高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第4课时）教案 新人教A版选修23.docVIP

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第四课时教学目标知识与技能复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理、总结题型过程与方法通过对简单实例的解决，复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理和应用方法情感、态度与价值观引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的抽象概括能力和分类讨论能力重点难点教学重点：复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理、总结题型教学难点：复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理、解决实际问题提出问题：回顾本单元前三课时的学习过程，总结学习的内容和方法活动设计：学生自己总结，小组交流，举手发言，同学补充活动成果：1.分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理：完成一件事，需要n个不同的步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有nm1m2mn种不同的方法3分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系：(1)相同点：都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题；(2)不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，只完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成设计意图：培养学生的概括能力，检查学生的学习情况类型一：分类加法计数原理问题例1已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定几个不同的平面？思路分析：分两类：第一类，直线a与直线b上的8个点中每一个点确定一个平面，有8个不同的平面；第二类，直线b与直线a上的5个点中每一个点确定一个平面，有5个不同的平面根据分类加法计数原理，共有8513个不同的平面点评：分类问题要找好分类依据【巩固练习】如图，以五边形的顶点为顶点的不同的三角形共有多少个？解：所有不同的三角形分为两类第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形有5个；第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形有5个根据分类加法计数原理，共有5510个不同的三角形【变练演编】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形个数是多少？解：设较小的两边长为x，y，且xy，则xy11，xy11，x，yn*.当x1时，y11；当x2时，y10,11；当x3时，y9,10,11；当x4时，y8,9,10,11；当x5时，y7,8,9,10,11；当x6时，y6,7,8,9,10,11；当x7时，y7,8,9,10,11；当x8时，y8,9,10,11；当x9时，y9,10,11；当x10时，y10,11；当x11时，y11.所以不同三角形的个数为1234565432136.类型二：分步乘法计数原理例2已知x2,3,7，y31，24,4，则xy可表示不同的值的个数为_思路分析：可分成两步完成：第一步，x在集合2,3,7中任取一个值，有3种方法；第二步，y在集合31，24,4中任取一个值，有3种方法根据分步乘法计数原理得，有339种不同的值【巩固练习】从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别作为直线方程axbyc0中的a，b，c，所得经过坐标原点的直线有_条解：因为过原点的直线常数项为0，所以c0，从集合中的6个非零元素中任取一个作为系数a，有6种方法，再从其余的5个元素中任取一个作为系数b，有5种方法，由分步乘法计数原理得，适合条件的直线共有16530条【变练演编】a1,0,1，b2,3,4,5,7，若f表示从集合a到集合b的映射，那么满足xf(x)xf(x)为奇数的映射有_个解：xf(x)xf(x)x(x1)f(x)为奇数，当x为奇数时，x1为偶数，f(x)有5种可能；若x为偶数，x1为奇数，f(x)必为奇数，有3种可能故满足条件的映射为53575个类型三：排数字问题例3由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()a210种 b300种 c464种 d600种思路分析：分5类第一类：个位数字为0时，分5步排前5位数字，共有54321120种排法；第二类：个位数字为1时，先排0，只能排在百、千、万位，有3种排法，其余4个数字排在4个位置上，分4步，共有3432172种排法；第三类：个位数字为2时，先排0，只能排在百、千、万位，有3种排法，再排十位数字，有3种排法，其余3个数字排在3个位置上，分3步，共有3332154种排法；第四类：个位数字为3时，先排0，只能排在百、千、万位，有3种排法，再排十位数字，有2种排法，其余3个数字排在3个位置上，分3步，共有3232136种排法；第五类：个位数字为4时，先排0，只能排在百、千、万位，有3种排法，再排十位数字，有1种排法，其余3个数字排在3个位置上，分3步，共有3132118种排法；根据分类加法计数原理，共有12072543618300种不同的排法【巩固练习】由数字0,1,2,3,4,5,6这七个数字能组成多少个无重复数字的四位偶数？答案：420【变练演编】从1,2,3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？解：将i1,2,3，100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集a4,8,12，100；能被4除余1的数集b1,5,9，97，能被4除余2的数集c2,6，98，能被4除余3的数集d3,7,11，99，易知这四个集合中每一个有25个元素；从a中任取两个数符合；从b，d中各取一个数也符合要求；从c中任取两个数也符合要求；此外其他取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有25251 225种类型四：染色问题例4将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数思路分析：分两类第一类，如图，c与a颜色相同由题知，四棱锥sabcd的顶点s、a、b所染色互不相同，它们共有54360种染色方法共有54313180种方法；第二类，如图，c与a颜色不相同由题知，四棱锥sabcd的顶点s、a、b所染色互不相同，它们共有54360种染色方法共有54322240种方法；由分类加法计数原理，共有180240420种不同的方法【巩固练习】有如图所示四块地，有5种作物可供选择，要求相邻两块地不种同一作物，共有多少种不同的种法？答案：260【变练演编】将4种颜色涂在一个四棱锥的五个顶点，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数答案：48【达标检测】1某电话局的电话号码为168*，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有()a20个 b25个c32个 d48个2从1到200的自然数中，各个数位上均不含有数字8的自然数有_个在120共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？答案：1.c2.162901知识收获：复习两个原理，两个原理的区别与联系2方法收获：分类讨论3思维收获：分类讨论【基础练习】1(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？2把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？38名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有_种答案：1.(1)34(2)43(3)432.763.83【拓展练习】已知直线1(a，b是非零常数)与圆x2y2100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有_条答案：60本节课是对本单元的复习课，本节课的目标是复习基础知识，总结基本题型，系统总结方法整节课的设计注重学生的思考和学生的参与，在教师准备的问题驱动下，引导学生复习已经学过的方法，举一反三，提高效果例1从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数思路分析：本题和例4的区别在于，除了保证同一条棱上的两端点异色之外，还必须保证恰好使用三种颜色如图，由题知，四棱锥sabcd的顶点s、a、b所染色互不相同，则a、c必须颜色相同，b、d必须颜色相同所以，共有5431160种点评：从a、c必须颜色相同，b、d必须颜色相同入手解决这一问题变式：从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数思路分析：本题和例4的区别在于，除了保证同一条棱上的两端点异色之外，还必须保证恰好使用四种颜色解法一：如例1图，由题知，四棱锥sabcd的顶点s、a、b所染色互不相同，则a、c可以颜色相同，b、d可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：b、d颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在s、a、b、c四个顶点上，有5432120种涂法；根据分步乘法计数原理，共有2120240种不同的涂法解法二：分两类第一类，c与a颜色相同如例1图，由题知，四棱锥sabcd的顶点s、a、b所染色互不相同，它们共有54360种染色方法共有54312120种方法；第二类，c与a颜色不相同如例1图，由题知，四棱锥sabcd的顶点s、a、b所染色互不相同，它们共有54360种染色方法共有54321120种方法；由分类加法计数原理，共有120120240种不同的方法例2在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三