勤径考研_数学(一)极点冲刺金卷2010【模拟五】解析.pdf

2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 1 绝密 启用前 2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 一 试卷 模拟五 详细解析 考生注意 本试卷共二十三题 满分 150 分 考试时间为 180 分钟 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个符 合要求 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 本卷为题后的括号里 1设 f x为连续函数 0 lim1 1 cos x f x x 则 2 sin 0 x f t dt 是关于x的几阶无穷小 ABCD3624 解 选 B 222 00 2 11 limlim11 1 1 cos22 2 xx f xf x f xxoxx x x 2 sin 22 0 11 000 4 6 16 00 2sin cossin2sin limlimlim 221 limlim 3 x nnn xxx n nn xx f t dtxx fxxfx xnxnx x x nxnx 2设对任意x 都有 3 3 x x f t dt 11f 则 0 sin lim 232 x x fxfx 11 2 3 23 ABCD 解 选 A 对任意x 都有 3 33 x x f t dtf xf x f x为周期为 3 的周期函数 000 000 sin12sin limlimlim 2322232 1111111 limlimlim 232222212 2 xxx xxx xxx I fxfxfxfxx fxfxff x 3函数 342 22 22 0 0 0 x yxyx y xy xyf x y xy 则下列结论正确的是 00 00 00 00 lim 0 0 lim 0 0 lim 0 lim 0 xx yy xx yy f x yf x y Af x yBf x y ll f x yf x y Cf x yDf x y ll 不恒为 不存在不存在 解 选 D 强行代入 知分母当yx 时为零 因此特殊路径可以考虑与yx 相切的高次曲线 即 n ymxx 形式 又因为分子的最低阶为3 要使极限可能存在 分母必须小于等于3 故取3n 3 ymxx 得分 评卷人 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 2 3 4 33323 3 00 0 4 2222 0 lim lim 111 1 lim xx y y mxx x xmxxx mxxxmxx f x y mx x mxxmxmx mm 由于极限与m有关 故极限不存在 大家要学会这一方法 又如 求 2 00 0 1 limlim xx y y mxx xyxy I xyxym 故极限不存在 342 00 342 0 0cos 0sin0 0 limlim cossincossincossin 0 cossin lim0 tt t x yxyx y f x yfttf xy ltt tttttt tt t 4设 f x在 a b上连续 在 a b可导 a b 则下列关系不正确的是 222 2 2 3 Aab ffB ff Cab ffDaabbff 解 选 A 这类问题首先利用柯西中值 再用拉中 23 2 1 2 0 f bf affbaf let g xx xxx g bg agg bg ag fbaf g xxab ff ba x 但在点不存在 故关系不成立 2 22 3222 332 1 2 2 3 3 fbaf g xxff ba fbaf g xxab ff ba fbaf g xxaabbff ba 5已知A相似 1100 1100 0022 0022 B 则 424r Ar AEr AErAE 6 9 8 12ABCD 解 选 D 因为 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 3 2 1234 1100 1100 240024 0022 0022 BE 由于 AB 所以A的特征值也是 1234 024 由于B是实对称矩阵 所以可以对角化 则A 也可对角化 从而A的对应二重特征值0必有两个线性无关的特征向量 因此 0422r Ar AE 1不是A的特征值 所以0AE 即 4r AE 又A对应单特征值 2 4 只能分别有一个线性无关的特征向量 故 44 13 2424 13r AErAEr AE 所以 424243 312r Ar AEr AErAE 6已知A为四阶矩阵 若 123 101 1 0110 1 101 TTT 为AXb 的三 个解 则下列命题不正确的是 0 0 00 AAABr A CA xAxDA 与的基础解系所含向量个数相等任意非零向量都是 的特征向量 解 选 C 因为 1223 