机械能守恒定律·典型题剖析.doc

机械振动知识点应用一、掌握简谐振动的判断；正确理解简谐振动的特征和规律【例1】物体作简谐振动时，下列叙述正确的是 A平衡位置就是回复力为零的位置B处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态C物体到达平衡位置，合力一定为零D物体到达平衡位置，回复力一定为零解析 单摆在摆角小于5时的摆动是简谐振动，当摆球摆动到悬点正下方（平衡位置）时，摆球受重力mg及细绳拉力T，因摆球在平衡球在平衡位置不是处于平衡状态（合力不为零）正确答案为A，D【例2】如图79所示，弹簧振子的质量为M，在光滑水平面上以振幅A作简谐振动，在振子上放一质量m的砝码，砝码随滑块M一起作简谐振动，已知弹簧的劲度系数为k使砝码随滑块一起作简谐振动的回复力是什么力提供的？其回复系数多大？（回复力跟位移成正比的比例系数为回复系数）砝码与滑块的动摩擦因数为，砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅多大？解 依题意，以砝码与滑块组成系统为研究对象，使它们一起作简谐振动的回复力是弹簧弹力提供，根据判别物体作简谐振动的条件方程为F=-kx=（M+m）a以砝码为研究对象，滑块对砝码摩擦力提供回复力f=-kx=ma砝码所受的摩擦力约束滑块的运动，依题意它们一起振动，即具有相同的加速度，式改写为f=-kx=ma 将式代入式得依题意，设砝码所受的最大静摩擦力恰好等于滑动摩擦力砝码约束滑块的运动kA最大=mg把代入式得为所求说明 砝码受滑块作用的摩擦力提供使砝码往复运动的回复力但这摩擦力（回复力）却限制了滑块的运动状态的变化【例3】如图 710所示，在一倾角为的光滑斜板上，固定着一根原长l0的轻质弹簧，弹簧另一端连接着质量为m的滑块，此时弹簧被拉长为l1，现把滑块沿斜板向上推至弹簧恰好为原长，然后突然释放，求证滑块的运动为简谐振动解 松手释放，滑块沿斜板往复运动振动而振动的平衡位置即滑块开始时静止（合外力为零）的位置滑块离开平衡位置受力如图711所示，滑块受三个力作用，其合力为F=k（l1-l0-x）-mg sinF=-kx由此可证得滑块的振动为简谐振动【例4】木块质量为m，放在水面上静止（平衡），如图712所示；今用力向下将其压入水中一段深度后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判别木块的振动是否为简谐振动解 以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中x深，当木块压入水中x后所受力如图713所示，则F回=mg-F浮 又 F浮=gs（x+x） 由式和式得F回=mg-gs（x+x）=mg-gsx-gsxmg=gsxF回=-gsx即 F回=-kx （k=gs）所以木块的振动为简谐振动二、熟练应用简谐振动的周期公式【例5】通常把振动周期是2s的单摆叫做秒摆下述说法中正确的是 A摆长缩短为原来的四分之一时，频率是1Hz；B摆球质量减小到原来的四分之一时，周期是4s；C振幅减为原来的四分之一时，周期是2s；D如果重力加速度减为原来的四分之一时，频率为0.25赫兹正确答案：A，C，D平方根成反比；频率与重力加速度的平方根成正比单摆的周期与振幅大小无关，这是单摆等时性的特点【例6】如图714，为一双线摆，它是在一天花板上用两根等长细绳悬挂一小球而构成的摆线长为l，摆线与天花板夹角为，当小球垂直纸面作简谐振动时，其振动周期应为多大？解 双线摆可等效视为摆长为l的单摆，利用单摆的周期公式等效摆长 l=lsin 将式代入式得【例7】如图 715所示，在光滑导轨上有一个滚轮甲，其质量为2m，轴上系一根长为l0的细绳，绳下端挂一质量为m的摆球乙，放手后摆球作小幅度振动，其简谐振动周期T多大？解 将2m的甲球和m的乙球组成系统为研究对象，系统的重心为O点可视为单摆的悬点，利用单摆的周期公式说明 依动量守恒条件，2m在A位置时，m在B位置，当2m运动到A时，m运动到B【例8】单摆摆长为l，置于水平向右作匀加速直线运动的车厢中，其加速度为a，如图716所示，求此种单摆的周期解法一 以小车为系统，系统以a向右作匀加速直线运动，设单摆的平衡位置偏离竖直方向角，当摆球在平衡位置时，受到重力和摆线张力的作用，这两个力的合力F产生加速度a，如图717（a）所系统中摆球超重时的视重）记作F=T，由于a和g都不变，所以视重不变设单摆从平衡位置偏离角（5），则单摆回复力如图717（b）所示F=-Tsin=-Fsin根据简谐振动周期公式解法二 依简谐振动周期公式的变形，有式中l为摆长，m为摆球质量，F为除线张力之外的恒力它在数值上等于单摆在平衡位置（动态平衡）时的线的张力解法三 