（应用数学专业论文）长为2的方幂的四元循环码（负循环码）的gray映射象.pdf

生堕 1 声明 本人郑重声明 本论文的所有研究工作都是在导师一江中豪教授的悉 心指导下 由本人独立创作完成 论文中所引用的已知结论均可参见相应文 献 参考文献已在文章的最后列出 特别 未经作者本人许可 任何擅自更 改 抄袭或剽窃本论文之内容的行为 都将承担相应的学术和法律责任 丛查鞋 l 堕立一 一3 a b s t r a c t t h ea l g e b r a i cc o d i n gt h e o r yi sab r a n c ho fm a t h e m a t i c sw h i c hh a se x t e n s i v e 印p l i c a t i o nb a c k g r o u n d i sc l o s e l yr e l a t e dt oe l e c t r o n i c s c o m m u n i c a t i o na n dc o m d u t e rs c i e n c ea n dh a 8b e e nu s e di nt h e s ea r e a s i ta i m s a tg i v i n ga1 i n do f 以g e b r 越cf r a m e w o r kt oi n f o r m a t i o nt h a tc o m m u n i c a t e i ns p a c eb yu s i n gt h ek n o w l e d g eo fg r o u p r i n g f i e l da n dl i n e a ts u b 8 p a c e t h i sd i s s e r t a t i o nc o n c e r n sr e l a t i o n s h i pb e t v e e nb i n a r yc o d e sa n dq u a t e r n a r y c o d eu n d e rt h eg r a ym a p p i n ga n dd i s c u s so n 龇1o p e np r o b l e mp o s e db yj o l f m a n n s p e a k i n gp r e c i s e l y t h ed i s s e r 伯止i o nc o n c e r n sq u a t e r n a r yl i n e a r c y c n cc o d e sw i t ht h el e n g t ho f2 8w h o s eg r a ym a p p i n gi m a g e sa r cl i n e a r c y c l i c t h i sd i s s e r t a t i o ni 8d i v i d e di n t 0t h r e ep a r t sa sf o l l o w s i nc h a p t e ro n e w eb r i e n yr e v i e wt h ed e v e l o p m e n to fc o m m u n i c a t i o n a n da l g e b r a i cc o d i n g t h e o r ya n de m p h a s i z et h ei m p o r t a 肌c eo fc y c l i cc o d e a n d g r a y m 印 i nc h a p t e rt w o w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ec o n c e p ta n dp r e l i m i n a r i e su s e d i nt h ed i s 8 e r t a t i o n t h e nr e v i e wt h es t r u c t u r e0 fq u a t e r n a r yl i n e a rc y c i i c c o d e sw i t ho d di e n g t ha n dt h ep r o p e r t i e 8o ft h eg r a ym a p p