2 2 2 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 38 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N 平均增长率为 平均增长率为p 则对于时间 则对于时间x的总产值的总产值y 有 有 1 xyNp 3939 数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 6 1 1 1 2 n nn sn a ssn 数列数列 n a的前的前 n n 项的和为项的和为 12nn saaa 4040 等差数列的等差数列的通项公式通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 4141 等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 4242 等比差数列等比差数列 n a 11 0 nn aqad ab q 的通项公式为的通项公式为 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43434343 分期付款分期付款 按揭贷款按揭贷款 每次还款每次还款 1 1 1 n n abb x b 元元 贷款贷款a元元 n次还清次还清 每期利率为每期利率为b 44444444 常见三角不等式 常见三角不等式 1 1 1 1 若 若 0 2 x 则 则sintanxxx 2 2 2 2 若若 0 2 x 则 则1sincos2xx sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 4 4 柯西不等式 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 5 bababa 7272 极值定理极值定理 已知已知yx 都是正数 则有都是正数 则有 1 1 若积 若积xy是定值是定值p 则当 则当yx 时和时和yx 有最小值有最小值p2 2 2 若和 若和yx 是定值是定值s 则当 则当yx 时积时积xy有最大值有最大值 2 4 1 s 推广推广 已知已知Ryx 则有 则有xyyxyx2 22 1 1 若积 若积xy是定值是定值 则当则当 yx 最大时最大时 yx 最大 最大 当当 yx 最小时最小时 yx 最小最小 2 2 若和 若和 yx 是定值是定值 则当则当 yx 最大时最大时 xy最小 最小 当当 yx 最小时最小时 xy最大最大 7373 一元二次不等式一元二次不等式 2 0 0 axbxc 如果 如果a与与 2 axbxc 同号 则其同号 则其 解集在两根之外 如果解集在两根之外 如果a与与 2 axbxc 异号 则其解集在两根之间异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两根之简言之 同号两根之外 异号两根之 间间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx a 0 0 时 有时 有 2 2 xaxaaxa 或或xa 2 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 时时 f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 11 2 2 当当01a 或或0或或0或或0或或0所表示的所表示的平面区域平面区域上下两部分 上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 点点P在圆外在圆外 dr 点点P在圆上在圆上 dr 点点P在圆内在圆内 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 13 89 89 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线0 CByAx与圆与圆 222 rbyax 的位置关系有三种的位置关系有三种 0相离rd 0 相切rd 0 rrd 条公切线外切3 21 rrd 条公切线相交2 2121 rrdrr 条公切线内切1 21 rrd 无公切线内含 的参数方程是的参数方程是 cos sin xa yb 9393 椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 焦半径公式焦半径公式 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 9494 椭圆的椭圆的的内外部的内外部 1 1 点 点 00 P xy在在椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的内部的内部 22 00 22 1 xy ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab 95 95 椭圆椭圆的的切线切线方程方程 1 1 椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上一点上一点 00 P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 14 2 2 过椭圆 过椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 外一点外一点 00 P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 3 椭圆 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 与直线与直线0AxByC 相切的条件是相切的条件是 22222 A aB bc 9696 双曲线双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的的焦半径公式焦半径公式 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 