均为0AX 的非零向量 且线性无关 4220Or Ar Ar AA 故 ABD均正确 7已知随机变量 X Y相互独立 概率密度函数分别为 X fx Y fxZaXbY 则 Z fz 1 11 XYXY XYXY zbyzby Affy dyBffy dy aba zaxzax Cfx fdxDfx fdx bbbb 解 选 D Z ax by z FzP ZzP aXbYzf xy dxdy 1 11 1 z by zz ax by u a dxdu a ZZ ubyuby dyf xy dxdyfy dufy dy du aaaa uby fzFzfy dy aa 按照同样的方法 改变积分次序 可以推出选项 D是正确的 评 注 这个公式特别重要 记忆上也有规律 在形式上 只要从zaxby 中解出 zax y b 代换 Y fy中的y 或者从zaxby 中解出 zby x a 代换 X fx中的x即可 8设随机变量 X Y满足 20DXY 则相关系数 XY 0 1 1 2ABCD 解 选 C 2022DXYXYCYXC 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 4 2 2 2 1 42 XY Cov X YCov XXCCov XXCov X CDX DX DYDX DYDXDXDX DXC 注意协方差矩阵 12 12 112 1121112 12 1222122 122 X X X X DXDX DX DXCov XX XX Cov XXDX DX DXDX 对于正态分布 2 1112 112 222 12 2 2122 122 1 注意下列题目的分布中变量的取值变化 已知随机变量X的密度函数为 1 0 xx f x other 2 1YX 求概率密度 Y fx 解 选 C 2 1YX 所以 Y fx在 1 范围内必为零 11 2 10 0 1 1121 12 1 2 1 12 1 2 0 yy Y y YY y FyP YyP XyP Xyf x dxxdxyy y y fyFyU other 下列题型也值得重视 设随机事件A B互不相容 且 1 4 P AP B 1 0 A X A 发生 不发生 1 0 B Y B 发生 不发生 求 XY 解 A B互不相容AB 2 2 2 2 2 2 1 10 0 1 1 0 0 01 1 1 0 XY P XYP AB P XYP ABP B P XYP ABP A P XYP ABP AP B EXP ADXEXEXP AP AP AP A EYP BDYEYEYP BP BP BP B EXYP AB Cov X YEX DXDY 利用文氏图容易得出 利用文氏图容易得出 利用文氏图容易得出 1 0 01 16 113 11 1 44 P A P BYEX EY DXDY P AP AP BP B 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 5 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在在答题纸指定位置上 9 2 2 0 3 0 6 cos sin3coslim 2 x x tt dt x dxxxdx xxx 解 请注意 常用技巧和基本结论是快速解答选择题的有效手段 2 22 36333 666 222 333 666 2 0 cos cossin2 22 2 2 cos1cossin1ln2 ln 222222 sin3cos2sin 3 xt t xt dxdtdt xxtt tt xxxx dxdx xxxxxxx xxdxx 2 33 00 3 2sin2sin4sin8 3 xt dxxdxtdttdt 极限 0 lim x x tt dt x 其中 t表示不超过t的最大整数 设Tx 则 1 000 TxT dtttdtttdttt 即 2 1 2 0 T dttt T x 而1 1 limlim x T x T xx 根据夹逼准则 2 1 lim 0 x dttt x x 故原式 ln217 2 10设0 0 1 yxyxD 则二重积分 cos D xy dxdy xy 解 在极坐标下 2 0 sincos 1 0 rrD 因此 1 2cossin 00 cossin coscos cossin D xy Iddrdr xy 22 2 00 2 2 2 0 0 11tan111 coscos tan 21tan cossin 244 2cos 4 111 cos tantansin tansin1 444442 dd d 11 微分方程 22 y dxx dyxydy 的通解为 解 2 2 222 y x y x y xyx dy dx dyxyxdxyxydydyxdxy 设u y x 则 dy du yu dy dx yduudydxuyx 代入 得分 评卷人 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 6 Cy x