概率论与数理统计习题详解 周概容 习题5解.pdf

习题五习题五 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 5 1 利用辛钦大数定律证明伯努利大数定律 证明证明 考虑成功的概率为 10 kX k k E n XXX 21 是独立与X同分布随机 变量 试证明 k n i k i n X n 1 1 limP 证明证明 由于 n XXX 21 独立同分布 可见也独立同分布 且存 在 因此 根据辛钦大数定律 有 k n kk XXX 21 0 kX k E k k n i k i n XX n EP 1 1 lim 5 3 假设随机变量列 X X X n21 两两独立并且同分布 i XE 存在 证明的算术平均值 2 i XD n XXX 21 n X依概率收敛于 各个变量共同的 数学期望 n i i n X n 1 1 limP 证明证明 易见 n X n X n X X n X n X n i i n i in n i i n i in 2 1 2 1 11 11 11 DDD EEE 由切贝绍夫 切比雪夫 不等式可见 对于任意 0 有 n n X X n n 0 2 2 2 D P 5 4 设随机变量X在区间上服从均匀分布 2 1 n XXX 21 是独立与X同分布随机变 量 试证明 1 1 lim 1 2 n i i n X n P 习题解答 5 1 证明证明 由独立同在区间 n XXX 21 2 1 上服从均匀分布 可见数学期望存在 从而独立同分布 且1存在 因此 根据辛钦大数定律 有 12 92 1 ii XXDE 22 2 2 1 n XXX 22 iii XXXEDE 1 1 lim 2 1 2 XX n n i i n EP 5 5 假设天平无系统误差 将一质量为10 g的物品重复进行称量 证明当称量次数无 限增大时 称量结果的算术平均值依概率收敛于10 g 解解 因为各次称量的结果 2 1 niXi 可以视为独立同分布随机变量 其数学期望都 等于 所以根据辛钦大数定律 当n 2 1 g 10 niXi E 时 n次称量结果的算术平 均值 n X依概率收敛于其共同的数学期望10 g 5 6 设随机变量X服从参数为 的泊松分布 n XXX 21 是独立与X同分布随机变量 试证明 2 1 2 1 lim n k i n X n P 证明证明 由于 n XXX 21 独立同泊松分布 可见也独立同分布 而且数学期 望存在 22 2 2 1 n XXX 222 iii XXXEDE 因此 根据辛钦大数定律 有 2 1 2 1 lim n k k n X n P 5 7 设随机变量X服从参数为的二项分布 pm n XXX 21 是独立与X同分布随机变 量 求极限 n i i n X n 1 2 1 limP 解解 由于独立同服从参数为的二项分布 可见也独立同 二项分布 而且数学期望存在 n XXX 21 pm 22 2 2 1 n XXX 1 222 pmpmpXXX iii DEE 因此 根据辛钦大数定律 有 1 1 lim 2 1 2 pmpmpX n n i i n P 5 8 假设随机变量独立同服从参数为2的指数分布 证明当 充分大时 近似服从正态分布 并通过前4阶矩表示 n XXX 21 n 22 2 2 1nn XXXS 2 nn N n 和 2 n 证明证明 参数为2的指数分布的概率密度为 习题解答 5 2 若 若 4 1 2 1 0 0 0e2 2 ii x XX x x xfDE 2 1 22 iii XXXEDE 而由分部积分法可见 2 3 de2 0 244 xxX x i E 从而45 2242 iIi XXXEED 4 5 2 nSnS nn DE 由于 n XXX 21 独立同分布 且数学 期望和方差存在 则根据列维 林德伯格中心极限定理 当n充分大时Sn近似服从正态分布 且 n n SE2n 45 2 nSn n D 5 9 一包装工平均三分钟完成一件包装 假设实际完成一件包装所用时间服从指数分 布 试利用中心极限定理 求完成100件包装的总时间需要5 h到6 h的概率的近似值 解解 设是完成第 件包装所用时间 由条件知 服从指数分布 min 从而分 布参数 i Xi i X3 XE 3 1 记9 XD 10021 XXXT 为完成100件包装的总时间 则T近似服从 正态分布 30 9001009 3001003 TTDE 分钟min 4772 0 0 2 2 30 300 0606605 T TPP 其中 x 是标准正态分布函数 这样 完成100件包装的总时间需要5到6 h的概率的近似 等于0 4772 5 10 用自动包装机包装的味精 每袋净重X是一个随机变量 假设要求每袋的平均重 量为100g 标准差为2g 如果每箱装100袋 试求随意查验的一箱净重超过10050g的概率 解解 由条件知X服从正态分布 以 2 100 2 N 100 2 1 iXi表示一箱的100袋中第i袋 的净重 则根据列维 林德伯格定理 随机变量之和 100 1i i XX 近似服从正态分布 4100 100100 N 因此 0062 09938 01 5 2 15 2 400 10000 400 1000010050 400 10000 10050 X X X P PP 5 11 将一枚均匀对称的硬币掷10000次 求正面恰好出现5000次的概率 的近似值 解解 以 表示正面出现的次数 则 服从参数为的二项分布 其中 pn5 0 10000 