97 97 双曲双曲线线的内外部的内外部 1 1 点点 00 P xy在双曲线在双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的内部的内部 22 00 22 1 xy ab 2 2 点点 00 P xy在双曲线在双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab 焦点在焦点在 x x 轴上轴上 0 上一点上一点 00 P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab 2 2 过双曲线 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 外一点外一点 00 P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 3 双曲线 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 与直线与直线0AxByC 相切的条件是相切的条件是 22222 A aB bc 100100 抛物线抛物线pxy2 2 的的焦半径公式焦半径公式 抛物线抛物线 2 2 0 ypx p 焦半径焦半径 0 2 p CFx 过焦点弦长过焦点弦长pxx p x p xCD 2121 22 101101 抛物线抛物线pxy2 2 上的动点可设为上的动点可设为 P P 2 2 y p y 或或或 2 2 2 ptptPP P x y 其中 其中 2 2ypx 102102 二 次 函 数二 次 函 数 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 的 图 象 是的 图 象 是 抛 物 线抛 物 线 1 1 顶 点 坐 标 为 顶 点 坐 标 为 2 4 24 bacb aa 2 2 焦点的坐标为 焦点的坐标为 2 41 24 bacb aa 3 3 准线方程是 准线方程是 2 41 4 acb y a 103 103 抛物线的内外部抛物线的内外部 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 15 1 1 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的内部的内部 2 2 0 ypx p 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的外部的外部 2 2 0 ypx p 2 2 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的内部的内部 2 2 0 ypx p 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的外部的外部 2 2 0 ypx p 3 3 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的内部的内部 2 2 0 xpy p 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的外部的外部 2 2 0 xpy p 4 4 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的内部的内部 2 2 0 xpy p 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的外部的外部 2 2 0 xpy p 104 104 抛物线的抛物线的切线方程切线方程 1 1 抛物线抛物线pxy2 2 上一点上一点 00 P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 y yp xx 2 2 过 过抛物线抛物线pxy2 2 外一点外一点 00 P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 y yp x x 3 3 抛物线抛物线 2 2 0 ypx p 与直线与直线0AxByC 相切的条件是相切的条件是 2 2pBAC 105 105 两个常见的曲线系方程两个常见的曲线系方程 1 1 过曲线过曲线 1 0f x y 2 0fx y 的交点的曲线系方程是的交点的曲线系方程是 12 0f x yf x y 为参数为参数 2 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程共焦点的有心圆锥曲线系方程 22 22 1 xy akbk 其中其中 22 max ka b时时 表示椭表示椭 圆圆 当当 2222 min max a bka b 为直线为直线AB的倾斜角 的倾斜角 k为直线的斜率 为直线的斜率 107107 圆锥曲线的两类对称问题圆锥曲线的两类对称问题 1 1 曲线 曲线 0F x y 关于点关于点 00 P xy成中心对称的曲线是成中心对称的曲线是 00 2 2 0Fx xyy 2 2 曲线 曲线 0F x y 关于直线关于直线0AxByC 成轴对称的曲线是成轴对称的曲线是 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 108108 四线四线 一方程一方程 对于一般的二次曲线对于一般的二次曲线 22 0AxBxyCyDxEyF 用用 0 x x代代 2 x 用用 0 y y代代 2 y 用用 00 2 x yxy 代代xy 用用 0 2 xx 代代x 用 用 0 2 yy 代代y即得方程即得方程 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 曲线的切线曲线的切线 切点弦切点弦 中点弦中点弦 弦中点方程均是弦中点方程均是 此方程得到此方程得到 109109 证明直线与直线的平行的思考途径证明直线与直线的平行的思考途径 1 1 1 1 转化为判定共面二直线无交点 转化为判定共面二直线无交点 2 2 2 2 转化为二直线同与第三条直线平行 转化为二直线同与第三条直线平行 