（应用数学专业论文）脉冲微分方程在生物经济学中的应用.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 脉冲微分方程的理论与方法在近三十年的研究中得到不断的完善 已经形成了一 个比较完整的体系 微分方程数学模型在描述种群动力学行为中起到了非常重要的作 用 它从数学的角度解释各种种群动力学行为 使人们科学地认识种群动力学 从而 对某些种群进行有目的地控制 特别是脉冲微分方程来描述种群动力学行为更为合 理 更加精确地反映各种变化规律 因为现实世界中的许多生命现象和人类的开发行 为几乎都是脉冲的 本文主要考虑固定时刻脉冲作用下的阶段结构时滞捕食 食饵系统 的动力学性质 状态脉冲下阶段结构单种群系统的动力学性质 固定时刻脉冲作用下 的传染病系统的动力学性质 以脉冲动力系统理论为基础 同时结合离散动力系统 连续动力系统 算子理论 优化理论等相关的理论和方法 在已有的研究成果的基础 上 研究这些模型的边界周期解的局部和全局渐进稳定性 系统的持续生存 周期解 的存在性与唯一性以及周期解的轨道稳定性等等 全文共分为四章 第一章简单介绍了种群动力学和传染病动力学的有关研究现状及本文的主要工 作 并且给出了微分方程和脉冲微分方程的一些重要的定义和预备知识 第二章以农业生产中的生物资源管理为应用背景 研究了两个阶段结构时滞捕 食一食饵系统 在本章第一节中 构建了一个捕食者具阶段结构与食饵具脉冲扰动的时 滞捕食 食饵系统 其中捕食者捕食食饵是为了增强体质 利用脉冲微分方程比较定 理 得到了系统的捕食者灭绝边界周期解是全局吸引的充分条件 同时也得到了系统 持续生存的充分条件 在本章第二节中 我们又构建了一个捕食者具阶段结构与食饵 具脉冲扰动的捕食系统 其中捕食者捕食食饵是为了增强生育能力 利用脉冲微分方 程比较定理 得到了系统的捕食者灭绝边界周期解是全局吸引的充分条件 同时也得 到了系统持续生存的充分条件 第三章以农业生产中的害虫治理为应用背景 研究了一个捕食一食饵系统和两个传 染病动力系统 在本章第一节中 构建了一个食饵具阶段结构与捕食者具脉冲扰动的 时滞捕食一食饵系统 利用脉冲微分方程比较定理 得到了系统的食饵灭绝边界周期解 是全局吸引的充分条件 同时也得到了系统持续生存的充分条件 在本章第二节中 构建了一个脉冲综合治理害虫的传染病模型 即通过同时喷洒生物农药与投放病虫 致使易感害虫种群感染传染病 成为患病害虫 从而使害虫失去对农作物的破坏力 达到害虫治理的目的 利用f l o q u e t 定理和小参数扰动技巧 得到了易感害虫灭绝周期 解稳定的临界条件 在本章第三节中 构建了一个脉冲综合治理害虫的传染病模型 即通过不同时刻的喷洒生物农药与投放病虫 致使易感害虫种群感染传染病 成为患 病害虫 达到害虫治理的目的 利用f l o q u e t 定理和小参数扰动技巧 也得到了易感害 虫灭绝周期解稳定的临界条件 i 脉冲微分方程在生物经济学中的应用 第四章以渔业生产为应用背景 研究了状态依赖收获与放养的阶段结构单种群系 统 利用不动点理论讨论了周期解的存在性 唯一性以及周期解的轨道稳定性 关键词 脉冲微分方程 周期解 全局吸弓l 全局渐进稳定 持续生存 i i 大连理工大学博士学位论文 一 a p p l i c a t i o n so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nb i o l o g i c a le c o n o m i c s a b s t r a c t 珏et h e o r i e sa n dm e t h o d so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ea c h i e v e dg r e a td e v e l o p m e n ta n db e c o m eaw h o l es y s t e mi nr e c e n tt h i r t yy e a r s m a t h e m a t i c a lm o d e l so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp l a 3 a ni m p o r t a n tr o l ei nd e s c r i b i n gp o p u l a t i o nd y n a m i cb e h a v i o r s m a t h e m a t i c a l l y t h e s em o d e l se x p l a i na l lk i n d so fp o p u l a t i o nd y n a m i cb e h a v i o r s w h i c h a l l o wp e o p l et ou n d e r s t a n dp o p u l a t i o nd y n a m i c ss c i e n t i f i c a l l ys ot h a ts o m ei n t e r m t i o n s o fp o p u l a t i o n sc a nb ei n t e n dt oc o n t r 0 1 e s p e c i a l l y ji m p u l s i x ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd e s c r i b ep o p u l a t i o nd y n a m i cm o d e l s w h i c ha r em o r er e a s o n a b l ea n dp r e c i s eo nr e f l e c t i n g a l lk i n d so fc h a n g eo r d e r l i n e s s s i n c em a n l i r ep h e n o m e n aa n dh u m a ne x p l o i t a t i o na r e a l m o s ti m p u l s i v ei nt h en a t u r a lw o r l d i nt h i sd i s s e r t a t i o n w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c a l b e h a v i o r so ft h es t a g e s t r u c t u r e dd e l a yp r e d a t o r p r e ys y s t e m sw i t hf i x e di m p u l s i v em o m e n t s t h es t a g e s t r u c t u r e ds i n g l ep o p u l a t i o ns y s t e m sw i t hs t a t e d e p e n d e n ti m p u l s e s a n d t h ee p i d e m i cs y s t e m sw i t hf i x e dm o m e n t si m p u l s e s b yu s i n gt h et h e o r i e sa n dm e t h o d s o fi m p u l s i v e d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sd y n a m i c a ls 3 r s t e m a r i t h m e t i co p e r a t o r s o p t i m i z a t i o na n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n w es t u d yl o c a l l ya n dg l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo f t h eb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o n s a n dt h ep e r m a n e n c eo ft h et h e s es y s t e m s t h et h e s i si s a r r a n g e db yf o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 w ei n t r o d u c ec o n c i s e l yt h ep r e s e n td e v e l o p m e n to ft h er e l e v a n ts u b j e c t s a b o u tp o p u l a t i o na n de p i d e m i cd y n a m i c sa sw e l la st h em a i nw o r kd o n ei nt h i st h e s i s m o r e o v e r w eg i v es o m ed e f i n i t i o n sa n df u n d a m e n t a l t h e o r i e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2 b a s e do nt h eb a c k g r o u n do fb i o l o g i c a lr e s o u r c em a n a g e m e n ti na g r i c u l t u r e w ei n v e s t i g a t et w os t a g e s t r u c t u r e dd e l a yp r e d a t o r p r e ys y s t e m s i ns e c t i o n2 1 w ec o n s t r u c tap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hs t a g es t r u c t u r eo np r e d a t o ra n di m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n so np r e y t h ep r e d a t i n gp r o d u c t si su s e dt