重庆市第一中学高三数学上学期开学试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年重庆一中高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题12道小题，每小题5分，共60分）1集合a=xn|x6，b=xr|x23x0，则ab=（）a3，4，5b4，5，6cx|3x6dx|3x62已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）a2ib2ic2d23已知条件，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（）ax1bx0cx0或x1dx0或x14已知函数，则f（0）=（）a1b0c1d35等差数列an中，a1a2015为方程x210x+21=0的两根，则a2+a2014=（）a10b15c20d406若cos+sin=，则的值为（）a1b0cd7设函数f（x）=sin（x+）cos（x+）（|）的图象关于y轴对称，则角=（）abcd8已知函数f（x）=2a4x2x1，若关于x的方程f（x）=0有实数解，则实数a的取值范围为（）abc（，0）d（0，+）9在边长为1的正三角形abc中，设，则=（）abcd10在abc中，角，边ab=1，则abc周长的取值范围是（）a（2，3b1，3c（0，2d（2，511定义域为r的可导函数y=f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x）且f（0）=1，则不等式1的解为（）a（，0）b（0，+）c（，2）d（2，+）12已知a1，f（x）=x3+3|xa|，若函数f（x）在1，1上的最大值和最小值分别记为m、m，则mm的值为 c（）a8ba33a+4c4da3+3a+2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知幂函数f（x）=xa的图象经过点，则实数a=14已知向量满足|=，|=2，|+|=，则向量与夹角的余弦值为15函数y=cos2x+2cosx的最大值为16设函数f（x）是定义在r上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）f（x）=0，当x1，0，f（x）=x2e（x+1），若g（x）=f（x）logax在x（0，+）有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为三、解答题：（共70分）17已知函数f（x）=cosx+ax，xr的图象在处的切线的斜率为0（1）求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间18在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若（2ac）cosb=bcosc（1）求角b的大小，（2）若a=3，abc的面积为，求的值19已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，且当x0时，f（x）=x2+2x（1）写出函数f（x），xr的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）2ax+2，x1，2，求函数g（x）的最小值h（a）20设各项均为正数的数列an的前n项和为sn，满足且a2，a5，a14恰好是等比数列bn的前三项（）求数列an、bn的通项公式；（）记数列bn的前n项和为tn，若对任意的nn*，（t）k3n6恒成立，求实数k的取值范围21已知函数，（其中常数m0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m3，+）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点p（x1，f（x1）、q（x2，f（x2），使得曲线y=f（x）在点p、q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，d，e分别为abc边ab，ac的中点，直线de交abc的外接圆于f，g两点，若cfab，证明：（1）cd=bc；（2）bcdgbd选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线c的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线c相交于a、b两点，且|ab|=，求直线的倾斜角的值选修4-5：不等式证明选讲24已知函数f（x）=|2x+b|（）若不等式f（x）3的解集是x|1x2，求实数b的值；（）在（）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围2015-2016学年重庆一中高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12道小题，每小题5分，共60分）1集合a=xn|x6，b=xr|x23x0，则ab=（）a3，4，5b4，5，6cx|3x6dx|3x6【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集【解答】解：集合a=xn|x6=0，1，2，3，4，5，6，b=xr|x23x0=xr|x0或x3ab=4，5，6故选b【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法化简a、b两个集合，是解题的关键2已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）a2ib2ic2d2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由zi=2+i，得，z的虚部是2故选：d【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3已知条件，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（）ax1bx0cx0或x1dx0或x1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】规律型【分析】求出条件p的等价条件，然后利用充分不必要条件的定义分别进行判断【解答】解：当x0时，不等式成立当x0时，则不等式等价为x1，所以p：x1或x0ax1是x1或x0成立的充分不必要条件bx0是x1或x0成立的既不充分也不必要条件cx1或x0是x1或x0成立的既不充分也不必要条件dx1或x0是x1或x0成立的充分且必要条件故选a【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，比较基础4已知函数，则f（0）=（）a1b0c1d3【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】利用分段函数直接求解函数值即可【解答】解：函数，则f（0）=f（2）=log221=0故选：b【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力5等差数列an中，a1a2015为方程x210x+21=0的两根，则a2+a2014=（）a10b15c20d40【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用根与系数的关系得到a1+a2015=10，再由等差数列的性质得答案【解答】解：由a1，a2015为方程x210x+21=0的两根，得a1+a2015=10，数列an为等差数列，a2+a2014=a1+a2015=10故选：a【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