pn 故2500 5000 DE 根据棣莫弗 拉普拉斯局部定理 有 008 0 250 1 2 1 5000 D P 习题解答 5 3 5 12 一计算机有150个终端 每个终端在一个小时之内平均有6 min使用打印机 假 设各终端使用打印机与否相互独立 求至少有20台打印机同时使用的概率 解解 由题意知 每一终端在某一时刻使用打印机的概率1 0606 p 以X表示同时使 用的打印机的台数 则X服从参数为的二项分布 1 0 150 5 1315 XXDE 标准差 67 3 根据棣莫弗 拉普拉斯定理 X近似服从正态分布 因此 5 13 15 N 09 09131 01 36 1 1 67 3 1520 67 3 15 20 X XPP 5 13 以往春季商品交易会上 某企业在所接待的客户中下定单的客户占30 假定今 年下定单的比率不变 试求在所接待的90个客户中 1 恰好有27个客户下定单的概率 2 有15 30个客户下定单的概率 解解 以X表示所接待的客户中下定单的客户数 可以认为X服从参数n 90和 p 0 30 的二项分布 由于n 90充分大 则根据棣莫佛 拉普拉斯定理 近似 地X 27 XE 9 18 XD 91827 N 1 由棣莫佛 拉普拉斯局部定理 知 0918 0 9 182 1 7 03 027 632727 90 CXP 2 由棣莫佛 拉普拉斯积分定理 有 7520 0 9971 01 7549 0 76 2 69 0 9 18 2715 9 18 2730 3015 XP 5 14 假设批量生产的某产品的优质品率为60 求在随机抽取的200件产品中有120到 150件优质品的概率 解解 记 n 随机抽取的200件产品中优质品的的件数 则 n 服从二项分布 参数为 n 200 p 0 60 由于n 200充分大 故根据棣莫佛 拉普拉斯中心极 限定理 近似地 48 1 120 pnpnp 5 0 0 33 4 33 40 48 120150 48 120 0150120 1 0 48 120 1 n n n nn n U N pnp np U P PP 5 15 在某地区抽样调查残疾人比率p 问至少需要调查多少人 才能以不小于 1的概 率使被调查人中残疾人的比率对p的绝对偏差不大于1 分别取 0 05和 0 10 假设 1 p 3 1 2 p5 解解 记 n 在被调查的n人中残疾人数 则 n 服从参数为的二项分布 对于充分 大的 根据棣莫佛 拉普拉斯定理 近似地 pn n 习题解答 5 4 1 0 N npq np U n n 101 0 01 001 0 01 0 01 0 pq n pq n pq n U pq n npq np p n n nn P PP 其中 1xpq 是标准正态分布函数 是标准正态分布水平 u 双侧分位数 因此 2 01 0 01 0 u pqn pq n u 1 当p 3 1 时 对于 0 05和 0 10 由附表3得 1 96和 1 6449 由式 对于 05 0 u 10 0 u 0 05和 0 10 分别有 813 01 0 6449 1 969 0031 01541 01 0 96 1 969 0031 0 2 2 2 1 nn 即这时相应地至少需要调查1154人和813人 2 当时 对于05 0 p 0 05和 0 10 由附表3得 1 96和 1 6449 由式 并注意到 对于 05 0 u 10 0 u 25 0 pq 0 05和 0 10 分别有 22 2 22 1 01 0 6449 1 1286 01 0 6449 1 95 005 0 01 0 96 1 1825 01 0 96 1 95 005 0 pqn pqn 即这时相应地至少需要调查1825人和1286人 5 16 假设根据统计资料 男孩出生率为0 515 女孩的出生率为0 485 试根据棣莫弗 拉普拉斯定理 求在10000个新生婴儿中男孩不多于女孩的概率Q的近似值 解解 以X表示在10000个新生婴儿中男孩的人数 则X服从参数为的二项分布 其 中 10000 pn np 0 515 且 98 49 1 5150 pnpXnpXDE 由棣莫弗 拉普拉斯定理 知由于n 10000充分大 故随机变量 98 49 5150 X X XX U D E 近似服从标准正态分布 因此由附表1 可得 0013 0 3 1 3 98 49 150 98 49 5150 5000 2 X X n XXnXQ P PPP 5 17 以p表示在全社会从业劳动者中 第三产业劳动者的比重 表示在抽样调查的 n p n 习题解答 5 5 名从业劳动者中 第三产业劳动者的比重 1 1000 np 18 求对 n p p的绝对偏差ppn 小于2 的概率 2 1000 np 18 0 95 求满足 ppn P的最小 3 p 18 2 问为使 95 0 ppnP 至少要进行多少次抽样 解解 设 n 表示在抽样调查的名从业劳动者中第三产业劳动者的人数 则n n 服从参数为 的二项分布 pn n p n n 根据棣莫弗 拉普拉斯定理 当n充分大时 近似地 npqpNpnpqnpN nn 1 设 1000 np 18 有 90 01 646 1 2 1 82 018 0 1000 02 0212 pq n pq n pq n pq n npq np p n nn PP 2 设 1000 np 18 0 95 由上面的式子 可见 38 2 1000 82 018 0 96 1 96 1 950 pq n pq n pq n pq