oi n c r e a s et h ep r e d a t o r sc o n s t i t u t i o n w eo b t a i nt h a tt h ep r e d a t o r e x t i n c t i o nb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o ni sg l o b a l l ya t t r a c t i v e t h ep e r m a n e n tc o n d i t i o no ft h ei n v e s t i g a t e ds y s t e mi sa l s oo b t a i n e d i ns e c t i o n2 2 w e p r e s e n tad e l a yp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hs t a g es t r u c t u r eo np r e d a t o ra n di m p u l s i v e p e r t u r b a t i o n so np r e y t h ep r e d a t i n gp r o d u c t si su s e d t oi n c r e a s et h ep r e d a t o r sa b i l i t y i i i 脉冲微分方程在生物经济学中的应用 o fb i r t h w eo b t a i nt h a tt h ep r e d a t o r e x t i n c t i o nb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o ni sg l o b a l l y a t t r a c t i v e w ea l s od e r i v et h ep e r m a n e n tc o n d i t i o no ft h ei n v e s t i g a t e ds y s t e m i nc h a p t e r3 b a s e do nt h eb a c k g r o u n do fp e s tm a n a g e m e n ti na g r i c u l t u r e w ei n v e s t i g a t eap r e d a t o r p r e ys y s t e ma n dt w oe p i d e m i cm o d e l s i ns e c t i o n3 1 w ec o n s t r u c ta d e l a yp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hs t a g es t r u c t u r eo np r e ya n di m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n so n p r e d a t o r b yu s i n gc o m p a r i s o nt h e o r e mo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dm a t h e m a t i c a la n a l y s i sm e t h o d s w eo b t a i nt h a tt h ep r e y e x t i n c t i o nb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o n s a r eg l o b a l l ya t t r a c t i v e t h ep e r m a n e n tc o n d i t i o no ft h ei n v e s t i g a t e ds y s t e mi sa l s oo b t a i n e d i ns e c t i o n3 2 w ep r e s e n ta ne p i d e m i cm o d e lw i t hi m p u l s e s t h a ti s s p r a y i n g b i o l o g i c a lp e s t i c i d e sa n dr e l e a s i n gi n f e c t e dp e s t sa tt h es a m ef i x e dm o m e n t s w h i c hc a u s e s a ne p i d e m i c si nt h es u s c e p t i b l ep e s t s a n dt h ep e s t sl o s et h ea b i l i t yo fd e s t r o y i n ge m b l e m e r i t s b yu s i n gf l o q u e tt h e o r e ma n ds m a l la m p l i t u d ep e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e