i n gi m a g eo f q u a t e r n a r y1 i n e a rc y c l i cc o d e 8w i t ho d dl e n g t h t h ec h a p t e rt h r e ei st h em a i np a r to ft h ed i s s e r t a t i o nw ec h a r a c t e r i z e n r s t l yt h eq u a t e r n a r yl i n e a rc y d i cc o d e 8w i t ht h el e n g t ho f2 8w h o s eg r a y m 印p i n gi m a g e 8 a r el i n e a r c y c l i c t h e nd i s c u s 8t h es a m ep r o b l e mw i t h q u a t e r n a r y1 i n e a rn e g c y c l i cc o d e 女韭 韭 一4 c o d o k e y w o r d g r a ym a p c y c l i cc o d e l i n e a rc o d e q u a t e r n a r yc o d c b i n a r y 第一章绪论 1 1 信息论与编码理论简介 在人类文明的早期 人们就已经知道利j 信息与信息传递等手段来实 现某些目的的要求 如古代的烽火台 就是用烽烟来传递外地入侵的信息 但是 大量信息的运用还是在有线与无线通信产生以后 在2 0 世纪初 信 息论开始进入早期酝酿期 为了提高通信的质量与效率 人们往往从物理与 数学两个不同的方面来考虑 在物理方面 主要是研究与改进通信的物理手 段与条件等 同时人们发现数学理论与工具的使用变得十分重要 通信巾越 来越多的问题依赖于数学的描述与解决 编码理论产生于现代通信技术与电子计算机技术中差错控制研究的实 际需要 美国数学家香农 ces h a n n o n 在1 9 4 8 年发表的著名论文 通信的 数学理论 l 开创了一门在现代科学技术中具有重大意义的崭新的学科 即信息论 编码理论是信息论的一个专门分支 而后的六十年代 被人们称 为是信息论的确定期 在这一阶段 人们完成了从信息的度量到通信模型 从编码问题到主要编码问题的严格的数学定义与证明 与香农信息论发展 变化的同时 代数编码理论也在迅速发展 人们发现利用群 环 域和线性 子空间理论可将码赋予一定的代数结构 这种结构可使通信信号具有纠错 和检错的能力 并称这种码为纠错与检错码 在这一时期 纠错与检错码已 进入实用化的通信技术领域 二十世纪七十年代到八十年代 是信息论的理 论发展时期 各种不同类型的多用户信源 信道的模型被提出 许多相关的 定理也得到了证明 编码理论也在多方面发挥了重要的实际作用 比如在快 速通信技术中降低通信的差错率 卫星通信技术中卷稍码理论的应用 在近 期 信息论呈现出与多学科相结合的发展趋势 信息论与密码学相结合是通 期 信息论呈现出与多学科相结合的发展趋势 信息论与密码学相结合是涵 第一章绪论 信中的安全与保密问题 算法信息论与分形几何应用到事务复杂度的度量 尤其是信息论与统计理论可以一起作为研究非缵陛问题的工具 代数编码理 论在与实验设计 假设校验理论的结合中发挥了重要作用 在信息与通信中 仙农将其概括为下列一般化的物理模型 如下图所 示 圈 朔 甄 通信系统原理框图 在上述原理框图中 信宿 信源和信道是3 个最基本的组成部分 加上 编码和译码两部分 就构成了一个完整的通信系统 其中的信源是信息的来 源 实际的信源有语音 文字 图像和数据等 由于消息的不确定性 从数学 上看 信源就是产生随机变量 随机序列和随机过程的源 无论哪一类信源 都可以看作一个有限维的随机矢量 信道是指载荷信息的信号所通过的通 道 在实际通信中 信道是指传输的物理媒介 比如有明线 电缆等固体介 质所组成的有限信道 另外还有空气介质所组成的无限信道 有混合介质所 组成的光纤信道等 信息处理是现代信息工程的核心技术 信息处理的主要 目的是为了提高系统对某一方面的性能指标 信息处理的主要手段是变换 即编 译码 比如说为了提高系统的有效性 可以通过信源编码来实现 为 了提高系统的安全性 可以通过密码来实现 