周振荣版拓扑学第5章分离公理 课后答案.pdf

第五章分离性练习题 November 26 2012 1 练练练习习习0 1 证明X是正规空间 X的任意闭子集A以及A的任意邻域U 存在A的 邻域V 使得 V U Proof 必要性 不妨设U是A的开邻域 则Uc是X的闭集 且有Uc A 这 样 Uc A就是X中两个不相交的闭集 根据正规性条件 分别存在A和Uc的开 邻域U0和V 0使得U0 V 0 即U0 V 0c 所以U0 V 0c V 0c 另一方面 因Uc V 0 我们有V0c U 所以 U0 U 充分性 设A B是两个不交闭集 令U Bc 则U是A的邻域 由假设条件 可知存在A的邻域V 使得 V U 令U0 V c 则U0是B的邻域 再根据假设 条件可知存在B的邻域W 使得 W U0 于是 V W V U0 练练练习习习0 2 证明拓扑空间X为正则空间的充要条件是X的任意闭集A以及任意x A 存在x的开邻域U以及A的开邻域V 使得 U V Proof 必要性 设X为正则空间 x Ac 则存在x的开邻域V 以及A的开邻 域U使U V 另一方面 存在x的邻域W 使 W V 由于U V c 有 U V c V c 因此 W U V V c 充分性 显然 练练练习习习0 3 证明拓扑空间X为正规空间的充要条件是X的任意两个不相交的闭 集A和B 分别存在开邻域U以及V 使得 U V Proof 充分性显然 下证必要性 由正规性 存在A B的邻域U V 使U V 另一方面 存在A的邻 域U0使U0 U 同理 存在B的邻域V 0使V0 V 则U0 V 0 练练练习习习0 4 证明拓扑空间X为T1空间当且仅当 x X 单点集 x 是x的所有开 邻域之交 Proof 充分性 设 x T Vx Ux Vx 任取y X y 6 x 则存在V 0 x Ux使y V 0 x 同理 有x的邻域不含y 所以X为T1空间 必要性 设X为T1空间 y X y 6 x 则存在V 0 x Ux使y V 0 x 所 以y T Vx Ux Vx 故 x T Vx Ux Vx 练练练习习习0 5 证明拓扑空间X为T2空间的充要条件是X X的对角线 x x x X 为闭集 Proof 必要性 设X为T2空间 x y c 则y 6 x 所以存在邻域Ux Uy使Ux Uy 因此Ux Uy c 故 c是开集 从而 是闭集 充分性 设 是闭集 则 c是开集 x y X x 6 y 则 x y c 于 是存在积空间的基开集Ux Uy使 x y Ux Uy c 即Ux Uy 从 而X是T2空间 练练练习习习0 6 设A是T1空间X的任意子集 则A的导集是闭集 2 Proof 证法一 设x A00 则对任意的U Ox 有U A0 x 6 取y U A0 x 则U Oy y 6 x 且y A0 因X是T1的 所以存在V Oy 使得x V 因此有 U A x U x A V U x A V U A V U A y 6 这说明x A0 A00 A0 从而A是闭集 证法二 由杨忠道定理 只需证明单点集的导集是闭集 对任意的x X 由于 x 0 x x 所以 x 0 是闭集 练练练习习 习0 7 设f g X Y 是连续映射 Y 是Hausdorff 空间 证明 1 集合E x X f x g x 是X的闭子集 2 如果A是X的稠密子集且f A g A 则f g Proof 1 证法一 设x Ec 则f x 6 g x 于是存在G Nf x 以及W Ng x 使得G W 因f g连续 故存在U V Nx使得f U G g V W 又U V Nx 且对任意的z U V 有f z 6 g z 即U V Ec 从而Ec是X的开集 即E为闭集 证法二 设 xd d D是E中的网 x limxd 因为对任意的d D xd E 故f xd g xd 由于f g都连续 所以f x g x limf xd limg xd 由于Y 是Hausdorff 空间 根据极限的唯一性可知f x g x 于是limxd E E是闭集 2 因f A g A 故A E 而X A E E 于是X E 即对任意 的x X 有f x g x 即f g 练练练习习习0 8 证明Urysohn引理的充分性 如果拓扑空间的任意两个不交闭集可用 一个连续函数分离 则该拓扑空间是正规的 Proof 设A B是X的两个不交闭集 则存在连续函数f X 0 1 使得f A 0 f B 1 令U f 1 0 1 2 V f 1 1 2 1 则U