题6若cos+sin=，则的值为（）a1b0cd【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】利用两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，化简要求的式子，把已知条件平方求得sincos的值，代入要求的式子化简【解答】解： sin（2）+1=（sin2cos2）+1=sin2cos2+1=sin2+2sin2，原式=2sincos又sina+cosa=，1+2sincos=，2sincos=原式=故选：d【点评】本题考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，式子的变形是解题的难点和关键7设函数f（x）=sin（x+）cos（x+）（|）的图象关于y轴对称，则角=（）abcd【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】函数f（x）=，由于函数f（x）的图象关于y轴对称，当x=0时， =1，又|，解出即可【解答】解：函数f（x）=sin（x+）cos（x+）=，函数f（x）的图象关于y轴对称，当x=0时， =1，又|，解得，故选：a【点评】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8已知函数f（x）=2a4x2x1，若关于x的方程f（x）=0有实数解，则实数a的取值范围为（）abc（，0）d（0，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由2a4x2x1=0化简可得a=（+），从而化为求函数的值域【解答】解：2a4x2x1=0，a=（+），+0，a0，故选d【点评】本题考查了方程的解与函数的值域的转化应用9在边长为1的正三角形abc中，设，则=（）abcd【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据向量加法及条件便有：，由条件可得到三向量的长度及其夹角，从而进行数量积的运算即可【解答】解：如图，根据条件：=故选a【点评】考查向量加法的几何意义，向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，注意正确确定向量的夹角10在abc中，角，边ab=1，则abc周长的取值范围是（）a（2，3b1，3c（0，2d（2，5【考点】正弦定理【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】由正弦定理可得a=2sina，b=2sinb，再由两角和差的正弦公式，结合正弦函数的性质，计算即可得到所求范围【解答】解：由正弦定理，即有a=sina，b=sinb，则abc周长=a+b+c=sina+sinb+1=（sina+sinb）+1= sina+sin（a）+1=（sina+cosa）+1=2sin（a+）+1，由0a，可得：a+，解得： sin（a+）1解得：2sin（a+）+1（2，3故选：a【点评】本题考查正弦定理的运用，两角和差的正弦、余弦公式和余弦函数的性质的运用，考查运算能力，属于中档题11定义域为r的可导函数y=f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x）且f（0）=1，则不等式1的解为（）a（，0）b（0，+）c（，2）d（2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】导数的综合应用【分析】根据条件构造函数f（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【解答】解：设f（x）=，则f（x）=，f（x）f（x），f（x）0，即函数f（x）在定义域上单调递减f（0）=1，不等式1等价为f（x）f（0），解得x0，故不等式的解集为（0，+）故选：b【点评】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键12已知a1，f（x）=x3+3|xa|，若函数f（x）在1，1上的最大值和最小值分别记为m、m，则mm的值为 c（）a8ba33a+4c4da3+3a+2【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】根据a1，结合1，1，化简f（x）=x3+3|xa|的解析式，进而根据函数的单调性，即可求mm；【解答】解：a1，x1，1，xa0，f（x）=x3+3|xa|=x33x+3a，f（x）=3x23，当x1，1时，f（x）0恒成立，故函数f（x）在1，1上为减函数，故mm=f（1）f（1）=1+3+3a（13+3a）=4，故选：c【点评】本题考查的知识点是绝对值函数，函数的单调性的应用，函数的最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知幂函数f（x）=xa的图象经过点，则实数a=【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数的性质及应用【分析】把点的坐标代入幂函数f（x）的解析式，求出a的值即可【解答】解：幂函数f（x）=xa的图象经过点，解得：a=，故答案为：【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数解析式的应用问题，是基础题目14已知向量满足|=，|=2，|+|=，则向量与夹角的余弦值为【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】把|+|=两边平方，然后代入数量积公式求得向量与夹角的余弦值【解答】解：由|=，|=2，|+|=，得，即，3+2+4=5，即cos，=故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题15函数y=cos2x+2cosx的最大值为3【考点】三角函数的最值【专题】三角函数的求值【分析】由cos2x=2cos2x1，利用配方法得到y=cos2x+2cosx=2（cosx+）2，由此能求出函数y=cos2x+2cosx的最大值【解答】解：y=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx1=2（cosx+）2，当cosx=1时，函数y=cos2x+2cosx取最大值ymax=2（1+）2=3故答案为：3【点评】本题考查三角函数的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用16设函数f（x）是定义在r上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）f（x）=0，当x1，0，f（x）=x2e（x+1），若g（x）=f（x）logax在x（0，+）有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为（3，5）【考点】函数的周期性【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可判断出函数f（x）是周期为2的偶函数，求出f（x）判断出符号，得到函数的单调性再画出函数的图象，结合图象求a的取值范围【解答】解：对任意的实数x，恒有f（x）f（x）=0，函数f（x）是周期为2的偶函数，当x1，0，f（x）=x2e（x+1），f（x）=2xe（x+1）x2e（x+1）0，则函数f（x）在1，0上递减，在（0，1上递增，而g（x）=f（x）logax在x（0，+）有且仅有三个零点可化为函数f（x）与y=logax在x（0，+）上有三个不同的交点，故作函数f（x）与y=logax在（0，+）上的图象可得，由图象可得，loga31，loga51，解得3a5，故答案为：（3，5）【