以小车系统为研究对象，根据运动合成，小球相对小车的加速度如图717（c）所示，说明 此题是加速系统中的单摆问题，虽然难度较大，但对培养同学的分析综合能力有益；加深理解单摆的周期变化的因素，能够从不同的单摆和类似单摆中找出等效摆长和等效的重力加速度g【例9】如图718所示BOC为一光滑圆弧形轨道，其半径为R，且R远大于 弧长若同时从圆O和轨道B点无初速度释放一小球P和Q，则AQ球先到达O点BP球先到达O点CP、Q同时到达O点D无法比较解 小球P由O到O为自由落体运动，根据自由落体运动规律由于R远大于 弧长，所以Q球在BOC的运动是简谐振动（证明从略）其周期可参照单摆来计算比较tQtp，P球先到达O点本题选B【例10】甲、乙两只相同的摆钟同时计时，当甲钟指示45分钟时，乙钟已指示1小时，则甲、乙两钟的摆长之比为L甲L乙=_解 本题两钟所用时间相同，但显示的时间各不相同，无法判断哪只表准确，也可能都不准确但表是相同的，即设计是一样的，摆每振动一次所显示的时间是一样的表所显示的时间就是摆的振动次数与标准钟的周期的乘积设甲、乙钟经过的时间为t，周期分别为T1、T2，标准钟的周期为T0，则两钟显示的时间为式、式相除得【例11】如图719所示，质量为m的木块放在竖直的弹簧上，m在竖直方向做简谐振动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最小值为物体自重的0.5倍，则物体对弹簧压力的最大值为_，欲使物体在振动中不离开弹簧，其振幅不能超过_解 物体m放在弹簧上让其缓慢下落，当重力mg与弹力kx相等时，物体处于平衡在此位置对物体施加向下的压力，使物体下移位移A时，撤去外力F，物体m将在竖直方向做简谐振动在振动过程中物体受重力和弹力作用，当压缩最小时，物体和弹簧的相互作用最小，应在平衡位置上方；当压缩量最大时，物体和弹簧的相互作用力最大，此位置应在平衡位置下方，且最小作用力和最大作用力的位置关于O点对称，离开平衡位置的距离均为A如图720所示，物体m在最高点时弹力为N1，最低点时弹力为N2，则kA=mg-N1 kA=N2-mg 由、式联立解得N2=2mg-N1=1.5mg由牛顿第三定律知N2=N2=1.5mg即物体对弹簧的最大压力为1.5mg若要m在振动过程中不脱离弹簧，则物体m与弹簧的相互作用力达最小，即N=0，所以最大振幅即为物体m平衡时的压缩量设m能达到的最大振幅为A，则kA=mg 由、式联立得A=2A【例12】如图721所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自作简谐振动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（1998年高考题） A如果mAmB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B如果mAmB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧平衡位置再与B相撞，如此交替下去当mAmB时，A球摆到平衡位置时与B球相撞，vAvB，但vA同，因此同时摆到各自最高点，同时回到平衡位置，这时vBvA，方向都向左，则B球撞A球但不论撞后A、B球速度怎样变化，由于A、 以只能在平衡位置再次相撞当mAmB时的情况也如此，只能在平衡位置A、B球相撞，其他位置不可能相撞综上所述，选项C、D正确【例13】如图722所示，AB为半径为R=7.50m的光滑的圆弧形导轨，BC为长s=0.90m的光滑水平导轨，在B点与圆弧导轨相切，BC离地高度h=1.80m，一质量m1=0.10kg的小球置于C点，另一质量m2=0.20kg的小球置于B点，现给小球m1一个瞬时冲量使它获得大小为0.90ms的水平速度，当m1运动到B时与m2发生弹性正碰，g取10ms2，求1）两球落地的时间差t；2）两球落地点之间的距离s；解 1）小球m1以v1=0.90ms匀速运动s后与m2弹性正碰，设m1、m2碰后的速度分别为v1和v2，以v1方向为正方向，由动量守恒和机械能守恒有m1v1=m1v1+m2v2 由、式联立解得即m1以0.3ms的速率反弹回设m2与圆心O连线最大偏角为，由机械能守恒有解得 cos=0.9976 4（5）所以m2在圆弧导轨上的运动可等效为摆长为R的单摆，其周期T=22）两球落地点之间距离为两球分别以速率v1与v2做平抛运动下落h高的水平位移之差，即=0.30.6=0.18（m）三、深入理解振动图像的物理意义【例14】图 723所示为质点P在04秒内的振动图象，下列叙述正确的是 A再过1s，该质点的位移是正的最大B再过1s，该质点的速度方向向上C再过1s，该质点的加速度方向向上D再过1s，该质点加速度最大正确答案：A， D说明 