V 分别是A B的邻 域 并且U V 所以X是正规的 练练练习习习0 9 证明多于一点的连通T3 5空间的开子集是不可数子集 Proof 设G是T3 5空间X的非空开集 x G 1 如果G X 则存在y X 且x 6 y 于是存在连续函数f X 0 1 使f x 0 f y 1 由X的连通性可知f X 0 1 所以X不可数 2 如果G 6 X 则Gc6 而Gc是X的闭集 故存在连续映射g X 0 1 使g x 0 g Gc 1 因X连通 所以有g X 0 1 又 g X g G g Gc g G 1 所以 0 1 g G 即g G 不可数 从而G不可数 练练练习习习0 10 证明分离性质是拓扑性质 3 Proof 以完全正则性为例 设h X Y 是同胚映射 X是完全正则空间 下 证Y 也是完全正则空间 任取y Y 以及不含y的闭集B Y 则h 1 B 是X中不含x h 1 y 的 闭集 由X的完全正则性可知 存在连续映射f X 0 1 使得f x 0 f h 1 B 1 于是连续映射g f h 1 Y 0 1 满足g y 0 g B 1 练练练习习习0 11 证明T0 T3 5空间的子空间仍然是T0 T3 5空间 Proof 参看第0 12题 练练练习习习0 12 证明正则空间的子空间是正则的 Proof 设X是正则空间 Y 是其子空间 设y Y B是Y 中不含y的闭子集 则在X中存在一个闭子集B0使得B B0 Y 因y B 所以y B0 因X正 则 所以分别存在y和B0在X中的邻域U0和V0使得U0 V0 令U U0 Y V V0 Y 则U V 分别是y和B在Y 中的邻域 而且U V 练练练习习习0 13 证明正规空间的闭子空间是正规的 并举例说明正规空间的一般子 空间不一定是正规的 Proof 先证明正规空间 T4空间对闭子集具有遗传性 设X是正规空间 A是X的闭子集 B1 B2是A的不交闭集 则它们也是X的 不交闭集 由X的正规性 存在B1的邻域U和B2的邻域V 使得U V 从 而U A与V A就分别是B1与B2在A中的不交邻域 所以A是正规的 如果X是T4空间 A是X的闭子集 则A是正则的和T1的 所以是正规的 下面举例说明正规性对一般子集是不可遗传的 设 X T 是非正规的 是不属于X的任意元素 令X X T T X 则 X T 是拓扑空间 下面证明这个空间是正规的 设A B是X 的任意两个不交闭集 则至少有一个不含 不妨设 A 则X A为 的邻域 从而X A X 故A 于是 和X 分别是A和B的 邻域 且不相交 练练练习习习0 14 证明完全正则性是有限可积性质 先证明一个引理 引引引理理理0 15 设设设I 0 1 m I I I定义为m t1 t2 max t1 t2 则m是 连续的 Proof 对任意的a 0 1 有m 1 0 a 0 a 2是I I的开集 对每个b 0 1 有m 1 0 b 0 b 2是I I的闭集 从而 m 1 b 1 m 1 0 1 0 b I I m 1 0 b 是I I的开集 另一方面 S 0 a a 0 1 b 1 b 0 1 是I的拓扑子基 所以m连续 4 下面设X1 X2是完全正则空间 证明X X1 X2也是完全正则的 Proof 设x x1 x2 X B是X中不含x的闭集 则存在xi在Xi中的邻域Ui i 1 2 使得 x x1 x2 U1 U2 Bc 由于Xi是完全正则的 所以有连续函数fi Xi I满足fi xi 0 fi Xi Ui 1 定义映射f m f1 f2 X1 X2 I 则f是连续的 且 f x m f1 f2 x1 x2 max f1 x1 f2 x2 0 而且当y y1 y2 X1 X2 U1 U2 时 有y1 U1或者y2 U2 因此 有f1 y1 1或者f2 y2 1 从而有 f y m f1 f2 y1 y2 max f1 y1 f2 y2 1 由于B X1 X2 U1 U2 故对每个y B都有f y 1 练练练习习习0 16 证明T0 T3 5空间的积空间仍然是T0 T3 5空间 正则空间的积空 间是正则空间 Proof 以正则空间为例 设X1 X2是正则空间 x x1 x2 X1 X2 U是x的 开邻域 则存在x1在X1中的开邻域U1和x2在X2中的开邻域U2使得U1 U2 U 由X1 X2的正则性 存在x1的开邻域V1和x2的开邻域V2使V 1 U1 V 2 U2 于是 V1 V2就是x在X1 X2中的邻域 并且 V1 V2 V 1 V 2 U1 