为了提高系统的可靠性 可以 通过信道编码来实现 总的说来就是消息的加密和传输 上述通信系统原理 图中的编 译码从有效性 安全 生和可靠性的角度进行划分 就是下面一般 通信系统的详细原理框图 本文关心的是信道编码 所谓的信道编码就是一个变换 即变换 铷 l 1 o u l 钍 一1 o z ht 轧一1 称为信道编码 又称 为 l 码 一个事件的变换值称为该事件的码字 工称为信息长 称为 6 第一章绪论 码的长度 点称为该码字的多余度 圜 墓蠡一者 目 垂 橱 圣 窃听者 卤 通信系统详细原理框图 信道编码从构造方法上看 就是根据一定的规律在待发送的信息码中 加入一些人为多余的码元 以保证传输过程的可靠性 信道编码的任务就是 构造出最小多余度下的最大抗干扰性能的 盘f 码 从原理上看增加人为多 余度的方式是多种多样的 大致上可分为两种类型 如果规则是线性的 即 码字之间的关系是线性关系 则称这类信道编码是线性码 否则称为非线性 码 另外从信源信息序列所对应的编码方式也可进一步划分为两种类型 如 果将信息序列按照独立分组进行处理和编码 则称它为分组码 否则称为非 分组码 卷积码是其中最主要的一类 循环码是线性分组码中最主要 最有用的一类 目前对它的研究和应用 也最多 它是1 9 5 7 年由p r a n g e 首先提出并进行研究的 最早的循环码理论 形成于二十世纪六十年代和七十年代初 a s s m u s m a t t s o n 和 i l l r y n 都是主 要的理论贡献者 他们作的文章后来被广泛引用 尤其是在v a nl i n t 的第 一本著作f 2 1 中 循环码具有许多很好的性质 因为其本身固有的结构 它可以很容易的 实现编码和译码 因而它在理论上和实践中都有很重要的价值 在循环码 7 第一章绪论 中 b c h 码是其中最主要的一大类 汉明码 h a m m i n g r m 码 g o l a y 码以及r s 码等均可变换成或纳入循环码之列 1 9 7 0 年发现的g o p p a 码类 中有一子类也属于循环码 1 2 选题背景和意义 在编码理论中有一个重要的概念就是汉明 h 砌m i n g 距离 定义1 1设z 与 是分量取自某个域 或环 上的两个n 重向量 称 与 中对应分量不相同的数目为 与 之间的汉明 h a 加m i n g 距 离 记为d z 定义1 2如果分组码c 能够纠正所有不超过t 个独立的随机错误 但不能纠正任何多于t 个独立的随机错误 则称该分组码g 的纠错能力为 t 定义l3 如果分组码a 能够检测出所有不超过f 个独立的随机错 误 但不能检测出任何多于f 个独立的随机错误 则称该分组码g 的检错 能力为f h a m m i n g 距离与码的纠错能力和检错能力有密切关系 一个分组码e 的最小h a m m i n g 距离d e 是指 d i f e z 中的最小值 下 定理在给出判断分组码纠错能力与检错能力的方法的同时 也说明了h m r n j n g 距离与码的纠错能力和检错能力的密切关系 定理眦 1分组码g 的纠错能力为t 的充分必要条件是 2 t 1 d g 2 t 2 定理眦 2分组码e 的纠错能力为z 的充分必要条件是 f d g 1 8 第二章长为奇数的线性循环码和线性负循环码 人们对长为奇数的线性循环码进行了许多方面的研究 理论的发展相 对来说也比较成熟 本章中将要介绍涉及到的一些知识 第一节介绍了本章 以及本文中的相关概念 定理和定义等 特别详细介绍了g r a y 映射 第二 节给出了奇长的线性循环码和负循环码的结构 第三节主要讲了所谈到的 两种码空间在g r a y 映射下象的线性性和循环性 相关的定理证明本文不再 给出 请详见相关的文献资料 综述这些已有结果的目的 是为了与第三章 我们的主要结果作一对照 2 1 基本概念 首先介绍本文中涉及到的基本概念 设r 为一个环 t 为一个正整数 令 r n o 口1 o t 一1 j o r i o 1 一1 在其上定义加法和乘法运算如下 n o a 1 一 o 一1 6 0 6 l 一 6 一1 o o b o n 1 6 1 一 毗一1 6 一i n o n l n 6 0 6 l 玩一1 o o b 0 口1 6 1 吼一1 6 t 1 则科也是一个环 在帮上定义循环映射口 负循环映射u 如下 盯 o 8 l 