（新课标）高考数学大一轮复习 第七章 立体几何课时作业52 理 新人教A版.doc

课时作业52高考中立体几何的热点问题1平面图形abb1a1c1c如图(1)所示，其中bb1c1c是矩形bc2，bb14，abac，a1b1a1c1.现将该平面图形分别沿bc和b1c1折叠，使abc与a1b1c1所在平面都与平面bb1c1c垂直，再分别连接a1a，a1b，a1c，得到如图(2)所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题(1)证明：aa1bc；(2)求aa1的长；(3)求二面角abca1的余弦值解：(1)取bc，b1c1的中点分别为d，d1，连接a1d1，dd1，ad.由四边形bb1c1c为矩形，知dd1b1c1.因为平面bb1c1c平面a1b1c1，所以dd1平面a1b1c1.由a1b1a1c1，知a1d1b1c1.故以d1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系d1xyz.由题设可得a1d12，ad1.由以上可知ad平面bb1c1c，a1d1平面bb1c1c，于是ada1d1.所以a(0，1,4)，b(1,0,4)，a1(0,2,0)，c(1,0,4)，d(0,0,4)故(0,3，4)，(2,0,0)，因为0，所以，即aa1bc.(2)因为(0,3，4)，所以|5，即aa15.(3)连接a1d.由bcad，bcaa1，可知bc面a1ad，bca1d，所以ada1为二面角abca1的平面角因为(0，1,0)，(0,2，4)，所以cos，即二面角abca1的余弦值为.2在如图所示的几何体中，底面abcd为菱形，bad60，aa1綊dd1綊cc1be，且aa1ab，d1e平面d1ac，aa1底面abcd.(1)求二面角d1ace的大小；(2)在d1e上是否存在一点p，使得a1p平面eac，若存在，求的值，若不存在，说明理由解：(1)设ac与bd交于o，如图所示建立空间直角坐标系oxyz，设ab2，则a(，0,0)，b(0，1,0)，c(，0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,2)，设e(0，1，t)，t0，则(0,2,2t)，(2，0,0)，(，1，2)d1e面d1ac，d1eca，d1ed1a，解得t3，e(0，1,3)，(，1,3)，设平面eac的法向量为m(x，y，z)，则令z1，y3，m(0,3,1)又平面d1ac的法向量(0,2，1)，cosm，.所以所求二面角的大小为45.(2)假设存在点p满足题意设()，得(0，)，(，1,0)(0，)(，1，)a1p平面eac，m，03(1)10，解得，故存在点p使a1p面eac，此时d1ppe32.3如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，侧面pad底面abcd，且adpapd.(1)求证：平面pab平面pcd；(2)在线段ab上是否存在点g，使得平面pcd与平面pdg夹角的余弦值为？若存在，请说明理由解：(1)平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，四边形abcd为正方形，cdad，cd平面abcd，cd平面pad，cdpa.又adpapd，pad为等腰直角三角形，且apd，即papd.又cdpdd，且cd，pd平面pdc，pa平面pdc，又pa平面pab，平面pab平面pcd.(2)如图，取ad的中点o，连接op.papd，poad.侧面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，po平面abcd，adpapd，papd，opoa1.以o为原点，直线oa，op分别为x，z轴，且底面abcd中过o点垂直于ad的直线为y轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，d(1,0,0)，p(0,0,1)假设在ab上存在点g使得平面pcd与平面pdg夹角的余弦值为，连接pg，dg.设g(1，a,0)(0a2)由(1)知平面pcd的一个法向量为(1,0，1)设平面pdg的法向量为n(x，y，z)(1,0,1)，(2，a,0)，由n0，n0可得，令x1，则y，z1，故n(1，1)，cosn，解得，a.在线段ab上存在点g(1，0)，使得平面pcd与平面pdg夹角的余弦值为.1(2014安徽卷)如右图，四棱柱abcda1b1c1d1中，a1a底面abcd，四边形abcd为梯形，adbc，且ad2bc.过a1，c，d三点的平面记为，bb1与的交点为q.(1)证明：q为bb1的中点；(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；(3)若a1a4，cd2，梯形abcd的面积为6，求平面与底面abcd所成二面角的大小解：(1)因为bqaa1，bcad，bcbqb，adaa1a.所以平面qbc平面a1ad.从而平面a1cd与这两个平面的交线相互平行，即qca1d.故qbc与a1ad的对应边相互平行，于是qbca1ad.所以，即q为bb1的中点(2)如图1，连接qa，qd.设aa1h，梯形abcd的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为v上和v下，bca，则ad2a.图1vqa1ad2ahdahd，vqabcdd(h)ahd，所以v下vqa1advqabcdahd，又va1b1c1d1abcdahd，所以v上va1b1c1d1abcdv下ahdahdahd，故.(3)解法1：如图1，在adc中，作aedc，垂足为e，连接a1e.又deaa1，且aa1aea，所以de平面aea1，于是dea1e.所以aea1为平面与底面abcd所成二面角的平面角因为bcad，ad2bc，所以sadc2sbca.因为梯形abcd的面积为6，dc2，所以sadc4，ae4.于是tanaea11，aea1.故平面与底面abcd所成二面角的大小为.图2解法2：如图2，以d为原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系设cda.因为sabcd2sin6，所以a.从而c(2cos，2sin，0)，a1(，0,4)，所以(2cos，2sin，0)，(，0,4)设平面a1dc的法向量为n(x，y,1)，由得xsin，ycos，所以n(sin，cos，1)因为平面abcd的法向量为m(0,0,1)，所以cosn，m，故平面与底面abcd所成二面角的大小为.2如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是直角梯形，侧棱sa底面abcd，ab垂直于ad和bc，saabbc2，ad1.m是棱sb的中点(1)求证：am平面scd；(2)求平面scd与平面sab所成二面角的余弦值；(3)设点n是直线cd上的动点，mn与平面sab所成的角为，求sin的最大值解：(1)证明：以点a为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(0,2,0)，c(2,2,0)，d(1,0,0)，s(0,0,2)，m(0,1,1)则(0,1,1)，(1,0，2)，(1，2,0)设平面scd的法向量是n(x，y，z)，则即令z1，则x2，y1，于是n(2，1,1)n0，n.又am平面scd，am平面scd.(2)易知平