y Cy uy dy u du u dy du yuu dy du yu lnln 1 2 22 或 x y Cey 12已知 是曲面 22 zxy 满足zx 的部分的下侧 则 2 Ixdydzy dzdx 解 根据第二类曲面积分的对称性 2 0y dzdx 22 2 22 2 11 22 cos 2226 22 00 2 11 22 5 3 15 22coscos 6 4 2232 xy xy z Ixdydzxdxdy x x dxdydrrdrd 13设4 3 阶矩阵 123 A AX 的通解为 31 22 13 k k为任意常数 1231 B 则方程组 23 BY 的通解为 解 231231 0 1 0110 1 0 为 23 BY 的一个解 A为4 3 阶矩阵 0AX 解空间维度为 1 故 2r Ar A AX 说明 可由 123 表示 故 2r B 31 22 13 k 代入AX 得 1231 123 123 1231 421032 2302300 4 2 1 1 1 2 3 0 是0BY 线性无关的解 故 23 BY 的通解为 11 041 122 113 010 kk 14设随机变量X Y相互独立 0 1XU 1 012 3 YP YP YP Y Y Z X 则 Z Fz间断点的个数为 解 利用全概率公式 111 0 1 2 333 1111211112 00 333333 Z YYY FzP ZzPz YPz YPz Y XXX PzPzPzP zP XP X XXzz 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 7 1112 00 33 1 00000 3 Z Z zFzP XP X zz Y zFzP ZPP YP Y X 11112 00 333 11112112 113 3333 Z XX zFzP zP XP X zz P XP XFF zzzz Z Fz间断点的个数等于 1 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 请将解答写在在答题纸指定位置上 解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 求下列函数 a 2 1141 1 d f xxxxdxx dx b 31 10 1 2 g xxdxt txdt 解 a利用基本结论 1 1 1 1 xd xx dxx sgn11 sgn1xxxxxx 22 22 33 1 114121114sgn11 1 11 21114sgn11 12 11 2112111 11 x f xxxxdxxxxxxdx x x xxxxxc x xx xxxxcc x xx b取左边整数点的值 1135 23 2222 5113 11 2222 1 101234 2 xdxdxdxdxdxdx 令0txtx 为隐含边界 我们只需要在 3 个分界点0 1xt 讨论积分即可 11 00 11 3 00 11 00 1 0 32 111 0 323 1 1 23 x x x xt txdtt tx dt xt txdtIt tx dtt tx dtxx x xt txdtt tx dt 评 注 对于一元函数含参积分问题 必须优先明确参数的取值范围 比如 本题的积分参数是x 它的边界点 是 0 和 1 定积分的上下限 xt 为分界点 故分为 3 个区间讨论积分 积分结果是分段函数形式 得分 评卷人 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 8 11 00 11 3 00 11 00 3 1 0 32 111 01 323 1 1 23 1 0 32 111 4 01 323 1 1 23 x x x xt txdtt tx dt xt txdtIt tx dtt tx dtxx x xt txdtt tx dt x x g xxxx x x 16 本题满分 10 分 设 f x在 0 1上连续非负 0000fff 0fx 设 XY为 区域 2 0 1Dx yRyf xxy 的形心 求证 3 4 X 解 0 0 a a xf x dx X f x dx 要证 3 4 X 等价于要证明 1 0 3 0 0 1 4 xf x dxx 构造辅助函数 000 33 44 xxx F xtx f t dttf t dtxf t dt 0 00 10 13 00 44 11 00 42 111111 444444 x FF Fxxf xf t dtF Fxxfxf xF Fxxfxxfxxfxfx fxfxfx 显然只须证明 00 0 000000 0 0 0 3 000 4 f fxx FFF fxffxfxfxx Fx FxFxFxFxFxF xX 说明 17 本题满分 9 分 设 f x在 a b上连续 在 a b上可导 且 0 bb aa f x dxxf x dx 证明 存在 a b 使得 2 b fff x dx 证明 根据积分中值定理 