概率论参考答案 刘金山 主编 第4章.pdf

13 第 4 章 习题 A 1 设随机变量 X 的分布律为 X 0 0 1 1 2 2 k p 1 4 1 2 1 4 求 E X 2 2 E X 及 D X 解 由期望的定义 可得 111 0121 424 E X 2222 1113 012 4242 E X 从而 22 37 2 22 22 E XE X 2 2 1 2 D XE XE X 2 把4个球随机地投入4个盒子中 设X表示空盒子的个数 求 E X和 D X 解 先求 X 的概率分布 X 的可能取值为 0 1 2 3 于是 4 4 6 0 464 P X 111 443 4 336 1 464 C C C P X 232 444 4 2 21 2 464 CCC P X 4 41 3 464 P X 于是 63621181 0123 6464646464 E X 22222 636211129 0123 6464646464 E X 222 2 129811695 646464 D XE XE X 3 设随机变量 X 的概率密度为 2 1 01 0 xx f x 其它 14 求 E X和 D X 解 1 0 2 1 E Xxf x dxxx dx 11 2 00 1 22 3 xdxx dx 1 2 0 1 2 1 3 D Xxx dx 1 2 0 211 2 1 3918 xxx dx 4 设随机变量 X 的概率密度为 110 101 0 xx f xxx 其它 求 E X和 D X 解 01 10 1 1 0E Xxx dxxx dx 01 222 10 1 1 1 6 E Xxx dxxx dx 于是 22 1 6 D XE XE X 5 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数 每次射中目标的概率为 0 4 求 2 E X 解 由于 X 服从二项分布 所以 4E X 和 0 24D X 又由于 22 16 24E XD XE X 6 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布 求 32 EX 解 因为 X 服从参数为 2 的泊松分布 所以 2E X 从而 32 3 23 224EXE X 7 设一部机器在一天内发生故障的概率为 0 2 机器发生故障时全天停止工 作 一周 5 个工作日 若无故障 可获利润 10 万元 发生一次故障仍可获利润 5 万 元 若发生两次故障 或利润 0 元 若发生 3 次或 3 次以上故障就要亏损 2 万元 求一周内的利润期望 解 设这部机器内有X天发生故障 一周的利润为Y万元 由题意可知 5 0 2 XB 且 15 100 51 02 23 X X Y X X 则 1005102 2 3E YP XP XP XP X 005114005114223 55555 10 0 2 0 8 5 0 2 0 8 2 1 0 2 0 8 0 2 0 8 0 2 0 8 CCCCC 5 20896 8 设某工厂生产的圆盘 其直径在区间 a b上服从均匀分布 求该圆盘面积 的数学期望 解 设 X 表示圆盘的直径 由题意可知 X 的概率密度为 1 0 axb f xba 其它 求 1 2YX 2 2X Ye 的数学期望 解 1 由于 X 服从参数为 1 的指数分布 故 1E X 从而 2 2 2E YEXE X 1 22 0 1 3 Xxx E YE eee dx 10 设随机变量 和 是相互独立的 且服从同一分布 已知 的分布律为 1 1 2 3 3 Pii 又设max X min X 1 求二维随机变量 X Y 的分布律 2 求 E X和 E X Y 解 1 X Y 的分布律为 16 Y X 1 2 3 1 1 9 2 9 2 9 2 0 1 9 2 9 3 0 0 1 9 2 由 X Y 的分布律可得关于 X 的边缘分布律为 X 1 2 3 p 1 9 1 3 5 9 故 11522 123 9399 E X 11223221323116 1919192929399 E X Y 11 设随机变量 X Y 的概率密度为 1 02 02 8 f x yxyxy 求 E X E Y E XY和 22 E XY 解 22 00 17 86 E Xxf x y dxdydxxxy dy 22 00 17 86 E Yyf x y dxdydxyxy dy 22 00 14 83 E XYxyf x y dxdydxxyxy dy 22 222222 00 110 83 E XYxyf x y dxdydxxyxy dy 12 设随机变量 X Y 分别服从参数为 2 和 4 的指数分布 1 求 E XY 2 23 EXY 2 设 X Y 相互独立 求 E XY D XY 解 1 由于 X Y 分别服从参数为 2 和 4 的指数分布 故 11 24 E XE Y 1 16 D Y 因此 17 3 4 E XYE XE Y 又 22 111 16168 E YD YE Y 从而 22 15 23 2 3 1 3 88 EXYE XE Y 2 111 248 E XYE X E Y 115 41616 D XYD XD Y 13 设 1 2 XN 0 1 YN 且 X 和 Y 相互独立 求随机变量23ZXY 的概率密度 解 因为 1 2 XN 0 1 YN 且 X 和 Y 相互独立 于是 23 2 35E ZEXYE XE Y 23 4 9D ZDXYD XD Y 即有 235 9ZXYN 从而随机变量23ZXY 的概率密度为 22 5 5 2 918 11 233 2 zz f zee 14 设有 10 个猎人正等着野鸭飞过来 当一群野鸭飞过头顶时 他们同时开 了枪 但他们每个人都是随机地 彼此独立地选择自己的目标 如果每个猎人独立 地射中其目标的概率均为p 试求当 10 只野鸭飞来时 没有被击中而飞走的野鸭 数的期望值 解 设 1 1 2 10 0 i i Xi i 第 个野鸭未被击中 第 个野鸭被击中 飞走的野鸭的期望值可表示为 12101210 E XXXE XE XE X 又由于 10 1 1 10 ii p E XP X 因此 18 10 1210 10 1 10 p E XE XXX 15 一个骰子掷 10 次 求得到的总点数的期望 解 令 1 2 10 i X i 表示第i次掷骰子的点数 于是总点数的期望可表示为 12101210 E XXXE XE XE X 又 1111117 123456 6666662 i E X 因此 1210 7 1035 2 E XE XXX 16 