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论几何教学中的开放问题张文枫 现在，素质教育的春风吹遍教育界的每个角落，但我们实际上似乎并没有完全从应试教育中解脱出来。其中素质教育与应试教育中的许多概念还模糊不清，我觉得，素质教育离不开应试学习，学习决不能完全为考试而学习（否则就属于应试教育），它必须充分注意到学生综合素质水平的提高。素质教育决不仅仅是音乐、舞蹈、书法等，它融在我们每一门学科的每一节课的课堂教学中。考试是我们数学教学的目标之一，但不是唯一的目标，也不是最重要的目标，数学教学的根本目标是丰富学生的数学知识，提高学生预见问题、分析问题和解决问题的思维能力。所以数学的课堂教学在兼顾学生考试的短期效果的同时，要更充分注重学生数学素质水平提高的长远效果。我认为把握住“提高素质”与“应试学习”之间的平衡点是教师设计课堂教学的内容和采取教育方式的关键，也是从应试教育向素质教育的转变的关键。 长期以来我们的课堂教学一直忽视甚至放弃了对学生素质水平的提高，现在，在从应试教育向素质教育的转变的实践中，我体会到开放式问题是提高学生数学素质水平的一个有效工具。 所谓开放式问题，就是只给出问题的条件，要求学生自己探索出各种可能的结论；或只给出问题的结论，要求学生自己研究必须具备的各种条件（包括对已给出的基本条件进行适当强化、弱化）；或要求学生探讨从条件到结论的各种推导途径；或要求学生探讨条件变化会导致结论如何相应地变化。开放式问题也是一种开放式的处理方法，涉及到的内容、技巧不限，思维可以发散也可收敛，气氛是自由活泼的。这类富有挑战性的问题能使学生视野更开阔、思维更活跃、激发学生的求胜欲、对所学的知识进行举一反三地灵活运用，从而提高学生的发散思维和收敛思维的能力、提高独立解决问题的创造能力等素质水平。下面就一些具体的开放式问题谈谈几何课堂教学中的运用方法和效果。一、开放式问题本身的功效与魅力可引导和培养学生开放式思维的习惯心理学告诉我们，学习兴趣是构成学习动机中最现实、最活跃的因素，一个人对所学的东西产生了浓厚的兴趣，便会创造奇迹。数学中，常常一点简单的已知条件就可“爆炸”出内容丰富的结论，以致引发学生学习兴趣，激发求知欲，开放式问题在这方面能起到事半功倍的作用。 A A O E D P C O E D P B 图1 B 图2 例1 如图1，PA、PB是圆O的两条切线，连接图中的线段OP、OA、OB，会得到哪些结论？ 在学完切线长定理后，学生都能得到：PAPB、OP平分APB，但从这个图形中还能得到什么呢？让学生们去讨论、在热烈的气氛中踊跃发言。教师最后进行归纳，还可得到下列结论：（1） OAOB、PAPB OP垂直平分AB（2）在RtDPAO中，AE是斜边上的高，在计算问题上可联想到运用射影定理。进一步，如图2，延长PO交圆O于C，连接AC、BC、AD、BD，又有： (3) 由于图形关于直线PC对称，因而有大量相等的线段：AC=BC、AE=BE、AD=BD等六组 (4) 同理，在RtDPBO、RtDCAD、RtDCBD中出现了斜边上的高，在计算或证明问题上可联想到运用射影定理。（5）在四个RtD斜边上的高分直角三角形所得的三个直角三角形相似，由此又会产生大量的等角和其它比例供选用（学生列举）。（6）直径CD弦AB，由垂径定理可得、，又为圆周角相等提供依据，这在图形进一步复杂化时尤其有效。（7）图中拥有大量的圆心角、圆周角、弦切角，它们之间的数量关系极有价值（学生列举）。 事实上许多题就是以这个图为原型加以改造而成。此问题有效地锻炼和培养学生的发散思维能力。这样丰盛的知识快餐，引发了学生的学习兴趣，又能使学生在以后的解题时有的较好联想能力和应变能力。由此感受到开放式思维对自已学习上的帮助作用。这种兴趣与实用的功效使学生能接受并习惯于开放式问题。如果我们坚持这种开放式教学方法，久而久之，学生的开放式思维习惯会迁移到不同科目以及生活中事物的分析上。开放式的思维习惯是学好几何学乃至其它学科最重要的素质之一。