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性的综合应用，导数与函数单调性的关系，以及函数零点问题转化出函数图象的交点问题，考查数形结合思想、转化思想，属于中档题三、解答题：（共70分）17已知函数f（x）=cosx+ax，xr的图象在处的切线的斜率为0（1）求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a；（2）由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间，结合正弦函数的图象及性质【解答】解：（1）函数f（x）=cosx+ax的导数为f（x）=asinx，由题意可得asin=0，解得a=；（2）由f（x）=sinx0，解得2kx2k+，kz，由f（x）0，解得2k+x2k+，kz，即有单调增区间为（2k，2k+），单调减区间为（2k+，2k+），kz【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查三角函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题18在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若（2ac）cosb=bcosc（1）求角b的大小，（2）若a=3，abc的面积为，求的值【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】（）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理，即可得到b；（）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合向量的数量积的定义，即可计算得到【解答】解：（1）（2ac）cosb=bcosc，由正弦定理得：（2sinasinc）cosb=sinbcosc，2sinacosb=sinccosb+coscsinb=sin（b+c）=sina，0a，sina02cosb=1，又0b，b=；（2）法一：a=3，abc的面积为，3csin=，c=2，b2=22+32223cos=7，b=，cosa=，=bccos（a）=2（）=1法二： =（）=|cos，=2322=1【点评】本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，考查平面向量的数量积的定义，考查运算能力，属于中档题19已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，且当x0时，f（x）=x2+2x（1）写出函数f（x），xr的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）2ax+2，x1，2，求函数g（x）的最小值h（a）【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法【专题】函数的性质及应用【分析】（1）利用函数的奇偶性，求出分段函数的解析式（2）利用分类讨论思想，进一步求出函数的最值【解答】解：（1）函数f（x）是定义在r上的偶函数，且当x0时，f（x）=x2+2x当x0时，f（x）=x22x所以：（2）当a+11时，即a0，g（x）min=g（1）=12a当1a+12时，即0a1当a+12时，即a1g（x）min=g（2）=22a综上：故答案为：（1）（2）【点评】本题考查的知识要点：函数的奇偶性，利用奇偶性求函数的解析式，利用分类讨论思想求函数的最值20设各项均为正数的数列an的前n项和为sn，满足且a2，a5，a14恰好是等比数列bn的前三项（）求数列an、bn的通项公式；（）记数列bn的前n项和为tn，若对任意的nn*，（t）k3n6恒成立，求实数k的取值范围【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由得，当n2时，两式相减并化简，得数列an为等差数列，再由题目中其他条件计算出an、bn的通项公式（）由（）计算得到tn=，再进行参数分离，将题中不等式转化为：对nn*恒成立，令cn=，作差确定数列的单调性，求出数列的最小值即可【解答】（）由题意，当n2时，4an=4sn4sn1=，又an0，an+1=an+2当n2时，an是公差d=2的等差数列又a2，a5，a14构成等比数列，解得a2=3，由条件可知，a1=1，又a2a1=31=2，an是首项a1=1，公差d=2的等差数列数列an 的通项公式为an=2n1，则b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且bn是等比数列，数列bn的通项公式为（）=，对nn*恒成立，对nn*恒成立，令cn=，cncn1=，当n3时，cncn1，当n4时，cncn1，【点评】本题是对数列知识的考查，其中“迭代”思想是数列中最常见的思想，本题也不例外；在第二问的处理中，对于数列cn=，通过作差研究数列的单调性也是与数列相关的综合性题型常用的方法21已知函数，（其中常数m0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m3，+）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点p（x1，f（x1）、q（x2，f（x2），使得曲线y=f（x）在点p、q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】综合题【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点p、q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可【解答】解：（1）当m=2时，（x0）令f（x）0，可得或x2；令f（x）0，可得，f（x）在和（2，+）上单调递减，在单调递增 故（2）（x0，m0）当0m1时，则，故x（0，m），f（x）0；x（m，1）时，f（x）0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增； 当m=1时，则，故x（0，1），有恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减； 当m1时，则，故时，f（x）0；时，f（x）0此时f（x）在上单调递减，在单调递增 （3）由题意，可得f（x1）=f（x2）（x1，x20，且x1x2）即x1x2，由不等式性质可得恒成立，又x1，x2，m0对m3，+）恒成立 令，则对m3，+）恒成立g（m）在3，+）上单调递增，故从而“对m3，+）恒成立”等价于“”x1+x2的取值范围为【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，d，e分别为abc边ab，ac的中点，直线de交abc的外接圆于f，g两点，若cfab，证明：（1）cd=bc；（2）bcdgbd【考点】相似三角形的判定【专题】证明题【分析】（1）根据d，e分别为abc边ab，ac的中点，可得debc，证明四边形adcf是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得bcdgbd【解答】证明：（1）d，e分别为abc边ab，ac的中点dfbc，ad=dbabcf，四边形bdfc是平行四边形cfbd，cf=bdcfad，cf=ad四边形adcf是平行四边形af=cd，bc=af，cd=bc（2）由（1）知，所以所以bgd=dbc因为gfbc，所以bdg=adf=dbc=bdc所以bcdgbd【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线c的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