w eo b t a i n t h ec r i t i c a lv a l u ef o rt h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fs u s c e p t i b l ep e s t e x t i n c t i o n b o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o n i ns e c t i o n3 3 w ec o n s i d e ra ne p i d e m i cm o d e lw i t hs p r a y i n g b i o l o g i c a lp e s t i c i d e sa n dr e l e a s i n gi n f e c t e dp e s t sa td i f f e r e n tf i x e dm o m e n t s w h i c hc a u s e s a ne p i d e m i c si nt h es u s c e p t i b l ep e s t s a n dt h ep e s t sl o s et h ea b i l i t yo fd e s t r o y i n ge m b l e m e n t s s ow ec o m et ot h eo b j e c t i v e so fp e s tm a n a g e m e n t b yu s i n gf l o q u e tt h e o r e ma n d s m a l la m p l i t u d ep e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e w ea l s oh a v et h ec r i t i c a lv a l u ef o rt h eg l o b a l l y a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fs u s c e p t i b l ep e s t e x t i n c t i o nb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o n i nc h a p t e r4 b a s e do nt h eb a c k g r o u n do ft h ef i s h i n gm a n a g e m e n t w ei n v e s t i g a t e as t a g e s t r u c t u r e ds i n g l ep o p u l a t i o ns y s t e mw i t hs t a t e d e p e n d e n th a r v e s t i n g b yu s i n g t h ef i x e dp o i n tt h e o r y w ep r o v et h ee x i s t e n c e u n i q u e n e s so fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h e i n v e s t i g a t e ds y s t e m a n dt h e ya r eo r b i t a l l ys t a b l e k e yw o r d s i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p e r i o d i cs o l u t i o n g l o b a la t t r a c t i v i t y g l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y p e r m a n e n c e i v 独创性说明 作者郑重声明 本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果 也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或i z t 所使用过的材料 与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名 墨 变星日期 趔 查 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解 大连理工大学硕士 博士学位 论文版权使用规定 同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权大连理工 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 也可 采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名 继 建垩 导师签名 丝 大连理工大学博士学位论文 1引言与预备知识 1 1引言 生物数学作为一门交叉学科正在快速地发展 数学科学的知识和技巧已经被引进 了生物科学的领域 它们帮助生物学家解释各种生命现象 反过来 