3 3 3 3 转化为线面平行 转化为线面平行 4 4 4 4 转化为线面垂直 转化为线面垂直 5 5 5 5 转化为面面平行 转化为面面平行 110110110110 证明直线与平面的平行的思考途径 证明直线与平面的平行的思考途径 1 1 1 1 转化为直线与平面无公共点 转化为直线与平面无公共点 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 16 2 2 2 2 转化为线线平行 转化为线线平行 3 3 3 3 转化为面面平行 转化为面面平行 111111111111 证明平面与平面平行的思考途径 证明平面与平面平行的思考途径 1 1 1 1 转化为判定二平面无公共点 转化为判定二平面无公共点 2 2 2 2 转化为线面平行 转化为线面平行 3 3 3 3 转化为线面垂直 转化为线面垂直 112112112112 证明直线与直线的垂直的思考途径 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 1 1 1 转化为相交垂直 转化为相交垂直 2 2 2 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 3 3 3 3 转化为线与另一线的射影垂直 转化为线与另一线的射影垂直 4 4 4 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 转化为线与形成射影的斜线垂直 113113113113 证明直线与平面垂直的思考途径 证明直线与平面垂直的思考途径 1 1 1 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 2 2 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 3 3 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 4 4 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 5 5 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 114114114114 证明平面与平面的垂直的思考途径 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 1 1 1 转化为判断二面角是直二面角 转化为判断二面角是直二面角 2 2 2 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 115115115115 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 1 加法交换律 加法交换律 a a b b b b a a 2 2 加法结合律 加法结合律 a a b b c c a a b b c c 3 3 数乘分配律 数乘分配律 a a b b a a b b 116 116 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点 的对角线所表示的向量的对角线所表示的向量 117117117117 共线向量定理共线向量定理 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 a a a a b b b b b b b b 0 0 0 0 a a a a b b b b 存在实数存在实数 使使 a a a a b b b b PAB 三点共线三点共线 APAB APtAB 1 OPt OAtOB AB CD AB CD 共线且共线且ABCD 不共线不共线 ABtCD 且且ABCD 不共线不共线 118 118 共面向量定理共面向量定理 向量向量 p p 与两个不共线的向量与两个不共线的向量 a a b b 共面的共面的 存在实数对存在实数对 x y 使使paxby 推论推论空间一点空间一点 P P 位于平面位于平面 MABMAB 内的内的 存在有序实数对存在有序实数对 x y 使使MPxMAyMB 或对空间任一定点或对空间任一定点 O O 有序实数对 有序实数对 x y 使 使OPOMxMAyMB 119 119 对空间任一点对空间任一点O和不共线的三点和不共线的三点 A A B B C C 满足满足OPxOAyOBzOC xyzk 则当则当1k 时 对于空间任一点时 对于空间任一点O 总有 总有 P P A A B B C C 四点四点共面 当共面 当1k 时 若时 若O 平面平面 ABCABC 则 则 P P A A B B C C 四点四点共面 共面 若若O 平面平面 ABCABC 则 则 P P A A B B C C 四点不四点不共面 共面 C AB D四点共面四点共面 AD 与与AB AC 共面共面 ADxAByAC 1 ODxy OAxOByOC O 平面平面 ABCABC 120 120 空间向量基本定理空间向量基本定理 如果三个向量如果三个向量 a a b b c c 不共面 那么对空间任一向量不共面 那么对空间任一向量 p p 存在一个唯一的有序实数组 存在一个唯一的有序实数组 x x y y z z 使 使 p p x xa a y yb b z zc c 推论推论设设 O O A A B B C C 是不共面的四点 则对空间任一点是不共面的四点 则对空间任一点 P P 都存在唯一的三个有序实数 都存在唯一的三个有序实数 x x y y z z 使 使 OPxOAyOBzOC 121 121 射影公式射影公式 已知向量已知向量AB a a和轴和轴l e e 是是l上与上与l同方向的同方向的单位向量单位向量 作作 A A 点在点在l上的射影上的射影 A 作 作 B B 点在点在l上的射影上的射影 B 则则 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 17 cosABAB a a e e a a e e 122 122 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算 