二、开放式问题中知识间的联络、方法的多样性能使学生的知识结构更完善，知识的使用更灵活我们在教学中经常遇到这种情况：不少学生觉得老师课堂上所讲的知识都能听懂，基本知识也能较好掌握，但解题时感到吃力、不知如何下手，成绩总上不去。为什么？是学生天生的素质差吗？在教学中我体会到，各知识点之间是有联系的，而教师在讲授知识时没有注重所讲知识点与其它已学知识点之间的联络，而这种联络在习题中出现了，学生很难反应得上来，因为学生头脑中的知识点间彼此孤立，杂乱无章，从一个知识点出发分析问题时联络不出去（也就是想不出来），所以无法进行正常的分析和推理，更谈不上思维开放、灵活，自然也就缺乏创造思维能力。开放式问题是解决这个问题的一个好方法。从例1中我们已可感受到它在这方面的作用。以下进一步探讨。例2 如图3，已知AB是圆O的直径，AC是弦，直线CE和圆O相切于C，ADCE于D，求证：AC平分BAD。这是初三几何第122页的例题，教材对它安排的独到之处提醒着我们对它进行开放式处理： B D C O A B A O E C D 图3 图4（1） 与教材第108页的例2是同一题，比较两图形的不同视角（如图4）；（2） 比较两题不同的辅助线的作法和解法（从条件出发往外发散有哪些知识联络）；（3） 总结“切线条件”的两种用法（知识联络）：a、垂直过切点的半径；b、弦切角等于所夹弧对的圆周角。（4） 题设（直径、垂直、相切）和结论（平分角）还可改变：直径、垂直、相切、平分角四元素中有三个成立，则第四个也成立，一题引伸成了四道题。知识间的联络而紧密了、思维的路线更多了。而且讨论知识此时成了娱乐工具。开放式问题常常可由很多的方法得到一个结论，因此一题多解能很好地锻炼学生变换视角的多向思维能力，增强学生各知识间的联络。有了一种解法后，学生的信心会大增，心理压力减小，这时轻松的头脑常会有一些更好念头，这些宝贵的念头就是灵感、就是新的知识联络，是多向思维活动中不可缺少的。它又会进一步建立学生各知识间新的更复杂的联络，形成良性循环。 例3 如图，AB切圆O于B，BCAO于点C。求证：BD平分ABC。大视角：如果学生仔细研究了例1，不难发现，此图只不过是例1 的图的一部分，利用前面探讨出的线线关系、角角关系，可以从不同的小视角上得到问题的解决方法。小视角：此题图形结构过于简捷，需作出辅助线，圆中常见辅助线有：直径所对的圆周角、圆的切线、过切点的半径、垂直直径的弦等等。以不同辅助线为小视角，也可得互不同的解决方法。 根据上述众多视角，启发式讲评下列方法： B B E E O C D A O C D A 图5 图6证法一：如图5，延长AO交圆O于E，连接EB，则ABDDEB，DBE90 在RtDBDC和RtDEDB中 因为 BDCEDB，BCDEBD所以 DBCDEB 即 ABDDBC 得证证法二：如图6，过D作圆O的切线DE交AB于E，则DEAO，ABDBDE 又由DECB 得 DBCBDE 所以 ABDDBC 得证证法三：如图7，延长BC交圆O于E，连接ED，则ABDDEB，又由垂径定理可得 DBCDEB 所以 ABDDBC 得证证法四：如图8，连接BO并延长BO交圆O于E，连 DE， 则 ABDBEDEDO，EDB90。 因为 EDOCDB90、 DBCCDB90所以 DBCEDO 即 ABDDBC 得证 B B O A O A C D C D E 图7 E 图8在学完圆心角、圆周角、弦切角后，有一部分学生会感到角的变化太多，无所适从，有了这种开放式的一题多解的思维训练后，学生心理会发生变化物极必反，变化太多会导致解决方法太多“条条道路通罗马”。做这类几何题时，只要去认真思考，总会有一种方法属于自己。学生因这样的感觉而抬头挺胸、扬眉吐气，对学习几何的兴趣和信心岂不大增？这是开放式问题训练后所产生的效果：学生的知识联络更丰富、结构更完善、方法更灵活。教学中，我们常会发现，教材后的习题与课堂上的例题的差别很大，例题对做有些课后习题没有什么帮助。这其实也就是一个知识联络问题，只是这种联络的对象有别、或比较巧妙、比较隐蔽，不易发现。也就是我们常说的解题技巧。这都需要教师本身要不断钻研、提高自己综合水平，发现并挖掘这种联络传授给学生。解决问题的不同方法在不同的知识联络中产生，完善的知识结构是灵活使用知识的基础。