生物科学又为数 学家提供了丰富的研究课题 也促进了数学本身的发展 种群动力学作为生物数学的 一个重要分支 也引起了许多学者的兴趣 种群动力学是生物数学中研究种群宏观现 象的科学 它研究种群与环境之间的关系 研究种群之间的关系 我们常用动力学的 观点来分析这种关系 从而利用动力学建模的方法来建立种群之间的关系的数学模型 和种群与生态环境之问的数学模型 利用这些模型来研究一些生态现象 从而达到对 某些生态问题的控制 微分方程数学模型在描述种群动力学行为中起了很大的作用 这些数学模型的的研究常常涉及到常微分方程 时滞微分方程 脉冲微分方程与时滞 脉冲微分方程的相关内容 微分方程动力系统的应用非常的广泛 如经济开发 环境 保护 种群生态学 传染病和药物动力学以及微生物的培养等 研究课题的内容包括 正平衡点的存在性和稳定性 极限环的存在性与稳定性 正周期解的存在性与稳定 性 种群的持续生存与灭绝 种群的开发与合理利用等 许多实际问题的发展过程往往具有这样的特性 即系统经历一个短暂的外部 作用 这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比来说可以被忽略 但是从数学 角度来描述这种现象要用到脉冲微分方程 脉冲微分方程是在常微分方程的基 础上发展起来的 其突出的特点就是能够充分地考虑到这种瞬间的变化对状态 的影响 更能够合理地 更精确反映事物发展的规律 所以许多学者对脉冲微 分方程的理论及应用进行了广泛的研究 如专著f 1 2 6 2 详细地介绍了脉冲微分方 程理论 文献 7 1 4 2 1 2 2 2 7 2 8 3 5 5 5 6 4 1 0 3 研究了时滞微分方程理论及应用 文 献f 1 1 1 4 4 9 6 3 6 4 1 0 1 1 0 2 1 0 4 研究了时滞脉冲微分方程解的存在性 可微性与延拓 性 文献f 1 2 4 1 5 7 6 5 研究了脉冲微分方程的稳定性 文献f l o 1 6 3 8 5 2 5 6 5 8 5 9 6 6 1 给 出了脉冲微分方程周期解与极限环的存在性与稳定性 还有其他一些文献i s 9 1 2 1 3 1 5 1 7 2 0 2 3 2 6 2 9 3 0 3 2 3 4 3 6 3 7 3 9 4 0 4 2 4 4 4 5 4 7 5 0 5 3 5 4 5 6 6 0 6 2 6 3 1 2 9 1 3 4 对微分方程 脉冲微分方程及时滞脉冲微分方程的研究也得到了一些好的结果 脉 冲微分方程已经被应用到各个学科领域 以往我们假设被研究的系统的变化都是连续的 然而在现实生活中人类对资源的 管理与开发都是离散的 而且是瞬间完成的 所以把人类对系统的干扰用脉冲微分方 程来更加符合实1 琢 5 1 5 2 1 我们注意到生物种群的进化和繁衍过程中都存在许多脉冲 现象 很多种群的出生通常是季节性的而且是瞬间的完成的 即生育脉冲 1 0 0 1 物种 的迁徙也具有脉冲现象 如候鸟的迁徙 种子的漂移等 渔业资源的开发与管理中 1 脉冲微分方程在生物经济学中的应用 考虑到经济价值 成年鱼达到一定的重量时 才会收获成年鱼与放养鱼苗 这些行为 都是瞬间完成f 拘 1 0 7 在农业生产中 害虫的综合治理策略通常是将化学控制和生物 控制结合起来的来控制害虫在经济危害水平值以下 3 1 4 3 6 1 7 0 7 4 7 6 9 0 9 1 9 2 1 0 6 1 化学控制通常是喷洒杀虫剂 生物控制通常是释放害虫的天敌或者是投放病虫 这两 种控制都是不连续的脉冲行为 生物经济学是生物经济学家认为理性的行动者会在资源创造和资源窃取之间进行 利润最大化的权衡 它是 门新兴的学科 随着生物技术的发展而诞生 关于生物 经济学的特点及主要研究内容 目前还没有一个统一认可的范畴 不过 相信在不 久的未来 生物经济学在经济发展中将扮演着一个重要的角色 所谓生物经济 b i o e c o n o m y 目前国内外尚没有一个被人们广泛认可的 统一的定义 多数人认为 生物 经济是以生命科学与生物技术研究开发与应用为基础的 建立在生物技术产品和产业 之上的经济 是一个与农业经济 工业经济 信息经济相对应的新的经济形态 本文针 对生物经济学中的几个问题 利用脉冲微分方程与时滞脉冲微分方程的相关理论与方 法建立与研究了相应的动力学模型及各种模型的一些动力学性质 诸如系统的持久与 灭绝 系统的周期解的存在等 主要的结论如下 第一章简单介绍了种群动力学和传染病动力学的有关研究现状及本文的主要工 作 并且给出了微分方程和脉冲微分方程的一些重要的定义和预备知识 第二章以农业生产中的生物资源管理为应用背景 研究了两个阶段结构时滞捕 食一食饵系统 在本章第一节中 构建了一个捕食者具阶段结构与食饵具脉冲扰动的时 滞捕食 食饵系统 其中捕食者捕食食饵是为了增强体质 利用脉冲微分方程比较定 理 得到了系统的捕食者灭绝边界周期解是全局吸引的充分条件 同时也得到了系统 持续生存的充分条件 在本章第二节中 我们又构建了一个捕食者具阶段结构与食饵 具脉冲扰动的捕食一食饵系统 其中捕食者捕食食饵是为了增强生育能力 利用脉冲微 分方程比较定理 得到了系统的捕食者灭绝边界周期解是全局吸引的充分条件 同时 也得到了系统持续生存的充分条件 第三章以农业生产中的害虫治理为应用背景 研究了一个捕食一食饵系统和两个传 染病动力系统 在本章第一节中 构建了一个食饵具阶段结构与捕食者具脉冲扰动的 