设设a a 123 a a a b b 123 b b b则则 1 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 3 a a 123 aaa R R 4 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 123 123 设设 A A 111 x y z B B 222 xyz 则 则 ABOBOA 212121 xx yy zz 124124 空间的 空间的线线平行或垂直线线平行或垂直 设设 111 ax y z r 222 bxyz r 则 则 a b rr P 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 12121 2 0 x xy yz z 125 125 夹角公式夹角公式 设设a a 123 a a a b b 123 b b b 则 则 coscos a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 推论推论 2222222 1 1223 3123123 a ba ba baaabbb 此即三维柯西不等式 此即三维柯西不等式 126 126 四面体的对棱所成的角四面体的对棱所成的角 四面体四面体ABCD中中 AC与与BD所成的角为所成的角为 则则 2222 cos 2 ABCDBCDA AC BD 127127127127 异面直线所成角 异面直线所成角 cos cos a b r r 12121 2 222222 111222 x xy yz za b abxyzxyz r r rr 其中 其中 090 mn时 无解 当时 无解 当1 mn时 有时 有 n m n n n m C A A 1 1 种排法种排法 4 4 4 4 两组相同元素的排列 两组元素有 两组相同元素的排列 两组元素有 mmmm 个和个和 n n n n 个 各组元素分别相同的排列数为个 各组元素分别相同的排列数为 n nm C 158158158158 分配问题 分配问题 1 1 1 1 平均分组有归属问题平均分组有归属问题 将相异的将相异的m n个物件等分给个物件等分给m个人 各得个人 各得n件 其分配方法数共有件 其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn n mn CCCCCN 22 2 2 2 2 平均分组无归属问题平均分组无归属问题 将相异的将相异的m n个物体等分为无记号或无顺序的个物体等分为无记号或无顺序的m堆 其分配方法数共有堆 其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCC N 22 3 3 3 3 非平均分组有归属问题非平均分组有归属问题 将相异的将相异的 12m P P n n n个物体分给个物体分给m个人个人 物件必须被分完物件必须被分完 分别得分别得 到到 1 n 2 n m n件 且件 且 1 n 2 n m n这这m个 数 彼 此 不 相 等 则 其 分 配 方 法 数 共 有个 数 彼 此 不 相 等 则 其 分 配 方 法 数 共 有 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mp mCCCN m m 4 4 4 4 非完全平均分组有归属问题非完全平均分组有归属问题 将相异的将相异的 12m P P n n n个物体分给个物体分给m个人 物件必须被分完个人 物件必须被分完 分分 别得到别得到 1 n 2 n m n件 且件 且 1 n 2 n m n这这m个数中分别有个数中分别有 a a a a b b b b c c c c 个相等 则其分配方法数有个相等 则其分配方法数有 2 1 1 cba mCCC N m m n n n np n p 12 m p m n nna b c 5 5 非平均分组无归属问题非平均分组无归属问题 将相异的将相异的 12m P P n n n个物体分为任意的个物体分为任意的 1 n 2 n m n件无记号的件无记号的 m堆 且堆 且 1 n 2 n m n这这m个数彼此不相等 则其分配方法数有个数彼此不相等 则其分配方法数有 21m nnn p N 6 6 6 6 非完全平均分组无归属问题非完全平均分组无归属问题 将相异的将相异的 12m P P n n n个物体分为任意的个物体分为任意的 1 n 2 n m n件无记件无记 号的号的m堆堆 且且 1 n 2 n m n这这m个数中分别有个数中分别有 a a a a b b b b c c c c 个相等个相等 则其分配方法数有则其分配方法数有 21 cbannn p N m 7 7 7 7 限定分组有归属问题限定分组有归属问题 将相异的将相异的p 2m pnnn 1 个物体分给甲 乙 丙 个物体分给甲 乙 丙 等等m个人 物个人 物 体必须被分完体必须被分完 如果指定甲得如果指定甲得 1 n件件 乙得乙得 2 n件件 丙得丙得 3 n件件 时时 则无论则无论 1 n 2 n m n等等m个数是否全相异个数是否全相异 或不全相异其分配方法数恒有或不全相异其分配方法数恒有 21 2 1 1 m n n n np n p nnn p CCCN m m 159159159159 错位问题错位问题 及其推广及其推广 贝努利装错笺问题贝努利装错笺问题 信信n封信与封信与n个信封全部错位的组合数为个信封全部错位的组合数为 1111 1 2 3 4 n f nn n 推广推广 n个元素与个元素与n个位置个位置 其中至少有其中至少有m个元素错位的不同组合总数为个元素错位的不同组合总数为 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 22 1234 1 2 3 4 1 1 mmmm ppmm mm f n mnCnCnCnCn CnpCnm 1234 1224 1 1 1 pm pm mmmmmm pm nnnnnn CCCCCC n AAAAAA 160160160160 不定方程 不定方程 2n x xxm 1 的解的个数的解的个数 