三、开放式问题中发散思维和收敛思维两种方式的反复与交叉使用能充分锻炼和培养学生的创造性思维能力 创造性思维包括发散思维和收敛思维。培养学生的创造性思维能力，就是培养学生反复地、交叉地运用发散思维和收敛思维进行解决问题的能力。能力的大小处决于每一思维方式的深度和两种思维方式的交叉次数，开放式地探讨问题是实现这一目的的有效途径。 例4 正多边形与圆的有关计算.(如求圆半径、内接正多边形或外切正多边形的半径、边长、边心距、面积等。) 这是个较繁杂的问题，如果我们用开放式的思维方法去考察它，就会对它有充分的认识，并清晰解决各类问题。 O D A B C 图9如图9，一个圆和它的内接正n边形、外切正n边形所组成的几何图形。不妨让学生“发散式”地清点一下“仓库”：1、每个基本图形的多重身份：OA圆半径、内接正n边形半径、外切正n边形边心距。OC外切正n边形半径。OD内接正n边形的边心距、弦心距。AC外切正n边形边长的一半、切线长。AD弦长的一半、内接正n边形的边长的一半。AOC内接正n边形与外切正n边形的中心角的一半，即（）。 还能有什么计算量不包含在其中？（是否令学生感到兴奋！）2、几何性质：(1) DAOC是RtD，OAAC。(2) OC垂直平分AB。(3) CADAOC。 内接、外切正n边形的边长比AD/ACcosCADcosAOCcos。(4) 在RtD OAD和RtDAOC中，可用解直角三角形的方法求所需量。(5) 利用RtD相似（射影定理、切割线定理），已知两条线段就能求出其它所有线段。(6) 内接正多边形的面积是RtDAOD面积的2n倍。(7) 外切正n边形的面积是RtDAOC面积的2n倍。 以后还能有什么量找不到求法呢？（是否令学生感到振奋！）两次不同方向的“发散”之后我们再在两个不同方面“收敛”一下：(1) 从以上的几何性质的分析中可知，表面庞杂的计算归根到底是一个初中常见几何图形直角三角形和斜边上的高的计算。(2) 还有一点要解决的小麻烦是作图太麻烦。从下面的思路中就可知只要的透彻的分析（如图10），就能胸有成竹地将复杂的图简化，却毫不影响全方位的计算。在经常性地进行开放式问题的思考与讨论中，学生会不停地拓展自己的想象空间，反复地、交叉地运用发散思维和收敛思维去解决问题，无形之中在不断提高自己的创造性思维能力。 复杂化 局部化 简明化 图10 四、开放式问题引伸中的多层次性能激发和培养学生坚忍不拔、锲而不舍的意志品质 相同的条件可以得到多层次的结论，细微不同的条件可以得到完全不同的结论，不同的条件可以得到相同的结论。条件和结论常把人弄得晕头转向，迷失征途。如果没有坚忍不拔、锲而不舍的意志品质，是难以成功的。在课堂教学中，我们不能忽略对学生这种素质的培养和锻炼。 例5 已知任意四边形ABCD的四边的中点分别是E、F、G、H，判断四边形EFGH的形状。 分析：如图11，连接对角线AC、BD，由中位线的性质得 EFACGH、EHBDFG； EFAC/2GH、EHBD/2FG 所以，EFGH是平行四边形。 让我们跳出此题所规定的范围，换一幕眼前的风景改变题目的结果，则相应需要什么样的条件。 E B E B E A A A B H F F H O H F D G C D G C D G C 图11 图12 图13提问：若EFGH是特殊的平行四边形，如矩形（如图12）、菱形（如图13）或正方形，那么已知的任意四边形ABCD还须满足什么条件呢？古语说：“不识庐山真面目，只缘身在此山中。”是很富有哲理的。在头绪纷乱的问题中，只有跳出定势的箍圈，摆脱开形形色色与本质无关的“迷雾”，才会寻觅到“一览众山小”的感觉。注意到，无论已知的任意四边形的形状如何，由前面的分析，内接四边形的边长总与相关对角线平行，且边长等于它的一半，所以内接四边形的特点决定于已知四边形两条对角线的长度以及夹角。 引导学生分析、归纳： (1)、当已知四边形的两对角线长度相等时，则所求内接四边形是菱形； (2)、当已知四边形的两对角线互相垂直时，则所求内接四边形是矩形：(3)、当已知四边形的两对角线互相垂直且相等时，则所求内接四边形是正方形。(4)、当已知四边形的两对角线没有明确关系时，所求内接四边形是平行四边形形。 