U2 U 所以X1 X2是正则的 练练练习习习0 17 举例说明正规空间的积不必是正规空间 T4空间的积也不必是T4空 间 Proof 下限拓扑空间 R T 是T4空间 而两个下限拓扑空间的乘积不是正规空 间 事实上 R T 显然是T1的 由于每一个点的每一个邻域有一个闭子邻域 所以 R T 是正则的 由于下限拓扑空间是Linderlof空间 由吉洪诺夫分离性 定理可知下限拓扑空间是正规的 设 R是两个下限拓扑空间的乘积 E n x y R x y o 则E是 R的闭 子集 如果 R是正规的 则其闭子集E必然也是正规的 然而E不是正规的 因为E的子集A x y x Q 与B Ac不能用邻域分离 因此 R不是正规 的 练练练习习 习0 18 设X是Hausdorff 空间 f X X是连续映射且满足f f f 证 明f X 是闭集 5 Proof 证法一 设x f X c 则x 6 f x 故存在U1 Nx V Nf x 使 得U1 V 又f连续 所以存在U2 Nx使f U2 V 令U U1 U2 则U是x的邻域 且U f X c 事实上 若存在z U 使得z f X 即存 在y X使z f y 则有f z f f y f y z 而f z f U V 所 以有z U V U1 V 矛盾 矛盾说明U f X c 即f X 是闭集 证法二 设 是f X 的网 y lim 因f f f 所以有f f f f 这里 是X中的网 且f 由连续性可知 f y limf lim 根据Hausdorff 空间极限的唯一性可知y f y 所以y f X 于是有lim f X 因此f X 是闭集 练练练习习习0 19 证明 如果T1空间有一个有限基 那么该空间只有有限个点 而且 是离散拓扑 Proof 设X是T1空间 B是有限基 根据基与拓扑的关系可知只有有限个开 集 从而只有有限个闭集 又因为T1空间的单点集是闭集 所以X是有限集 由于X的单点集是闭集 且X是有限集 所以任意子集都是闭集 从而任意 子集也是开集 因此是离散空间 练练练习习习0 20 设A是T1空间X的多于一点的连通子集 那么A A0 Proof 用反证法 假设存在x A 但x A0 则必有U Ox使U A x 因此有U A x 于是 x 是A的既开又闭的非空真子集 这与A的连通 性矛盾 练练练习习 习0 21 设 X T 是无限的Hausdorff 空间 证明 1 在 X T 中存在无限多个非空开集互不相交 2 如果 X T 是第二可数的 则CardT 2 0 Proof 1 若X0 则对任意的x X 存在U Ox 使得U X x 即单点集是开集 X是离散空间 结论成立 若X06 设x X0 取x1 X x 则存在开集G1 U1使得x1 G1 x U1 且U1 G1 现在归纳假设G1 Gn是一组两两不相交的非空开 集 U1 Un是x的一组开邻域 使得对i 1 n 1有Ui 1 Ui 对i 1 n有Gi Ui 下面定义Gn 1 因Un X x 6 可取xn 1 Un X x 则存在开集G n 1 U n 1使 得xn 1 G n 1 x U n 1 而且G n 1 U n 1 令Gn 1 G n 1 Un Un 1 U n 1 Un 则xn 1 Gn 1 故Gn 16 且对任意的i 1 n有 Gn 1 Gi G n 1 Un Gi G n 1 Ui Gi 由归纳原理可知G1 Gn 即为所求 2 设B是X的可数基 对任意的非空开集G 记 B G B B B G 6 令 T P B G 7 B G 由于SB G G 所以 是单射 从而有CardT 2 0 另一方面 由 1 可 知X有无限多个两两不相交的非空开集 记这样的开集族为G 定义 f P G T A 7 A 则f是单射 所以有 2 0 CardP G CardT 练练练习习习0 22 设X x y Q Q y 0 对固定的无理数 令 N x y n x y B x y B x y Q o 令T 是X上以 N x y x y X 0 为基的拓扑 证明 X T 是T2的 但 不是T2 5的 这里 B r 是x 轴上的区间 r r Q是x 轴上的有理数 集 练练练习习习0 23 设T 是R的通常的拓扑 令K 1 n n N T 1 G E G T E K 则 R T1 是T2的 但不是正则和正规的 练练练习习习0 24 令 X x 1 x2 R2 x2 0 B B x 0 x2 x x1 x2 X B x x2 x1 0 x x1 x2