1 1 1 1 方程方程 2n x xxm 1 n mN 的正整数解有 的正整数解有 1 1 m n C 个个 2 2 2 2 方程方程 2n x xxm 1 n mN 的非负整数解有 的非负整数解有 1 1 n m n C 个个 3 3 3 3 方程方程 2n x xxm 1 n mN 满足条件 满足条件 i xk kN 21in 的非负整数解有的非负整数解有 1 1 2 1 m n nk C 个个 4 4 4 4 方程方程 2n x xxm 1 n mN 满足条件 满足条件 i xk kN 21in 的正整数解有的正整数解有 12222321 2 11121221 1 n mnm n knm nknmnk nnnnnn CCCCCCC 个个 161161 二项式定理二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 210 nr 162162 等可能性事件的概率等可能性事件的概率 m P A n 163163 互斥互斥事件事件 A A B B 分别发生的概率的和分别发生的概率的和 P AP A B P A B P A P B P B 164164 n个互斥事件分别发生的概率的和个互斥事件分别发生的概率的和 P AP A1 1 A A2 2 A An n P A P A1 1 P AP A2 2 P AP An n 165165 独立事件独立事件 A A B B 同时发生的概率同时发生的概率 P P A A B B P P A A P BP B 166166 n n 个独立事件同时发生的概率个独立事件同时发生的概率 P AP A1 1 A A2 2 A An n P A P A1 1 P AP A2 2 P AP An n 167167 n n 次独立重复试验中某事件恰好发生次独立重复试验中某事件恰好发生 k k 次的概率次的概率 1 kkn k nn P kC PP 168168 离散型随机变量的分布列的两个性质离散型随机变量的分布列的两个性质 1 1 0 1 2 i Pi 2 2 12 1PP 169169 数学期望数学期望 1 122nn Ex Px Px P 170170 数学期望的性质数学期望的性质 1 1 E abaEb 2 2 若 若 B n p 则则Enp 3 3 若若 服从几何分布服从几何分布 且且 1 k Pkg k pqp 则 则 1 E p 171171 方差方差 222 1122nn DxEpxEpxEp 172172 标准差标准差 D 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 23 173173 方差的性质方差的性质 1 1 2 D aba D 2 2 若若 B n p 则 则 1 Dnpp 3 3 3 3 若若 服从几何分布服从几何分布 且且 1 k Pkg k pqp 则 则 2 q D p 174 174 方差与期望的关系方差与期望的关系 2 2 DEE 175175 正态分布密度函数正态分布密度函数 2 2 26 1 2 6 x fxex 式中的实数 式中的实数 0 0 是参数 分别表示个体的平均数与标 是参数 分别表示个体的平均数与标 准差准差 176176 标准正态分布标准正态分布密度函数密度函数 2 2 1 2 6 x fxex 177177 对于对于 2 N 取值小于 取值小于 x x 的概率的概率 x F x 12201 xxPxxPxxxP 21 F xF x 21 xx 178178 回归直线方程回归直线方程 yabx 其中 其中 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx 179179 相关系数相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 1 2222 11 n ii i nn ii ii xxyy xnxyny r r 1 1 且 且 r r 越接近于越接近于 1 1 相关程度越大 相关程度越大 r r 越接近于越接近于 0 0 相关程度越小 相关程度越小 180180 特殊数列的极限特殊数列的极限 1 1 0 1 lim11 11 n n q qq qq 不存在 或 2 2 1 10 1 10 0 lim kk kkt tt n ttk kt a nanaa kt bnb nbb kt 不存在 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 24 3 3 1 1 1 lim 11 n n aq a S qq S无穷等比数列无穷等比数列 1 1 n a q 1q 的和 的和 181181181181 函数的极限定理函数的极限定理 0 lim xx f xa 00 lim lim xxxx f xf xa 182 182 182 182 函数的夹逼性定理函数的夹逼性定理 如果函数如果函数 f x f x f x f x g x g x g x g x h x h x h x h x 在点在点 x x x x0 0 0 0的附近满足 的附近满足 1 1 1 1 g xf xh x 2 2 2 2 00 lim lim xxxx g xah xa 常数 常数 则则 0 lim xx f xa 本定理对于单侧极限和本定理对于单侧极限和 x的情况仍然成立的情况仍然成立 183 183 183 183 几个常用极限几个常用极限 1 1 1 1 1 lim0 n n lim0 n n a 1a xf 右侧 右侧0 xf 则 则 0 xf是极大值 是极大值 2 2 如果在 如果在 0 x附近的左侧附近的左侧0 xf 则 则 0 xf是极小值是极小值 1 19797 复数的相等复数的相等 abicdiac bd a b c dR 1 19898 复数复数zabi 的模 或绝对值 的模 或绝对值 z abi 22 ab 1 19999 复数的四则运算法则复数的四则运算法则 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 26 1 1 abicdiacbd i 2 2 abicdiacbd i 3 3 abi cdiacbdbcad i 4 4 