另外，改变一下已知条件，又会相应得到什么样的结论呢？即：当已知四边形是特殊四边形时，即分别为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等时，依次连接四边中点所得的四边形形状又如何呢？ 有了以上的理解，这些“迷雾”就能轻松拨开，问题的结论不言自明。但开放式的问题并没有结束：1、当已知四边形不是凸四边形，而是凹四边形时，前面探讨所得的规律仍然存在吗？（如图14） 此种情景之下提出此开放式问题，自然会强有力地激发学生的求知欲望。 A A D H H E E E H I G D F B G C F B C G D A F B C 图14 图15 图16 按已有的思路分析，我们会发现，虽然“大环境”变了（已知的四边形变化了），但“小环境”未变（内部联系未变），因而前面探讨所得的4条规律仍然存在。 正当学生沉浸在圆满的喜悦中时，问题继续开放：2、当已知四边形是折四边形时，前面探讨所得的规律仍然存在吗？（如图15）此种情景之下再次提出开放式的问题，学生被激发出的求知决心使得他们不可能甘心罢手了，按已有的思路分析，我们又会发现，虽然“大环境”变了（已知的四边形变化了），但“小环境”仍未变（内部联系未变），因而前面探讨所得的4条规律仍然存在。但是图形还可以另换一种视角表达：一个任意四边形一组对边的中点与两条对角线的中点所组成的四边形是平行四边形。 一个全新的、令人意外惊喜的推论诞生了！ 这样的教学，不仅使学生在快乐中锻炼了收敛思维的能力，还培养了学生坚忍不拔、锲而不舍的意志品质，有利于学生个性的健康发展。 有了这些分析作基础，则对解同类较难题有一目了然的好处。 如图16，B为线段AC上一点，DABD、DBCE为等边三角形， F、G、H、I分别为AC、CE、ED、DA的中点，求证：四边形FGHI是菱形。分析：这是一道初上几何中较难的传统题，图形虽然错综复杂，但已经难不倒学生了，欲证四边形FGHI是菱形，只须证四边形ACED的对角线AECD。这就是此问题的突破口，以下只须证DABEDDBC即可。 （证明过程略）五、开放式问题能促使教师更深入钻研教材，全面提高教师的综合素质，从而更好地为素质教育服务用开放式的讨论法进行课堂教学，这对教师提出了新的更高的素质要求：（1） 教师本身要培养自已开放式的思维习惯和开朗的性情，这样在课堂上才能自然而然地影响学生，形成自由轻松的氛围。（2） 要多花精力备课，尽量事先准备好各种应变措施，课堂上才能营造情景，有的放矢。（3） 课堂上学生总会提到事先毫无准备的问题，这要求教师上课时要使自己处在头脑灵活，反应敏捷的高度投入状态。（4） 教师要正确对待自己偶尔的临场失智和错误，敢于让学生帮助改正或课后研讨后再回答学生（这不会影响教师在学生心中的形象）。要达到这些要求或按这些要求去做，都会促使教师深入地钻研教材，通过进一步学习充实自己，提高教学水平。课本在许多地方给我们安排了绝佳的开放问题的内容，甚至明显要求用开放讨论的方式进行教学，例如：1、垂径定理 C O E A B D 图17垂径定理用其推论的内容绕口且不易分辨清，如果将题设的结论用下列方式理顺并由此展开开放式讨论，学生的掌握情况要好得多（如图17）。 题设 结论 直线CD经过圆心O. 直线CD平分弦AB 直线CD平分弧ACB 直线CD垂直弦AB 直线CD平分弧ADB如果把题设和结论中的5个条件适当互换，又会如何？让学生作为主体，讨论这个开放式问题，不难得到：对于一个圆和一条直线来说，如果以上五个元素中的任何两个作为题设成立，则其它三个作为结论也成立。这样可得到垂径定理的九个推论。2、切线的性质定理及其推论推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 这也是一个绕口且时间长了后不易分辨清的问题，开放式讨论后，不难简洁地归结为：垂直于切线；过切点；过圆心，这三个性质中，任意知道两个就可以推出第三个。 此外，还有圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理、弦切角定理的证明