时滞捕食一食饵系统 利用脉冲微分方程比较定理 得到了系统的食饵灭绝边界周期解 是全局吸引的充分条件 同时也得到了系统持续生存的充分条件 在本章第二节中 构建了一个脉冲综合治理害虫的传染病模型 即通过同时喷洒生物农药与投放病虫 致使易感者害虫种群感染传染病 成为患病害虫 从而使害虫失去对农作物的破坏 力 达到害虫治理的目的 利用f l o q u e t 定理和小参数扰动技巧 得到了易感害虫灭绝 周期解稳定的临界条件 第三节中 构建了 个脉冲综合治理害虫的传染病模型 即 通过不同时刻的喷洒生物农药与投放病虫 致使易感者害虫种群感染传染病 成为患 病害虫 达到害虫治理的目的 利用f l o q u e t 定理和小参数扰动技巧 也得到了易感害 2 大连理工大学博士学位论文 虫灭绝周期解稳定的临界条件 第四章以渔业生产为应用背景 研究了状态依赖收获与放养的阶段结构单种群系 统 利用不动点理论讨论了周期解的存在性 唯一性以及周期解的轨道稳定性 1 2 预备知识 本章介绍脉冲微分方程的一些基本概念与基本结论 给出脉冲微分方程的三种常 见形式 特别是给出了研究脉冲微分方程的主要理论一比较理论 以及线性周期脉冲 微分方程的f l o q e t 理论 详细的内容主要参阅 1 2 8 o 1 2 l 脉冲微分方程 首先对脉冲微分方程进行基本的描述 考虑下列系统所描述的一个发展过程 i 微分方程 象训僦 1 1 其中 儿一只 qc 郧是一个开集 形是一个n 维欧几里德空间 m 是一个 非负的实数域 i i 集合m 亡 考 cq t r 似z 算子a t m t 一 t t 风 令x t x t t o z o 是系统 1 1 经过初值 t o x o 的任意解 那么这个发展过 程变化如下 点只 t z t 从初始位置p o t o z o 开始沿着曲线 亡 z t t o z z t 运动 直到时刻亡l t o 点只遇到集合m t 在时刻t 1 t o 算子a 亡 把点只 t l x t 1 映射到点只 t l z n t 1 其中z a t 1 z t 1 然后 点只 t l 开始沿系统 1 1 的解曲线z t x t t 1 z 继续运动 知道下一个时 刻t 2 t 1 点只遇到集合u t 在时刻t 2 t l 算子a t 把点只 t 2 z t 2 映射到 点只 t 2 z 手 n t 2 其中z 孑 a t 2 x t 2 然后点只 t 2 z 手 开始沿系统 1 1 的解曲线z t z t f 2 z 砉 继续运动 因此 只要系统 1 1 的解存在 这种运动会继续 下去 这样 称刻画上述发展关系 z i i i i i 构成了一个脉冲微分方程 点只 t z 瑚所描述的曲线称为积分曲线 定义积分曲线的函数称为脉冲微分系统的解 脉冲微分系统与连续微分系统的接有很大的差异 其解的形式有下面三种情形 o 连续函数 如果积分曲线与集合m 不相交或者交于算子a 的不动点 6 具有有限个一类间断点的分段连续函数 如果积分曲线与集合m 只有有限次 相交而且这有限个点不是算子a t 的不动点 3 脉冲微分方程在生物经济学中的应用 c 具有可数个一类间断点的分段连续函数 如果积分曲线与集合m t 有可数次相 交而且这可数个点不是算子a t 的不动点 点只 t z t 遇到集合m t 的时刻t k l 2 称为脉冲作用时刻 而且假设 脉冲微分系统的解z 右 在t k 处是左连续的 也就是z t i l i m b o z t 一h z 尼 集e m t 亡 和算子a t 的不同选择可以得到不同的脉冲微分系统 在应用中常 见以下三种典型的脉冲微分系统 固定时刻脉冲微分系统 令集合m 表示一系列平面t t 凫 k 1 2 其中 如 是一个时间序列 而且 当七一 o 时 t 只对t t k 定义算子a t 算子序列 a 七 满足 a k q 叶q z a t x z 厶 z 其中厶 q q 相应地 集合 亡 也r n t t k 有定义 n n c n k a 七 m 惫 这 样 在固定时刻发生脉冲的脉冲微分系统为 朦d x f t x t f i t b 1 2 ia x 厶 z t t k 七 l 2 其e p a x t k z t 去 一z 如 z t 嘉 l i m h o x t k 危 那么 脉冲微分系统 1 2 的任意 解z t 都满足 i 石d x f t z t t k t k 1 i i a x 厶 o k 1 2 显然 系统 1 2 的解的性质受脉冲作用的影响 脉冲时刻变化的脉冲微分系统 集合m t 由一系列的的曲面鼠组成 其中鼠 t 仉 z k 1 2 一 而且亿 t o 都有z t o x o z t t o 0 z o 而系统 1 2 和系统 1 3 不具有这样的性质 即使对t r k z z q 有f t z z 厶 z i x 这里的i x 0 不恒成立 1 2 2 脉冲微分方程解的存在性 唯一性 延拓性 本节 我们给出脉冲微分方程脉冲微分方程解的存在性 结果 这些结果主要来制文献 1 2 6 对于具有初始条件的脉冲微分方程 f 万d x 馋 吐t r k 巩 z 厶 t 功 七 1 2 iz t 手 x 0 唯一性 延拓性的一些 1 5 其中 r qbr n 乓 qh 牙 弦 qhr 住 死 1 l i m 七二 仡 z c o 且仅 z 在q q 是形中的开集 是连续的 定义1 1 函数妒 d q