北航物理2011校竞赛题.pdf

1 O 一 填空题 1 静水中停泊着两只质量皆为 M 的小船 第一只船在左边 其上站一质量为 m 的人 该人 以水平向右速度v v 从第一只船上跳到其右边的第二只船上 然后又以同样的速率水平向左地 跳回到第一只船上 此后 1 第一只船运动的速度为v v 1 2 第二只船运动的速度为v v 2 水的阻力不计 所有速度都相对地面而言 2 长度 l 质量 m 的刚绳 对称地搭在光滑的水平细钉上 受扰动后在重力作用下向一侧滑 动 滑动距离为 x 时 刚绳的速率是 动量大小是 受到的 支持力大小是 3 已知两原子间的相互作用力 93 rr f 其中第一项代表吸引力 第二项代表排 斥力 此原子系统的势能 U 这两个原子构成稳定分子时 彼此间的 距离 4 一质量为 m 半径为 r 的圆环车轮 在地面上以角速度 做纯滚动 则它的总动能为 对于圆心的角动量大小是 对于和地面的接触点的 角动量大小是 5 体操运动员手握单杠旋转时 将其简单地模型化为长L 的均匀细 杆 某时刻运动员处于右图所示的水平静止状态 而后沿顺时针方 向自由地朝下旋转 当转角达到图中虚线所示的锐角 时 旋转角 速度 旋转角加速度 6 圆心为 O 半径半径为 R 质量为 4m 的匀质园盘 内切地割去 半径为 R 2 的小圆板后 剩余板块如图所示 其质心位置为 C 图中 未示出 过 O C 分别设置垂直于板面的转轴 相对于这两个转轴 的转动惯量各为 IO IC 2 7 两个带电量都为 q 的导体球 半径分别为 R1和 R2 球心间距为 d 远大于两球半径但不 是非常大 用导线将它们连起来 平衡后两球的带电量分别是 和 电势是 8 有一块不带电的金属板 距板为 d 很小 处有一点电荷 q 板上离点电荷最近处的感应 电荷面密度为 此处表面的电场强度大小为 把金属 板接地则电荷面密度变为 9 右图中平行板空气电容器已被直流电源充电到稳定状态 电容器储存的静电能记为 W0 1 不断开直流电源 通过外 力让相对介电常数为 r的介质块从图示位置缓慢地全部进入 电容器内 恰好填满两极板所夹空间 该过程中外力做功量 A1 W0 2 若通过图中电键K 先将直流电源断开 再通过外力让相 对介电常数为 r的介质块从图示位置缓慢地全部进入电容器内 该过程中外力做功量 A2 W0 10 如图所示 无穷大均匀带电平面上的电荷面密度为 以平 面上某点O为原点设置O xyz 坐标系 其中x 轴与带电平面垂直 x 轴上P 点的坐标x 0 令平面上的电荷一致地沿着y 轴负方向 匀速运动 速度大小为u 将x y 和z 轴的方向矢量记为i v j v 和k v 那么P 点电场强度E v P 点 磁感应强度B v 11 两条相距为 a 长度都是 L 的细导线 平行齐头放置 通有电流 I 它 们之间作用力的大小是 12 如图 直角三角形金属框放在一个均匀磁场 B 中 磁场平行于边长为 a 的直角边 当金属框绕此直角边以角速度 转动时 金属框内部的感应电动 势是 边长为 c 的斜边两端点之间的电势差为 a I I 1 2 3 二 计算题 13 两根长度L的竖直刚绳下 悬挂着长为 l 质量为m的均匀直杆 悬点在长度的左右三分 之一处 某时刻右边的绳突然断了 求这一时刻 左边绳里的张力会变为多少 杆质心运动 的加速度是多少 杆转动角加速度是多少 设这一时刻绳的拉力变为F 质心加速度 c a 转动角加速度 14 均匀实心球 半径为R 体密度为 从刚接触水面开始由静止自由下落 水的密度为 0 球冠的体积公式是 2 3 Rhh 1 忽略水的阻力 球入水深度是 0 x时 球的动能是多大 2 分析球的密度满足什么条件 才能保证它可以全部入水 而不至于中途停止 3 设球全 部入水后速率为 0 v 重力和浮力的合力大小为A 方向向下 水的阻力大小fbv 求此 后球的速率和时间的关系公式 15 光滑水平桌面上 有质量为m 带电量分别是 qqq 的三个小球 处于边长l的等边 三角形的三个顶点上 用两根轻质细杆将正电小球和两个负电小球分别连接 此后三个小球 将运动起来 设 x 轴沿两负电小球连线方向 垂直此方向为 y 轴方向 1 求正电小球运动 的最大速率 2 求细杆和 x 轴夹角为 时 负电小球在 x 轴和 y 轴方向的速率 16 