00 b a a bf x dxfbaf 如果 f x在 a b只有一个零点 则由 f x的连续性和 0 b a f x dx 推知 f x在 a 和 b 上 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 9 分别保持恒正和恒负 于是 00 bbb aaa xf x dxxf x dxf x dx 与题设矛盾 所以 f x在 a b至少有两个零点 设还有一个零点为 不妨设 令 b x F xf xf x dx 22 0 0 0 bb xx FFa bF ff x dxffff x dx 罗尔定理 使得 即 注意下列题型 设0ab 函数 f x在 a b可导 且 lim lim xaxb f xAf xB 证明 存在 a b 使得 aBbA ff ab 证明 根据题给条件 可以补充定义 f aAf BB 则函数在 a b上连续 设 1 f x F xG x xx 根据柯西中值定理 必存在一点 a b 使得 2 2 111 ff BA F bF aFaBbA ba ff G bG aGab ba 18 本题满分 10 分 a求不定积分 11 dx xx b计算 22 Ixy z dxdyx y zdydz 其中 为曲面 22 zxy 和平面1z 所围 法向量向外 解 a 设 2 2 4 23 1 1 1 42 t t xxtxdxdt tt 4 323 1 2 111111 1 21211 11111 lnln11 22222 dxt Idtdt tttttxx x ttcxxxx xc tt 评 注 真分式的 极点展开法 与待定系数求法公式是解决该类题型的关键 a 单根情形 12 12 lim i i ii xx i B xB xkkk kxx A xxxxxxxA x 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 10 bi重根情形 1 122 11121 1 1212 11 1 1 1 1 lim 1 i i rr i r ii i xx x x B xBxBxBxkkk A xA xAxxxAx xxxx B xd kxx idxA x 例如 分解分式 22 1 11 1 1 1 ABC tt ttt 1t 为单根 则 22 11 111 1 4 1 1 1 tt Ct ttt 1t 为二重根 则 2 2 1 1 111 1 12 1 1 t t At t tt 2 22 11 111 1 4 1 1 1 tt d Bt dt ttt b根据第二类曲面积分的对称性 积分第二项为0 这一结论可以直接使用 如要计算第二项 由于 2 x y z x 不存在 则不可使用高斯定理 必须使用投影法 在yoz平面分三部分进行积分 其结果也是 0 22 1 222 11 34 2 00 2 1 884sincos1 4 xy D Ixy z dxdyx y zdydzxy z dxdyxy zdxdydz xyzdxdydzxydxdyzdzdrrdr 19 本题满分 11 分 a判断级数 1 1 0 1 n p n n p n 的敛散性 b求级数 1 0 43 n n x x n 的和函数 解 泰勒展开法 111 111 p nn p n pp nnnpo nnn 11 11 111 11 111 111 1 11 1 11 01 nn pppp n n ppp nnn n ppp nnn p o nnn n p po nnn p po nnn 绝对收敛 故原级数绝对收敛 条件收敛绝对收敛 故原级数条件收敛 b令 443 433 111 434343 nnn nnn xtt xttt S t nnn 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 11 44 4 1 1 33133 4 444 1 1 4 1111 lnarctan 1412 1111 lnarctanlnarctan 4341242 1 n n n n t S ttS tt tt xtttx txxx nt x 20 本题满分 11 分 已知A是n阶实对称矩阵 a求证 A为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵C 使得CCA T b若 510 121 011 A 试求可逆矩阵C 使得CCA T 解 a必要性 由A正定知二次型AxxT的规范形为 22 2 2 1 n yyy 即存在可逆变换Pyx 使得 EyyAxx TT 那么可计算得 11 EPPA T 令 1 PC即有CCA T 充分性 若CCA T C可逆 那么0 x 有0 21 T n bbbCx 而0 22 2 2 1 n TTTT bbbCxCxCxCxAxx 即二次型AxxT正定 从而矩阵A正定 b 2 3 2 32 2 213221 2 3 2 2 2 1 2 2252xxxxxxxxxxxxAxxT 那么令 3 2 1 3 2 1 200 110 011 