2222 0 acbdbcad abicdii cdi cdcd 200 200 复数的乘法的运算律复数的乘法的运算律 对于任何对于任何 123 z zzC 有 有 交换律交换律 1221 zzzz 结合律结合律 123123 zzzzzz 分配律分配律 1231213 zzzzzzz 201201 复平面上的两点间的距离公式复平面上的两点间的距离公式 22 122121 dzzxxyy 111 zxy i 222 zxy i 202202 向量的垂直向量的垂直 非零复数非零复数 1 zabi 2 zcdi 对应的向量分别是对应的向量分别是 1 OZ 2 OZ 则 则 12 OZOZ 12 zz 的实部为零的实部为零 2 1 z z 为纯虚数为纯虚数 222 1212 zzzz 222 1212 zzzz 1212 zzzz 0acbd 12 ziz 为非零实数为非零实数 203203 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程实系数一元二次方程 2 0axbxc 若若 2 40bac 则则 2 1 2 4 2 bbac x a 若若 2 40bac 则则 12 2 b xx a 若若 2 40bac 它在实数集 它在实数集R内没有实数根 在复数集内没有实数根 在复数集C内有且仅有两个共轭复数根内有且仅有两个共轭复数根 2 2 4 40 2 bbac i xbac a 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 27 高中数学知识点总结高中数学知识点总结 1 1 1 1 对于集合 一定要抓住集合的代表元素 及元素的对于集合 一定要抓住集合的代表元素 及元素的 确定性 互异性 无序性确定性 互异性 无序性 如 集合 Ax yxBy yxCx y yxABC lg lg lg 中元素各表示什么 中元素各表示什么 2 进行集合的交 并 补运算时 不要忘记集合本身和空集 的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题 注重借助于数轴和文氏图解集合问题 空集是一切集合的子集 是一切非空集合的真子集 空集是一切集合的子集 是一切非空集合的真子集 如 集合 Ax xxBx ax 2 2301 若 则实数 的值构成的集合为BAa 答 10 1 3 3 3 3 3 注意下列性质 注意下列性质 集合 的所有子集的个数是 12 12 aaan n 若 2ABABAABB 3 3 3 3 德摩根定律 德摩根定律 CCCCCC UUUUUU ABABABAB 4 4 4 4 你会用补集思想解决问题吗 排除法 间接法 你会用补集思想解决问题吗 排除法 间接法 如 已知关于 的不等式的解集为 若且 求实数x ax xa MMMa 5 035 2 的取值范围 的取值范围 3 35 3 0 5 55 5 0 1 5 3 925 2 2 0 义域是义域是 答 aa 11 11 11 11 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时 注明函数的定义域了吗 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时 注明函数的定义域了吗 如 求fxexf x x 1 令 则txt 10 xt 2 1 ftet t 2 12 1 f xexx x 2 12 10 12 12 12 12 反函数存在的条件是什么 反函数存在的条件是什么 一一对应函数 一一对应函数 求反函数的步骤掌握了吗 求反函数的步骤掌握了吗 反解反解 x x x x 互换互换 x x x x y y y y 注明定义域 注明定义域 如 求函数的反函数f x xx xx 01 3 值是 值是 A A A A 0 0 0 0B B B B 1 1 1 1C C C C 2 2 2 2D D D D 3 3 3 3 令f xxax a x a 33 33 0 2 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 30 则或x a x a 33 由已知在 上为增函数 则 即fx a a 1 3 13 a a a a的最大值为的最大值为 3 3 3 3 16 16 16 16 函数函数 f x f x f x f x 具有奇偶性的必要 非充分 条件是什么 具有奇偶性的必要 非充分 条件是什么 f x f x f x f x 定义域关于原点对称 定义域关于原点对称 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx 若总成立为偶函数函数图象关于 轴对称fxf xf xy 注意如下结论 注意如下结论 1 1 1 1 在公共定义域内在公共定义域内 两个奇函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数 两个偶函数的乘积是偶函数两个偶函数的乘积是偶函数 一个偶函数与奇函数的一个偶函数与奇函数的 乘积是奇函数 乘积是奇函数 若是奇函数且定义域中有 原点 则 2f x f 0 0 如 若 为奇函数 则实数fx aa a x x 22 21 为奇函数 又 f xxRRf 000 即 aa a 22 21 01 0 0 又如 为定义在 上的奇函数 当 时 fxxfx x x 1101 2 41 求在 上的解析式 f x 11 令 则 xxfx x x 1001 2 41 又为奇函数 f xf x x x x x 2 41 2 14 又 ff x x x x x x x x 00 2 41 10 0 2 41 01 17 17 17 17 你熟悉周期函数的定义吗 你熟悉周期函数的定义吗 若存在实数 在定义域内总有 则为周期TTf xTf xf x 0 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 教学资料 高中数学 祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步祝同学们学习进步 31 函数 函数 T T T T 是一个周期是一个周期 如 若 则f