n npq np p n nn PP 3 设p 18 2 且满足 95 0 ppnP 由 2 可见 1418 02 0 96 1 92 018 0 96 1 96 1 22 pqn pq n 5 18 根据孟德尔遗传律 红 黄两种番茄杂交的第二代结红果植株与结黄果的植株的 比例为3 1 假设种植杂交种400株 试求黄果植株在83到117之间的概率 的近似值 解解 观察400株各结什么颜色的果实 可以视为400次伯努利试验 试验次数400 n 成功 结黄果 的概率41 p 失败 的概率43 q 以X表示结黄果的株数 则X 服从参数为的二项分布 由于 pn400 n充分大 故根据棣莫弗 拉普拉斯定理 X近似服 从正态分布 其中 npqnpN75 100 npqnp 因此 95 0 96 1 96 1 de 2 1 96 1 75 100 75 100117 75 100 75 10083 4 3 4 1 C11783 96 1 96 1 2 117 83 2 u X X X u k knk k n P PP B 5 19 假设随机变量列 21n XXX两两独立并且同分布 而且数学期望 i XE和 方差存在 证明 2 i XD n i21 孟德尔 G J Mendel 1822 1884 奥地利遗传学家 习题解答 5 6 n i i n X n 1 1 lim P 即n个变量的算术平均值 n X依概率收敛于 各个变量共同的 数学期望 证明证明 易见 n X n X n XX n X n X n i i n i in n i i n i in 2 1 2 111 1111 DDDEEE 由切贝绍夫不等式 可见对于任意给定的 有 2 2 2 1 11 1 n X X n n n i i D P 于是 对于任意给定的 有 有 b a n i i n xxg ab Xg n d 1 1 lim 1 P 5 21 假设随机变量 21n XXX满足条件 对于 n XnE 1 存在 且 0lim 1 n k k n XD 证明 0 1 lim 1 n i ii n XX n EP 解解 对于任意给定的0 由切贝绍夫不等式 当时可见 0 n 习题解答 5 7 0 1 11 1 1 22 11 111 n i i n i i n i i n i i n i ii n i i X n nXX X n X n XX n DEP EPEP 此即 0 1 lim 1 n i ii n XX n EP 5 22 假设随机变量列 21n XXX依概率收敛于随机变量X 而且也依概率收敛于 Y 证明 1 YXP 证明证明 根据条件 YXXX n n n n lim lim 且 PP 因此 对于任意给定的0 当 n时 有 0 2 2 0 YXXX YXXXYX nn nn PP PP 从而 对于任意给定的0 YXP0 故对于任意正整数 k 0 1 k YXP 由此可见 0 1 1 11 kk k YXYX k YXYXPP 于是 即 0 YXP 1 YXP 5 23 假设随机变量列 21n XXX依概率收敛于随机变量X 而随机变量列 依概率收敛于随机变量Y 证明随机变量列 21n YYY nn YX 依概率收敛于X Y 证明证明 对于任意给定的0 当 n时 有 0 2 2 0 YYXX YYXXYXYX nn nnnn PP PP 于是 YXYX nn n lim P 5 24 设 n k n k n k n a 0 e 证明 2 1 lim n n a 证明证明 设独立同服从参数为1的泊松分布 则由独立同泊松分布随机变量 的和仍然服从泊松分布 知 n XXX 21 nn XXXS 21 服从参数为 的泊松分布且 n 习题解答 5 8 n n k n kn k nn a k n kSnS 00 e PP 因为 则由列维 林德伯格定理 可见 nSS nn DE 2 1 0 0lim limlim n nS nSa n n n n n n PP 其中 x 是标准正态分布函数 5 25 生产线组装每件产品的时间服从指数分布 统计资料表明 每件产品的平均组装 时间为10 min 假设各件产品的组装时间互不影响 1 试求组装100件产品需要15 h到20 h的概率 2 求以概率0 95在16 h内最多可以组装产品的件数 解解 以表示第 件产品的组装时间 由条件知 100 2 1 iXii 100 2 1 iXi独立同服从 指数分布 由指数分布的数字特征和条件 每件产品的平均组装时间为10 min 可见 由于服从指数分布 可见10 i XE i X 22 10 ii XXED 1 因为n 100充分大 故由列维 林德伯格定理 知100件产品组装的时间 近似服从正态分布 因此 10021 XXXTn 10100 10100 2 N 8156 0 8413 01 9973 0 1 2 2 10100 10100 11200900 2 T T n n PP 其中 x 是标准正态分布函数 2 16 h等于960 min 需要求出满足 95 0960 n TP的n 由列维 林德伯格定理 知当 n充分大时 近似服从正态分布 nn XXXT 21 nnN 2 10 10 因此 10 10960 10 10960 10 10 960950 n n n n n nT T n n PP 由附表1或附表2 可见95 0 645 1 因此 09606025 19470100 645 1 10 10960 22 nn n n 其解为 其中53 11318 81 21 nn 53 113 2