设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 Y X 1 0 1 0 0 07 0 18 0 15 1 0 08 0 32 0 20 求 E X E Y Cov X Y 解 关于 X 和 Y 的边缘分布律为 X 1 0 1 p 0 150 5 0 35 所以 1 0 150 0 5 1 0 350 2E X 0 0 4 1 0 60 6E Y 又 1 0 0 07 1 1 0 080 0 0 18E XY 0 1 0 32 1 0 0 15 1 1 0 200 12 因此 0Cov X YE XYE X E Y 17 设随机变量 X Y 的概率密度为 1 01 0 yxx f x y 其它 Y 0 1 p 0 40 6 19 求 E X E Y Cov X Y 解 11 2 00 2 2 3 x x E Xxf x y dxdydxxdyx dx 1 0 0 x x E Yyf x y dxdydxydy 1 0 0 x x E XYxyf x y dxdydxxydy 故 0Cov X YE XYE X E Y 18 设随机变量服从拉普拉斯分布 其概率密度为 1 2 x f xex 1 求 E X和 D X 2 求 X 与X的协方差 并问 X 与X是否不相关 3 问 X 与X是否相互独立 解 1 1 0 2 x E Xxf x dxxedx 而 2222 0 1 2 2 xx E Xx f x dxxedxx e dx 所以 22 2D XE XE X 2 Cov X XE X XE X E X 1 00 2 x x x f x dxx xedx 故 X 与X不相关 3 11 1 11 1 11 22 xx P Xf x dxedxedx 故 1 1 1 1 1 P XXP XP XP X 20 可见 X 与X不相互独立 19 已知随机变量 1 9 XN 0 16 YN 且 X 和 Y 的相关系数为 1 2 XY 设 32 XY Z 1 求 E Z和 D Z 2 求 X 与 Z 的相关系数 解 由题意知 1 9 0 16E XD XE YD Y 而 1 3 46 2 XY Cov X YD XD Y 所以 111 32323 XY E ZEE XE Y 2 323232 XYXYX Y D ZDDDCov 111 943 D XD YCov X Y 111 91663 943 2 32 XY Cov X ZCov X 11 32 Cov X XCov X Y 11 9 6 0 32 习题 B 1 已知随机变量 X 服从二项分布 且 2 4E X 和 1 44D X 求二项分布 的参数 n p的值 解 由 2 4E X 可得2 4np 由 1 44D X 可得 1 1 44npp 从而由上解得 6 0 4np 2 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 01 pp 各产品合格与否相 互独立 当出现一个不合格品时即停机检修 设开机后第一次停机时已产生了的 21 产品个数为 X 求 E X和 D X 解 记 k 1 2 k Ak 生产的第 个产品是合格品 而 X 可能取的值为全体自然 数 由题意得 121kk P XkP A AAA 1 121 1 1 2 k kk P A P AP AP App k 于是 1 11 1 k kk E XkP Xkkpp 因为 1 2 111 1 1 1 kkk kkk x kxxx xx 所以 1 2 11 11 1 1 1 k kk E XkP Xkkppp pp 又因为 211 11111 1 1 kkkkk kkkkk x k xkxkxxx x 2 1 3 1 1 111 1 k k xxxx x xxxx 于是 2221 32 11 1 1 2 1 1 1 k kk pp E Xk P Xkkppp pp 故 22 222 211 pp D XE XE X ppp 3 设随机变量 X 在区间 1 1 上服从均匀分布 随机变量 10 00 10 X YX X 求 E Y和 D Y 解 由题意 X 的概率密度为 22 1 11 2 0 x f x 00 1 11 0 22 P Xf x dxdx 11 1 22 故 22 1D YE YE Y 4 设随机变量 X 概率密度为 1 cos0 22 0 x x f x 故 1 4 2 YB 得 11 1 42 41 22 2 E YD Y 所以 22 145E YD YE Y 5 设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布 随机变量 1 1 2 0 k Yk Xk Yk 求 1 12 XX的分布律 2 12 E XX 解 由已知 Y 的概率密度为 23 0 00 y ey f y y 12 XX所有可能取值为 0 0 0 1 1 0 1 1 1 12 0 01 2P XXP YY 1 1 0 11 y P Ye dye 12 0 11 20P XXP YY 12 1 01 2P XXP YY 2 12 1 12 y PYe dyee 2 2 2 y P Ye dye 2 1212 1 2 E XXE XE XP YP Y 12 12 yy e dye dyee 6 设 X 和 Y 是两个相互独立且均服从正态分布 1 0 2 N的随机变量 求 EXY 解 记XY 由 11 0 0 22 XNYN 知 0EE XE Y 11 1 22 DD XD Y 即 0 1 N 所以 22 22 0 122 222 xx EXYExedxxedx 7 设 A B 随机事件 且 1 4 P A 1 3 P B A 1 2 P A B 令 1 0 A X A 发生 不发生 1 0 B Y B 发生 不发生 求 1 二维随机变量 X Y 的概率密度 2 X 与 Y 的相关系数 解 1 3 P AB P B A P A 11 11 33 412 P ABP A 24 又 1 2 P AB P A B P B 1 2 6 P BP AB 1 1 1 1 12 P XYP AB 111 0 1 61212 P XYP ABP BP AB 111 1 0 4126 P XYP ABP AP AB 2 0 0 1 1 3 P XYP ABP ABP AP BP AB 故 X Y 的分布律为 Y X 0 1 0 2 3 1 12 1 1 6 1 12 2 由 1 易得关于 X Y 的分布律分别为 故 2 11 44 E XE X 222 113 4416 D XE XE X 2 11 66 E YE Y 22