一1 口 一1 a o 一2 1 0 第二章长为奇数的线性循环码和线性负循环码 本文中出现的环r 指整数模4 的剩余类环五和整数模2 的有限域 z 2 为方便起见 记互 o 1 2 3 局 o 1 并将忍视为互的子集 在不易发生混淆的情况下 五和历上的运算不加区别 否则玩上加法运 算用0 表示 乘法运算用 表示 关于自然数n 称刃的任一个非空子集为一个长为n 的五 码或四 元码 刃的加法子群称为长为n 的五一线性码 一个四元码g 称为四元 线性循环码 如果a 是五一线性码且口 g g e 称为四元线性负循环 码 如果g 是五一线性码且u a g 不难知道五上长为t 的线性循环码 负循环码 g 与乙 一1 五 1 中的理想 间可通过下映射建立同构关系 皿 口 z o n l 0 2 其中o z n o 口1 z n 2 2 一l 一1 易上也有此对应关系 本文中c 与j 不加严格区分 定义21若o z 寄啦 五m 8 r 2 吼 n 吼 蜀 则 定义 n n l 啪 o 为n z 的邑一归约 下面介绍一个重要的概念一g r a y 映射 定义2 2 关于o z 4 可写口 r 2 q 其中r 口 z 2 令 垂 o 口 口or 箜三雯量盘童墼塑些 些塑墅堡塑垡壁鱼堡堑堡 1 3 2 2 奇长的线性循环码和线性负循环码的结构 奇长线性循环码的结构早在1 9 9 6 年就由v e r as p l e s s 和z h o n g q i a n g q i a n 合作的 c y c l i cc o d e 8q u a d r a t i cc o d e so v e r 五 1 0 一文中给出 文中 关于 乙上线性循环码的生成子 的结论被广泛引用 例如 7 1 1 1 3 1 6 j a c q u e sw o l f m a n n 深入研究了长为奇数的四元线性循环码和四元线性负循 环码 借助于h e n s e l 提升 1 7 和 1 4 1 中线性循环码的生成子给出了线性负 循环码的生成子 从而找到了一种研究线性负循环码在g r a y 映射下象的线 性性和循环性的可行方法 定理2 1 1 q 设g 是玩上长为奇数n 的线性循环码 则 e 其中 8 1 n 6 c z o 6 c z 两两互素且都为首一多项式 l g l 4 如96 z 2 如9 引 定理22 7 设a 是五上长为奇数礼的线性负循环码 则 c 其中扩 1 a z 6 c z 口 z 7 6 z c 两两互素且都为首一多项式 j g l 4 咖c 2 咖6 2 3 奇长的线性循环码和线性负循环码在g r a y 映射 下象的线性性和循环性 有了奇长的四元线性循环码 负循环码 的结构 就可以讨论他们的 g r a y 映射象 在 7 中j a c q u e s v o l f m a n n 通过简明的复合映射的等价性 说明了g r a y 映射象的线性性和循环性 7 8 1 4 主要结论以及涉及到的相 关内容如下 第二章长为奇数的线性循环码和线性负循环码 定义2 3如果长为r 的两个码空间e l o 存在f o 1 r 1 上的某个置换u 使得a 1 一面 岛 其中 巧 a n 1 n 1 o o 1 一1 则称g r l 和q 等价 定理2 3 7 i蜀上的线性循环码在g r a y 映射下的象等价于一个二元 循环码 不一定是线性的 定理24 7 乙上的线性负循环码在g r a y 映射下的象是二元循环码 不一定是线性的 定理2 5 嘲设g 是五上长为奇数n 的线性循环码 则 1 下列几条等价 o 圣 g 是二元线性循环码 6 g 是线性负循环码 c g 的生成子为9 z 一2 d 或9 z d 十2 其中d 是妒一1 的因子 2 若9 z 2 d z 则中 e 是由d z 护一1 生成的二元线性循环 码 若g z d z 2 则圣 e 是由d z 生成的二元线性循环码 定理2 6 8 设9 0 o 6 2 是五上线性循环码c r 的生成 子 则西 g 是线性码当且仅当 c 1 4 箜三皇量盘芏塑垡丝堡墅璺塑些壁壅焦墅堡 1 6 3 1 长为2 8 的线性循环码的雾囊 蠢 萋窖 薹 i 型差萋 毫要 善 凄 i 重型到争 擎 三抗以信i 女l 嚣繁强乍干 稚辩蕃以酣糕戴龃群戮一 l 吲隧囊誊 藕m 蠢州m 拦鞘雕 雏奠i 留戚 望驯 l 础 若l 型p 前蠹 