必须掌握，振动图象是描述质点在各个时刻离开平衡位置的位移的情况依题意，再经过1秒钟，将振动图象延伸到正y最大处，这时质点的位移为正的最大，因为回复力方向与位移方向相反，且回复力与位移成正比，所以回复力的方向为负向且最大，故振动物体的加速度最大且方向为负向此时振动物体的速度为零，无方向所以正确选项为A、D项【例15】图724（a）为单摆的振动图象，图724（b）为单摆作简谐振动的实际振动图象试在（b）图中标出t时刻摆球所在的实际位置及振动方向解 如图724（b）中所示C点说明 此题形象地揭示了振动图像的物理意义通过振动图象加深对简谐振动规律的理解，从而提高应用数学工具处理物理问题的能力同学们可自行思考在t时刻振动物体的回复力的大小、方向及变化特别注意，振动图象不是质点振动的轨迹【例16】如图725所示是一单摆的振动图象，在t1、t2时刻相同的物理量为 A位移 B速度C加速度 D势能解 由图知，在t1和t2时刻摆球的位移大小均为1厘米，但方向相反，故位移不同由于位移大小相等，因此势能相等，由机械能守恒知：t1和t2时刻的动能相等，所以速率相等，由图象可知t1时刻速度方向为x轴负方向，而t2时刻速度方向也是x轴负方向所以t1和t2时刻摆球的速度大小和方向都相同t1和t2时刻位移大小相等，方向相反，由回复力和位移的关系，知回复力大小相等，但方向相反，都指向平衡位置，根据加速度和回复力的关系，知加速度大小相等，方向相反，所以在t1和t2时刻位移、回复力、加速度都不相同综上所述应选B、D四、掌握受迫振动与共振现象【例17】 如图726所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，下面说法中，正确的是 A只有A球、C球振动周期相等BA球的振幅比B球小CC球的振幅比B球的振幅大DA球、B球、C球的振动周期相等正确答案：C，D使B球、C球作受迫振动，受迫振动的频率等于施加的策动力的频率所【例18】火车在铁轨上行驶时，每经铁轨连接处，便迫使车厢在弹簧上发生上下振动如弹簧受到每吨的压力将压缩20毫米，车厢下每个弹簧的实际负荷为5吨，火车在行驶时，车速的最大值为多少？（铁轨每段长为12.5m）解 根据胡克定律的计算公式，有F=kx车厢在弹簧上振动的固有频率为避免车厢共振，设车轮撞击铁轨连接处的频率为f，使ff0，而为使车厢避免共振现象发生，行驶车速不能等于19.9ms车速越接近19.9ms，车厢振动越激烈，车厢的破碎的可能性就越大五、正确理解机械波，掌握波长，频率（周期）、波速及它们的关系v=f=T；提高在波传播实际问题中的应用能力，掌握波动图像变化规律【例19】关于机械波的说法中，下列叙述正确的是 A要产生机械波，必须同时具有振源和传播振动的媒质B波动过程是振源质点由近向远移动的过程C波是振动形式的传播，物质（质点）本身没有沿波的传播方向迁移D媒质质点每完成一次全振动，波就向前传播一个波长的距离正确答案：A，C，D【例20】一列横波（简谐波），在t=0时刻的波形图如图727所示，自右向左传播，已知在t1=0.7秒时，P点出现第二次波峰，Q点坐标为（-7，0）则以下判断中正确的是 A质点A和质点B在t=0时刻位移是相等的B在t=0时刻，质点C向上振动C在t=0.9秒末时，Q点第一次出现波峰D在t3=1.26秒末时，Q点第一次出现波峰正确答案：B，C说明：由波形图可知t=0时，质点A和质点B分别处于波峰和波谷，其质点振动位移的大小虽然都是最大值，但方向相反；由于波向左传播，t=0时刻，质点P向y轴负向（下）运动，质点C向y轴正向（上）运动，再依已知条件，t=0.7s时P点出现第二次波峰，根据P点运动方0.7=0.4s，当A点的t=0时运动状态（波峰）刚传到Q点时，Q点第【例21】如图728所示，一列简谐横波，已知质点P经0.3秒第一次到达波谷，求波速（tT内）解 若波向右传播，有由、式得若波向左传播，有由、式得【例22】图729为一列简谐横波上两质点P、Q的振动图象，P、Q相距30ma）若P质点距振源近，则横波波速多大？ b）若Q质点距振源近，则横波波速多大解 a）P质点距振源近，就表明P质点先振，由图729所示，8=8n+2（n=0，1，2，3，）b）若Q质点距振源近，就表明质点Q先振，由图729所示，Q质点运动状态在t左时间内传到P点，则波速（n=0，1，2，3，）形图像的变化规律，熟练掌握画某时刻的前后若干时刻的波形图，从而提高图像变化的应变能力应掌握波传播方向与质点振动方向的联系通过训练，要掌握媒质质点周期性振动和波周期性变化的规律【例23】 简谐横波某时刻的波形图线如图730所示，由此图可知 A若质点a向下运动，则波是从左向右传播的B若质点b向上运动，则波是从左向右传播的C若波从右向左传播，则质点c向下运动D若波从右向左传播，则质点d向上运动正确答案：B，D该题是1997年高考