x x x y y y 则有 2 3 2 2 2 1 yyyAxxT 根据 中的论证 令 200 110 011 C即可满足题中条件 21 本题满分 11 分 设 1234 为四维列向量 123 线性无关 4123 2 已知 方程组 12231234 a 有无穷多个解 I求a的值 II求该方程的通解 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 12 22 本题满分 11 分 设 1 X 2 X是来自总体X的简单随机样本 2 1 1 2 i i XX 2 2 2 1 i i SXX 1当X服从数学期望为 的指数分布时 求 12 EX X 2当 2 XN 时 求 2 2 E XS 解 a 1X服从数学期望为 的指数分布 1 0 0 0 x ex f x x 2 22 2 1212 2222 222 00 2 2 12 11 0 1 2222 2224 txt xtt x EX XEXEXEX EXxedxt edtt edtETTN DTETEX X 2 2 22 244 E XSE X SEX ES 2 2 1 22 XNN 2 2 22 22 22 2 12112212 2222 2 12211212 2 22 1212 12 1 2 1111 2222 11 2 42 0 2 0 1 1 22 EXDXEX SXXXXXXXXXX XXXXXXXXS XXXX XXNN 2222 2222 2222 2 422 44444 422 2 1 111 12 2 2 13 SSSS EEDD SSS ESEDE 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 13 所以 2 22 244422 1 3 2 E XSE X SEX ES 23 本题满分 11 分 设总体X具有下列分布律 其中 01 为未知参数 X 1 2 3 k p 22 1 1 2 1如果已知知样本值 123 1 2 1xxx 试求参数 的矩估计值和最大似然估计值 2如果未知样本值 试求参数 的矩估计量和最大似然估计量 3检验 01 0 1 0 9HH 抽取 3 个样本 取拒绝域为 123 1 1 1WXXX 求犯第一类错 误的概率 和第二类错误的概率 解 1 3 2 2 1 14 12 112 213132 33 ii i xEXp x 5 6 EXx 225 1212121 ln5 lnln25lnln 10 6 LP XP XP X L L 2 3 2 2 1 3 12 213132 2 ii i X EXp xX 把X的分布律写成等价的代数式 即 1 133 21 1 2 3 x xxx P Xxx 1 133 1 1 111 1 21 ln13 ln23ln1 ln 1 ln3ln 1ln213 ln3ln 1ln213 i ii i n x xxx i n iiii i nnn iiii iii n ii i L Lxxxx nxxnxx nnxnxnxx ln1133 30 122 LxX nnxnxn 3 2 X 为 的一致估计量 注意 对于这种未给出样本点的题型 关键是写出离散分布的代数形式 3犯第一类错误的概率 66 001230 1 1 1 1 0 1 1 10PHHP XXX 拒绝为真 2010 考研数学一智轩冲刺金卷 五 详细解析 勤径网校 http bbs qinjing cc 14 犯第二类错误的概率 6 001230 9 11 1 1 0 91 0 4684PHHP XXX 接受为假 假设检验的标准题型有 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率 单位 cm s 服从正态分布 2 40 2 N 现在用新方法生产了一批 推进器 从中随机地抽取 25 只 测得其燃烧率的样本均值25 41 x 问这批推进器的燃烧率是否有显著提高 取显著性水平 05 0 解 假设形式为 0010 HH 单个正态总体 已知 2 估计 选检验统计量 0 40 0 1 2 5 XX ZN n 检验方式为右边 单边检验 检验量 4041 2540 3 125 2 52 5 x z 理论值 0 05 1 645zz 拒绝 0 H 接受 1 H 即认为这批推进器 的燃烧率有显著提高 评 注 当假设形式为 0010 HH 时 只要比较 0 Z 枢轴量 的理论计算值与分位数的查表 值 2 Z 的大小即可 属于双边检验 即有结论 a 0 2 ZZ 0 Z落在拒绝域内 从而拒绝原假设 0 H 认为 1 H正确 b 0 2 ZZ 0 Z未落在拒绝域内 从而接受原假设 0 H 认为H 正确 但是 如果假设形式为在假设 0010 HH 或 0010 HH 下 就要比较 0 Z 枢轴 量 的理论计算值与分位数的查表值Z 的大小 属于单边检验 即 a 0 ZZ 0 Z落在拒绝域内 从而拒绝原假设 0 H 认为 1 H正确 b 0 ZZ 0 Z未落在拒绝域内 从而接受原假设 0 H 认为H 正确 某批矿砂的