i 掣一 i i l 芑 殳 经 謇辫积醋藿 霉萋奏蔗霪删州露蓦粤耄囊馨方法 遗传算法 g a 则是近年来的热点研究领域 它是美国j o h nh o l l a n d 教授根据生物进化的模型提出的一种优化方法 它从试图解释自然系统中 生物的复杂适应度过程入手 在计算机上模拟生物进化过程和基因操作 来 构造人工系统的模型 它提供了不依赖于问题具体领域求解复杂系统优化 问题的通用框架 近年来 遗传算法应用于函数优化 组合优化问题 生产 调度问题 机器人智能控制 图像处理 模式识别等很多领域 本文简要介绍了三次设计和遗传算法的基本概念 操作步骤等 然后借 助遗传算法进行三次设计 对两个实际问题进行求解 结果表明 与传统的 田口方法相比 不仅可以大大减少试验次数和计算 而且可以得到比田口方 法还好的最优目标值 如果结合回归试验设计或人工神经网络 遗传算法也 能应用于试验性项目的三次设计 本文还在简单遗传算法基础上 探索优化 算法设计本质 并将正交设计及均匀设计方法应用于遗传算法的初始种群 的生成 构造出新形态的遗传算法 探索简单遗传算法的m a t h e m a t i c a 程 序 并编译了上述特殊的三次设计的构造程序 关键词 遗传算法 三次设计 正交设计 均匀设计 m a t h e m a t i c a aticax 笪三重量盟 盟丝 些煎墅翌塑垡堡壅煎堑璺 l7 引理3 1 设r 是一个含有单位元1 的交换环 z 为r 的幂零元 则关于r 中可逆元c c z 与c z 是可逆元 证明因为z 为幂零元 所以存在正整数 使矿 o 于是 1 1 一 1 一z 1 嚣 一1 从而1 一 为可逆元 关于r 中的可逆元c c 1 z 是幂零元 从而1 一c 一1 为可逆元 这样c 1 一c 1 c z 为可逆元 又z 为幂零元 一 也为幂 零元 从而由前面的证明知 c 一 一z c 为可逆元 引理3 2在7 k 中1 z 为幂零元 证明用归纳法可以证明 1 z 1 2 茁号 但在冗4 中 1 故 1 z 2 1 2 1 z 2 从而 1 z 2 n o 引理3 3设 是7 k 的理想 则 n 2 7 k 其中m 是使得2 1 z 属于 的最小整数 证明 显然 包含在 中 从而 包含在 j n 2 冗4 中 另一方面 我们可断言 n 2 他 也包含在 中 若不 然 则存在 7 k 使得2 z 但2 z 隹 设 n 一1n l 啦 1 z 2 6 1 z t 0 t 0 其中o 堍 易 则 2 z 2 啦 1 t 0 箜三主量盘 塑些丝堡堑堡塑堡丝鱼遁墅璺 2 0 m z 7 k e 1 2 2 m z 瓜 z s m 2 f z a g 由引理33 知g n 2 7 k 从而 当且仅当 2 m z 丽 z s m i i z g 2 m 1 z 瓜 s m 2 z z s z 这样垂 c 是线性的当且仅当 v 佃i z 7 k l 2 2 m 1 汀丁 z s m 2 i t z s 2 由 8 中命题1 知 2 故 当且仅当 而 2 m l 扛几r z m 2 z 灭丁 z s 2 2 m l z 汀 z s m 2 丽 z s 2 2 m 厢 s m z 厢 z s 当且仅当 m z 丽 z s m 2 丽 故西 g 是线性码当且仅当 2 2 2 箜三重量垄竺煎垡丝堡堑璺塑垡 哇鱼堡墅璺 2 1 定理3 3 设e 为乙上长为2 6 的线性循环码 则垂 c 是循环 码当且仅当g 或g 证明由定理3 2 知 若a 是l 型码 则m a 是循环码 若g 是i i 一型或i i i 型码 则e 中有某个分量为1 的码字 下证 设 2 o 0 a c g c c c 1 一 一1 q n 2 q t 则 垂 c 卯 口1 一 一l 伽or 0 9 1 0r 1 一1 0r 一1 若中 e 为循环码 则 因此 口 c 一lor 一1 q 0 q 1 一 一2 一l q o o q l o n 一 一2 0 r 一2 圣 g 垂一p 西 c 2 一lo 一1 一1or 一1o 骱一1 c 0 c l 一 c n 2 2 一1 2 r 一l h 一1 c 0 c 1 c n 一2 2 一1 3 r 一1 c c 1 一 c 一2 g 这样 圣一1 盯 垂 c 一仃 c 2 r 一1 o 一 o g 在g 中显然存在某个分量为1 的码字 由于g 为循环码 因此 