p 称为系统 1 5 的一个解 如果 1 t 妒 t r q t q p 一2 对t 口 p t 住 妒 t 尼 n 函数妒 亡 是可微的 且掣 f t 妒 亡 3 函数妒 t 在 q 上是左连续的 如果亡 妒 及t 卢 则妒 矿 妒 t 五 妒 亡 并且对任意的歹 n i 吏s 乃 妒 s t 0 使得当o t t 1 5 iz z li 吼 耖1 时有有限极限 厂 s y 注1 2 如果初值问题 1 5 所对应的连续微分系统 一 巾 豢 f t z z u o 的解是唯一的 则初值问题的 1 5 解也是唯一的 例如 当 厂在的某个邻域内关于z 局 部 l i p s c h i t z 连续 结果也成立 如果初值问题 1 5 有唯一解 我们就将其记为 下面更为详细考虑固定脉冲的脉 冲微分系统f 1 2 定理1 2 假设函数 厂在集合 如 t 缸 l xq 七 上是连续的 并且对于所有k 和x q 当 t 2 h t k z t t k 时 f t 可 存在有限极限 则对于每一个点 t o 锄 咒 xq 存在 t o 使初值问a 1 5 有解z t o h 研 如果在的关于z 局 部 l i p s c h i t z 连续 则解是唯一的 给定脉冲微分系统 1 5 的解妒 t 下面给出其延拓定理 定理1 3 假设下面条件成立 1 函数 在集合 如 t k 1 xq 七 上是连续的 并且对于所有k 和z q 当 t y h t k z t t k 时 f t 可 存在有限极限 2 函数妒 q h 舻是系统 1 5 的解 3 n 对于每一个尼 n 有p t k b 对于某些尼 n 叩 五 7 7 有p t 后 条 件 n 6 有一个成立 6 大连理工大学博士学位论文 则解妒 亡 可以延拓到p 的右边当且仅当存在极限 1 i 璎妒 t 7 7 一d 定理1 4 假设下面条件成立 1 定理1 3 的条件1 成立 2 函数 关于z 在r q 上局部l i p s c h i t z 连续 3 对于所有k n 和叼 q 有7 7 厶 叩 q 则对于任何点 o x o 初值问 题 1 5 在某区间 t o 上存在唯一解且不能延拓到u 的边界 如果定理1 4 的条件成立 给定 t o x 0 风 q 则解z t t o x 0 有定义的形 如 u 的最大区间 记为j j t o z o 定理1 5 假设下面条件成立 1 定理1 4 的条件成立 2 妒 亡 是初值问题 1 5 的解 3 存在紧集qcq 使得t j t o z o 有p t q 则j t o x o t o o o 1 2 3 脉冲不等式和紧性判别准贝9 众所周知 微分和积分不等式理论在定性和定量研究微分方程的解中起着非常重 要的作用 那么相应地 脉冲微分与积分不等式理论在研究脉冲微分方程中也是很重 要的 这一节 我们介绍脉冲微分与积分不等式和紧性判别准则 详细的内容可以参看 文献 1 2 令p c r 士 舻 砂 凰h 形i 妒是连续的 对芒 墨 t 亿 而且妒 贯 l i r a t 对矽0 妒 百 l i m t 一 妒 t 妒0 妒 百 k a p c 7 风 舻 矽 凰h 舻j 羞 p e 珥 舻 定理1 6 假设函数m p 冗 捌满足下面的不等式 i m 7 t p t m t g 力 t t o t 如 k 1 2 1 6 lm t z 毗m 缸 b k t t k 其中鼽窖 p c r 嗣 且比 0 k 是常数 则 e t m t 旌r e t o i id 知e x p p s 如 t o t k 1 0 7 脉冲微分方程在生物经济学中的应用 i ia j 凹p 卜 s d s 6 t o t k t k t j 0 假设函数t t p c r r 满足不等式 u t 乱o p s u s d s 风乱 亿 u 0 0 有 t 妯堇 1 觑 e x p zp s d s 0 0 存在6 0 使 得如果z 厂 昆 n t l t 2 一1 仉 n i o 司 而且jt l t 21 6 那么jz h 一z 2 l 0 使得l lzl l sc 2 厂在 o 刃中是拟等度连续的 臣d a t 篓 q 7 大连理工大学博士学位论文 定义1 4i 定r t r t t o 伽 是 1 7 在区间 t o t o 口 上的一个解 如果对于 1 7 在 区间 t o t o 口 上的任意解u 亡 u t t o 让o 都有 则称为 1 7 的最大解 u t r 亡 t f t o t o4 口 f 掣刮瑚 亡 z 厶 z t 1 8 iz t 手 x o 7 b k 1 2 满足下列的假设 山j i 0 n 死 r k 而且七一 时 t k 一 i i 夕 r ph 舻在上 亿一l 是连续的 而且对每一个z 彤 k 1 2 7 l i m t 掣 z t y t z 是存在的 饿 t k 1 7 hj p 定义1 5 设y 凡 舻h 形 如果 i v 在 一1 形上是连续的 而且对于每一个z 舻 k 1 2 有l i r n t l v t 箩 y r z i i v 关于z 是局部l i p s c h i t z i a n 那么称是属于 类的 定义1 6 对于 o 一l j p v y o 定义i 的右导数 1 d y 亡 z l i m s u p 丢 y 十h z j h f t z 一y 亡 z 则脉冲系统 1 8 的比较定理如下 定理1 