（重点班）高三数学一轮复习 第十二篇 复数、算法、推理与证明 第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法课时训练 理.doc

第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法3,5,8,12分析法10,11反证法1,2,4,9数学归纳法6,7,13基础对点练(时间:30分钟)1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是(b)(a)自然数a,b,c中至少有两个偶数(b)自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(c)自然数a,b,c都是奇数(d)自然数a,b,c都是偶数解析:“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选b.2.设x,y,z0,则三个数+,+,+(c)(a)都大于2 (b)至少有一个大于2(c)至少有一个不小于2(d)至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2,则+bc(b)bca(c)cab(d)acb解析:因为a=3-2=13+2,b=6-5=16+5,c=7-6=17+6,又因为7+66+53+20,所以abc.4.(2014高考山东卷)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(a)(a)方程x3+ax+b=0没有实根(b)方程x3+ax+b=0至多有一个实根(c)方程x3+ax+b=0至多有两个实根(d)方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.故选a.5.(2016成都模拟)已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,a=f(a+b2),b=f(ab),c=f(2aba+b),则a,b,c的大小关系为(a)(a)abc(b)acb(c)bca(d)cba解析:因为a+b2ab2aba+b,又f(x)=()x在r上是减函数,所以f(a+b2)f(ab)f(2aba+b),即abc.故选a.6.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+12n1134时,由k到k+1,不等式左边的变化是(c)(a)增加12(k+1)项(b)增加12k+1和12k+2两项(c)增加12k+1和12k+2两项同时减少1k+1项(d)以上结论都不对解析:n=k时,左边=1k+1+1k+2+1k+kn=k+1时,左边=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+(k+1),由“n=k”变成“n=k+1”时,不等式左边的变化是12k+1+12k+2-1k+1.7.设ab0,m=a-b,n=a-b,则m,n的大小关系是.解析:法一取a=2,b=1,得mn.法二a-baa0,显然成立,故mn.答案:mn8.已知点an(n,an)为函数y=x2+1图象上的点,bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nn*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为.解析:由条件得cn=an-bn=n2+1-n=1n2+1+n,所以cn随n的增大而减小.所以cn+1cn.答案:cn+10,用分析法证明a2+1a2-2a+-2.证明:要证a2+1a2-2a+-2,只需证a2+1a2(a+)-(2-2).因为a0,所以(a+)-(2-2)0,所以只需证(a2+1a2)2(a+)-(2-2)2,即2(2-2)(a+)8-42,只需证a+2.因为a0,a+2显然成立(a=1时等号成立),所以要证的不等式成立.能力提升练(时间:15分钟)11.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c=0,求证b2-ac0 (b)a-c0(c)(a-b)(a-c)0(d)(a-b)(a-c)bc,且a+b+c=0可得b=-a-c,a0,c0.要证b2-ac3a,只要证(-a-c)2-ac0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)0,即证a(a-c)-b(a-c)0,即证(a-c)(a-b)0.故求证“b2-ac0.12.对于函数f(x),若a,b,cr,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是(d)(a)f(x)=1(xr)不是“可构造三角形函数”(b)“可构造三角形函数”一定是单调函数(c)f(x)=1x2+1(xr)是“可构造三角形函数”(d)若定义在r上的函数f(x)的值域是e,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”解析:对于a选项,由题设所给的定义知,a,b,cr,f(a),f (b),f(c)都是某一正三角形的三边长,是“可构造三角形函数”,故a选项错误;对于b选项,由a选项判断过程知,b选项错误;对于c选项,当a=0,b=3,c=3时,f(a)=1f(b)+f(c)=,不构成三角形,故c错误;对于d选项,由于e+ee,可知,定义在r上的函数f(x)的值域是e,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”.13.设a0,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),nn*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.(1)解:因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=a1+a;a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=a3+a.猜想an=a(n-1)+a(nn*).(2)证明:易知,n=1时,猜想正确.假设n=k时猜想正确,即ak=a(k-1)+a,则ak+1=f(ak)=aaka+ak=aa(k-1)+aa+a(k-1)+a=a(k-1)+a+1=a(k+1)-1+a.这说明,n=k+1时猜想正确.由知,对于任何nn*,都有an=a(n-1)+a.精彩5分钟1.已知三个不等式ab0;bcad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成个正确命题.解题关键:-=bc-adab.解析:此题共可组成三个命题即;.若ab0,则-=bc-adab0,得bc-ad0,即可得命题正确;若ab0,bcad,则bc-adab=-0,得,即命题正确;若bcad,则-=bc-adab0,得ab0,即命题正确.综上可得正确的命题有三个.答案:三2.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间d上是凸函数,则对于区间d内的任意x1,x2,xn,有f(x1)+f(x2)+f(xn)nf(x1+x2+xnn),已知函数y=sin x在区间(0,)上是凸函数,则在abc中,sin a+sin b+sin c的最大值为.解题关键:利用所给凸函数的性质求解.解析:因为f(x)=sin x在区间(0,)上是凸函数,且a,b,c(0,),所以f(a)+f(b)+f(c)3f(a+b+c3)=f(),即sin a+sin b+sin c3sin =332,所以sin a+sin b+sin c的最大值为332.答案:3323.(2016洛阳模拟)下面有4个命题:当x0时,2x+的最小值为2;若双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=3x,且其一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则双曲线的离心率为2;将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,可以得到函数y=sin(2x-)的图象;在rtabc中,acbc,ac=a,bc=b,则abc的外接圆半径r=a2+b22;类比到空间,若三棱锥sabc的三条侧棱sa,sb,sc两两互相垂直,且长度分别为a,b,c,则三棱锥sabc的外接球的半径r=a2+b2+c22.其中错