r 一 可设 为1 所以 2 o o g 即2 c 从而g 箜三茎兰垄竺盟垡丝煎堑翌塑垡丝鱼煎堑塑 2 2 反过来 设a 关于任意 z g 有 n 1n l n 一1 吼 1 3 2 1 3 2 c 1 z t 0e 0i 0 其中o 6 l q 易 i o n 一1 令 n 一1 九 z o 1 2 9 z 一矗面 t 0 则 z z 2 9 茁 h 2 q l z 其中9 1 7 动 这样 垂 1 z 9 1 茁 z 不难知道在冗2 中也有 寄啦 1 z 巾 于是 n 一1 西 z 1 z 吼 z 1 z 8 z o 1 t 0 所以西 z 即圣 c 另一方面 由于 7 中元素可唯一地表示成 其中啦 6 i 玩 i o n 一1 所以 中元素可唯一地表为 其中q 也 磊 i 0 n 一1 这样l g f 2 5 2 l 西 a l l g l 2 2 又i i 2 2 所以f 中 g 1 l l 因而 西 c 是循环码 z h 2 z n 瑚 第三章长为2 8 的线性循环码和线性负循环码 3 3 长为2 8 的线性负循环码的结构 3 2 中讨论了线性循环码的g r 映射象 一个自然的问题是如何刻画 线性负循环码的g r a y 映射的象的线性性和循环性 为此本节讨论线性负循 环码的结构 先引入两个记号 并讨论其简单性质 记 a 五 护 1 4 2 邑h 护 1 引理3 4若山中元素r 可写为 1 z 则在4 z 中r 1 4 证明略 若r z 4 4 则 2 表示由r z 生成的a 的主理想 而用 表示由r 生成的4 z 的主理想 引理3 5 在4 4 中 且1 z 是幂零元 证明 1 z 1 z 2 8 z 2 1 2 r 1 2 1 2 r 2 2 1 2 一 依此类推 1 z 2 8 2 1 2 2 8 2 2 2 卜1 1 2 2 2 卜1 即 1 z n 2 z 詈 又因在a 中 一l 知z 为单位 从而 因为 1 z 2 z e 所以 1 2 o 从而1 是幂零元 引理3 6在山中 若 1 c z 1 则c z 可逆 箜三军苌季磊载葫囊墅堡塑垡丝霾 i j g 羹丝誊素 羞萋誊曝臻冀挚囊蘑跫篓塑整雪差嚣姜鬟冀辇誊霭基 篓羹 喜妻爱爨篓鬈蠢謦甏墓 鐾誊要囊荔f 妻粪羹簦善焘 麦鬻藕萼 纛 瑟豢鬻季妻嚣繁嚣霾攫荡 应彝 亍 寇 盈引理洲秀历 魏羹喜萋 萋篓 鎏毒 妻萋煎器基囊羹夏篓塞剥裂i 划雕醴萋美蒙羹篓纛善篷国萄蕃 渤壤增漕湍温夔薹摹 矍 奏砉砉鬈錾 鎏冀墓姜薹蚕 霪藿蓉塑妻摹型攀蠹霎j 霎l 二二 萋矗 霪i l i 薹萋冀篓萋 奏s 雾鬓e 釜擘l 露孝耋 呈 磊量祷 蓓锚麓到蚓di 型二荫 彰是厘圜骖叁 蠢慧隐鐾藉蓼幺靶薹蚕t 一二 蠢 耋i j 一 t 囊 妻一i i 一 i 翼 篓i 篷i 和 琏黧蔷垂i i i 毫冀一曼攀篓冀 篷露篓蒸妻攀萋萋麓譬鞴篓蔷露 攀彗蠢蓑 x 整三兰量垄 塑丝 些堡墅堡塑垡些鱼堕墅翌 2 7 证明设c 是4 4 的理想 任取 a a 当g 时 结论显然成立 b 当g 一 0 s 2 8 1 时 一l 2 1 z 3 t z 2 1 5 1 z 0 从而 一1 垂 z 1 1 z 8 啦 1 z t 0 n 一3 一l 1 相 n 1 z t 0 即西 g 弘 此时l 西 g j i c i 2 5 j 哥 所以垂 g 争 c 当a o s 2 6 1 时 由定理34 证明知 1 z 8 2 n 1 z 钆一 1 0 2 u 1 2 0 争 n l o 1 2 i 暑 设 1 5 写一1 啦 1 z 4 2 9 z 一取i 则 厕 2 口 z 硒 2 9 l 其中g l 4 2 这样 由引理3 4 知 西 1 z n q z n 叔 第 三 r 产釜名 二塑颈羽专 霎荔蓥鬻鏊薹鬟趣嚣疆慧 嚣湖 日寸熹磊王r 峄 l l 季翳荨嚣霞 黩藿荔当i j g j j j j j i 2 蔫蠹骘鹑羞嚣誊妻鍪喜鹈型嚣 凳冀霸 蠹辇每瑟i 鬟萋熊甍霎耋j 黧墓篓霪雾蝥霞露塞妻羚銎蔓萋墓誊 彰冀篓耱 霉翼萼纛麦蔓囊薰鏊矗 登羹萼孝窜囊蠹霉墓籍 喜丝嚣慧芬萋妻聚囊篓琴 童量警器囊魏篁嘉季妻冀羹蒌琴翕n i 疆嚣登瓠班聂兰誊萌蔓嚣罄薹雾鎏 晕 羹籀囊蓬鹫毒麓j 笺翼擎n 磊重要跗薹 肇童翦 委嚣雪嘉蘑囊蒌薹 i 羹 蘩豢篓曼鲢羹薷型需羹孺篓鬻 薹孺霪蔫 f 1 z o i o 啦 1 s一 2 o 2 