9 设y 耳 h 凰 而且1 厂 v o 假定 fd v t x g t v t z t 仅 v t z 厶仕 九 y t z t z 牙 x o 0 k 1 2 9 1 9 脉冲微分方程在生物经济学中的应用 其中夕 r rhr 满足 a o i i 九 r h 风 是单调不减的 设r 亡 是方 程 1 7 在 t o 上的最大解 那么v t 手 x o 咖 由就可得 v t z r t t t o 其e e x t x t t o x o 是系统 1 8 在 t o 上的任意解 推论1 1 如果在定理1 9 中 假设 q g t i t 兰0 九沁 三 对所有的忌 那么v t z t 关于t 是单调不增的而且 v t x sv t 3 x o t t o b g t 乱 0 惫 扎 d k u d k20 对所有的尼 那么 v t z sv q x o l id kt t t o t k t c g t 钍 一q u o l 0 c k u d k u d 0 对所有的殆 那么 v t z i v t o x o d k e x p a t t o t t o t o r k t d g t u 兰一a 亡 札 妣 乱 d k u d k o 对所有的忌 其中a c 7 冗 r 那么 v t z y 亡手 x o i id k e x p a t 一a 幻 t t o t o r k t o 如果定理 1 9 中k g 妣是向量函数而 且9 t 乱 关于乱拟单调不减也有类似的结论 见参考文献 1 2 的定理1 2 下面给出脉冲微分方程的稳定性概念及准则 考虑脉冲微分系统 f 掣训 z 厶 t 仉 1 1 0 l z 碚 x 0 丁o k l 2 假设z o t 是的 1 1 0 一个解 一般来说 这个解不能通过变量变换转变成平凡解的 稳定性概念 这是因为解铷 t 和临近的解z t 的脉冲作用时刻不一定相同 而且后面要 求lz t 一x 0 t l 对所有的t t o 很d 也不成立 为此要把脉冲微分方程的稳定性概念做 适当的修改 1 0 大连理工大学博士学位论文 定义1 7 设z o t x o t t o x o t t o 是系统 1 1 0 的一个解 假定z o t 在t 南碰到曲 面鼠 t 亿 z 而且t k 0 7 o 和 r 存在一个5 6 岛 s 町 0 使得fx o y oi 6 蕴涵 z 一y t i 叼 其中z t x t t o x o t t o 是 1 1 0 的任意解 s 2 叼 一致稳定 如果 s 1 7 7 中j 与t o 无关 s 3 r 1 吸引 如果对任意的 0 叩 o 和亡 皿 存在一个5 0 o o t o o 和丁 t t o 卵 0 使得ix 0 一y oi 6 蕴涵lx t 一秒 亡 l 卵 s 4 叼 一致吸引 如果 s 3 q 中如与t o 无关 s 5 r 1 渐进稳定 如果 s 1 叩 和 s 3 叩 成立 6 r 1 一致渐进稳定 如果 s 2 叩 和 s 4 叼 成立 注意到 如果对所有的k n 有f t 0 三0 h z 0 那么系统 1 1 0 有平凡解 如果亿 z 也就是亿 与x 无关 那么对每一个解 脉冲作用发生的时刻是一样 的 因此 在这种情况下 脉冲微分方程解的稳定性概念和常微分方程解的稳定性概 念是一致的 脉冲微分方程的稳定性准则是对方程 1 8 及其假设 而言 假定对所有的k 有f t 0 三0 厶 z 0 那么 1 8 j 有平凡解 下面给出稳定性准则 令s p z 舻 izl 0 使得z s p o 蕴涵x 厶 z s 内 七 和y t z 厶 z 妣 y t z t 亿 z s p o 其中 r hr 是单调不减的 饿 在r 1 s p 上有6 1zf v t z n zf 其中口 b 那么 1 7 的平凡解的稳定性蕴涵了 1 8 的平凡解的稳定性 脉冲微分方程在生物经济学中的应用 关于种群动力学的一些基本概念如下 设z c o l x 1 x 2 x 几 r 华 r i x f 珲fx i 0 i 1 2 他 r 0 考虑脉冲微分系统 f 掣训锄 概 a x 厶 z t 仉 1 1 1 iz 培 x o 伯 忌 1 2 一 其中 兄 冗军h 冗华 厶 殿hr 华 忌 n 0 倚 n 仡 l i m o o 亿 假设系统 1 1 1 在r q 上满足 1 2 2 节中解的存在唯一性条件 而且解的最大 存在区间是 o o 这样系统 1 1 1 可以描述种群动力系统 系统 1 1 1 也是本文要 研究的重要系统 设x t x t 两 x o 和z 亡 x t t o z 分别是系统的任意解 满 足z 才 x 0 z 舌 x 0 定义1 9 若对任意的初值x o 和某个l is 礼 有 j i m 兢 t 0 o 则称种群是灭绝的 定义1 1 0 若对任意的初值z o 存在正常数o m 0 q n 使得对任意的t r k n z 冗互有 f t t z f t z 厶 口 z 厶 z i k q i k t j 则称系统f 1 i i 是一个丁一周期脉冲微分方程 周期脉冲微分方程有如下的两个性质 8 12 大连理工大学博士学位论文 定理1 1 1 设系统 1 1 1 是一个丁一周期的 x t x t 0 x o t f 0 j r l 是 1 1 1 的一 个解满足z 0 x o 而且 正0 x o x o 那么z t 的t 一周期