电磁轨道炮的设计如图所示 炮弹置于两平行轨道之间 圆柱导轨的半径r 两轨面间的 距离a 接通电源后 炮弹会被磁力加速最终从出口射出 以I表示电流 v表示炮弹的速 度 1 求炮弹受到的磁力的大小 导轨可近似按半无限长处理 2 如果电源电压U恒定 过程中电流将持续减小 这里除了电阻R增大以外还有一个原因 指出这个原因并计算它 的大小 3 写出电源做功功率的表达式 其中的哪部分转化成磁力做功的功率 17 静止于太空惯性系S 的飞船 主体 不包含燃料 质量为M0 携带的燃料质量为MR 某 时刻发动机点火使飞船开始沿直线方向朝前加速运动 已知单位时间燃烧的燃料质量为m0 燃料全部生成物的喷射速度 生成物相对飞船的朝后速度 为常量u 在一直到燃料烧尽的 全过程中 试求 1 飞船加速度的最小值amin 和最大值amax 2 飞船末速度 e 3 初始时刻飞船发动机提供的功率 单位时间燃料在燃烧过程中释放的内能 也就是单 位时间内系统动能的增量 Pi 和全过程时间内的平均功率P 4 发射效率 飞船最终获得的动能占发动机释放的全部燃料内能之比 5 MR M0 为何值 给出 1 位有效数字 时 取极大值 a 4 18 参考答案 一 填空题 每题 每题 4 分分 共计共计 48 分 分 1 v v Mm m 2 v v 2 Mm 2 2g x l 2 22mxg ll 2 2 8 1 x mg l 3 28 28rr 6 4 22 mr 2 mr 2 2mr 5 6 2 13 8 mR 2 37 24 mR 7 12 1212 2 R dRq RR dR R 21 1212 2 R dRq RR dR R 2 12 01212 4 2 dR R q d RR dR R 5 8 2 2 q d 2 2 q d 2 4 q d 9 r 1 r 1 1 10 0 2 r i 0 1 2 r uk 11 2 22 2 0 ala a I 12 0 2 1 2 Bb 二 计算题 13 解 设这一时刻绳的拉力变为F 质心加速度 c a 转动角加速度 质心运动定律 c mgFma 相对于质心的转动定律 2 1 612 l Fml 相对于左边悬挂点的转动定律 6 l mgJ 其中 2 1 9 Jml 运动学关系 6 c l a 求解得到 4 c g a 3 2 g l 3 4 Fmg 14 解 1 球下落距离 0 x 合外力对它作的功为 2 将上式变形 得到 W 32 00 00 1 4 1 34 xx R gx RR 球可以完全入水 应使得在 0 x的取值范围 0 2R 内 W的取值都大于零 令 0 x y R 分析可知函数 2 1 4 y y 在 0 到 2 的区间内单调递增 当 0 x取 2R时 得到极大值 2 因此得到要使得球可以完全入水 需要有 0 420 0 2 00 0 3 3 x WmgxxR xgdx 33 0 000 41 334 x RgxgxR 6 即 0 2 3 牛顿运动定律 分离变量并两边积分 得到 15 解 这时三个小球在一条直线上 正电小球的速度沿 y 轴方向 设大小为v 由动量守恒知 负电小球速度也沿着 y 轴方向 速率大小为 2 v 系统的总能量 动能和电势能 守恒 22 22 00 11 2 22244 2 vqq mvm ll 0 6 q v lm 2 设负电小球在 x 轴方向速率为 1 v 在 y 轴方向速率为 2 v 根据动量守恒 正电小球速率为 2 2v 根据能量守恒有 22 222 122 00 11 2 2 2244 2 cos qq m vvmv ll 细杆长度不变 所以正电小球和负电小球在杆上速度分量必须一致 于是有 122 cossin2sinvvv 联立以上两式 得到 1 2 0 3 2csc 8 3 vq mlctg 21 2 0 2csc 324 1 3 ctg vvq mltg 16 解 半无限长导线在端点附近的磁感应强度 2 0 4 I B d 1 磁场力 FIdlB rr 22 00 0 4 4 a II Fdx rxrax r 2 0 0 11 2 a I dx rxrax 2 0 ln 2 Ira r 2 炮弹的两端会产生感应电动势 动生电动势 dv mA bv dt 0 0 tv v mdv dt A bv 0 bt m AA v