一8 1 0 砚 1 一n r 一 1 2 一1 2 f 1 8 吼 1 z 1 吼 1 z 冲s 一4 2 t s 2 2 o q 0 一 z 2 渤 s 7 z 1 o b 一 n x 箜三军玉豢蒜载萄羹墅蛩塑塑性项 冀鍪蹦墨黧麓襁为 4 4 叫舀稿羹誉摧哥 曩昏鍪 鏊翳蔷驯葶鹂黎篓塑墅蕾从匾臀慧 羹塑 笋磐叁善铕琵i 蒙妻翼鳟鬟嚣墓蠹藏荆 鬻霜蚕雾羹 x 参考文献 1 ces h a n n o n a m a t h e m a t i c a l t h e o r y o fc o m m u n i c a t i o n i 1 1 1 b e l l s y s t t e c h j v 0 1 2 7 1 9 4 8 3 7 9 4 2 3 6 2 3 6 5 6 2 c o d i gt h e o r y i ns p r i n g e rl e c t u r en o t e 8 v b l 2 0 1 b e r l i n h e i d e l b e r g n e w 1 r k s p r i n g e r1 9 7 1 3 肖国镇 卿斯汉 编码理论 专期 北京 国防工业出版社 1 9 9 3 1 0 4 am k e r d o c k a c l a s so fl 一r a t en o n l i n e a r b i n a yc o d e s i n f o r m c o n t r v 0 12 0 p p1 8 2 一1 8 7 1 9 7 2 5 f p p r 印a r a t a a c l a s 8o f o p t i m mn o n l i n e a rd o u b l ee r r o rc o r r e c t i n g c o d e s i n f 叫m c o n t r v 0 1 1 3 p p 3 7 8 4 0 0 1 9 6 8 6 h a m m o n sar j r k u m e rpv c a l d e r b a kar s l o a n enja s o l 点p t h e 互一l i n e 壮i t yo fk e r d o 出1p r e p a r a t a g o e t h 础8a n dr e l a t e dc o d e s i e e e n a n s i n 6 w m t h e o r y 4 0 1 9 9 4 3 0 1 3 1 9 7 w o l f m a n nj n e g a c y c l i ca dc y c l i cc d e so v e r 蜀 i e e en a n si n f o r m t h e o h4 5 1 9 9 9 2 5 2 7 2 5 3 2 8 w o l f m a n nj b i n a r yi m a g e 8o fc y c l i cc o d e s 姗r 缸 i e e en a n s i n f o r m t h e o t y 4 7 2 0 0 1 1 7 7 3 1 7 7 9 9 v e g ag w o l f m a n nj s o m ef a m i l i e so f 函一c y c i i cc o d 髑 f i i t e 丘e i d 8a n dt h e i r a p p l i c a t i o n s 1 0 2 0 0 4 5 3 0 一5 3 9 1 0 n e c h a e vaa k e r d o c kc o d ei nac y d i cf o r m i nr u s s i a n d i s l r m a t h us s r 1 n o 4 1 2 3 一1 3 9 e n g l i s h t r a n s l a t i o ni n d i s c r m a t h a p p i i c1 1 9 9 1 n o 4 3 6 5 3 8 4 1 1 t h o m a sb l a d f o r d n e g a c y c l i cc o d e s0 v e r 2 io fe v e nl e n 垂h i e e en a n 8 i n f o r m t h e o r y 4 9 2 0 0 3 1