河北专接本高等数学---线性代数复习内容.pdf

阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277226 第第二二篇篇线线性性代代数数 第第九九章章行行列列式式 第第一一节节二二阶阶 三三阶阶行行列列式式 A A 基基本本知知识识 一一 二二 三三阶阶行行列列式式 1 用记号表示代数和称为二阶行列式 即 图线记忆 实线表示乘积项取 正 号 虚线表示乘积项取 负 号 行列式一般 用字母来表示 行列式是一个数 用记号表示 2 代数和称为三阶行列式 即 图线记忆 实线表示乘积项取 正 号 虚线表示乘积项取 负 号 B B 例例题题分分析析 例 1 例 2设 问 当为何值时 0 当为何值时 0 当或时 0 当且时 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277227 例 3 1 0 6 2 5 3 4 0 1 5 0 2 4 6 3 0 例 4 满足什么条件时 有 的充分必要条件是 解两题由计算可知分别是 或 第第二二节节阶阶行行列列式式 A A 基基本本知知识识 一一 排排列列与与逆逆序序 1 排列定义 由个不同数码 1 2 3 组成的有序数组 称为一个级 排 列 1 2 3 4 及 4 3 2 1 都是 4 级排列 2 逆序数定义 在一个级排列中 如果有较大的数 排在较小的数前 则称与构成一个逆序 一个级排序中逆序的总数称为的逆序数 记为 如果 是奇数 则称为奇排列 如果 是偶数或 0 则称为偶排列 二二 行行列列式式 1 行列式定义 所有不同行不同列的元素乘积的代数和 每一项的正负号由行的逆序数和列 的逆序数决定 若行的逆序数 列的逆序数 奇数 则取 反之取 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277228 2 三角形行列式 称为下三角行列式 称为上三角行列式 称为对角行列式 B B 例例题题分分析析 例 1 2 1 3 1所以 213 为奇排列 2 3 1 5 4 3所以 23154 为奇排列 例 2求下列乘积项中的逆序数 解8 8 例 3为 5 阶行列式中带负号项 求 解 第第三三节节行行列列式式性性质质 A A 基基本本知知识识 性质 1 将行列式转置 行列式的值不变 即 例 1 行变列 或列变行 性质 2 交换行列式两行 列 行列式的值变号 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277229 例 2 推论 如果行列式中有两行 列 对应元素相同或成比例 则行列式值为 0 例 3 0 0 性质 3 用数乘行列式某一行 列 等于以数乘此行列式 例 4 推论 1 如果行列式中某行 列 所有元素有公因子 则可提到行列式外 例 5已知 1 求 可知 推论 2 如果行列式的某一行 列 元素全部为零 那么此行列式值为零 性质 4 如果将行列式中的某一行 列 的每一个元素都写成两个数的和 则此行列式可以写成 两个行列式的和 这两个行列式分别以这两个数为所在行 列 对应位置的元素 其他位置的 元素与原行列式相同 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277230 例 6 性质5 将行列式某一行 列 的所有元素同乘以数后加到另一行 列 对应位置的元素上 行列式值不变 B B 例例题题分分析析 例 1 例 2 例 3计算 解该行列式的特点是各行 3 个数之和都为 把第 2 3 列同时乘以 1 加到第 1 列上 再把第 1 行乘以 加到第 2 行 第 3 行 变成了上三角行列式 直接计算对角线数相乘的值 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277231 第第四四节节行行列列式式按按行行 列列 展展开开 A A 基基本本知知识识 一 余子式概念 在阶行列式中 中去掉元素所在的第 行与第列后 余下的 阶子式 称为中元素的余子式 记为 例 1 二 代数余子式概念 的余子式前添加称为元素的代数余子式 记作 例 2 三 代数余子式的相关定理 1 定理 1 D i 1 2 n j 1 2 n 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277232 值运算 阶行列式 等于它的任意一行 列 各元素与其对应代数余子式乘积的和 例 3将行列式按第一行 第三列展开 解按第一行展开得 按第三列展开得 2 定理 2 0 或 0 i 1 2 n j 1 2 n 零运算 阶行列式 D 的某一行 列 的元素与另一行 列 对应元素的代数余子式的 乘积的和等于 0 例 4计算 1 0 解由题可知是第一行的元素与第二行的代数余子式的乘积的和 构造新的行列式 该行列式的值为 0 按照第二行展开 1 0 0 所以原题的解 为 0 结论 把定理和行列式的性质结合起来 可以使行列式的计算大为简化 计算行列式值时 常 常利用行列式的性质使某一行 列 的元素出现尽可能多的零 这种运算叫做化零运算 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277233 第第五五节节克克莱莱姆姆法法则则 A A 基基本本知知识识 二元一次方程组 当时 推广到元一次方程组 一 非齐次线性方程组解的定理 线性方程当系数行列式0 时 有且仅有唯一解 例 1 二 齐次线性方程组解的定理 1 当非齐次线性方程组的常数项均为零时 称为齐次线性方程组 2 齐次线性方程组解的定理 例 2 所以方程组仅有零解 B B 例例题题分分析析 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277234 例 1求当为何值时 方程组仅有零解 有非零解 方程组有非零解 方程组仅有零解 例 2只有零解 则取什么值 解方程组的系数行列式 所以当时 方程组只有零解 C C 真真题题演演练练 例 1线性方程组只有零解 则 200401 解方程组只有零解的充要条件是 即 例 2如果方程组有无穷多解 那么 200503 解齐次线性方程组有无穷多解 即有非零解的充要条件为系数行列式值为零 即 解得或 例 3若齐次线性方程组有非零解 则 200701 解齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式值为零 即 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277235 解得或 例 4已知三阶行列式 则 200902 解 例 5四阶行列式的值等于 201001 解所 以选 例 6设四阶矩阵 其中均为 4 维列向 量 且已知行列式 则行列式 200601 20 30 40 50 解 由且易知 由 且 易知 将上述结果代入 可得 所以选 例 7计算四阶行列式的值 200702 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277236 解 原式 例 8设三阶方阵 其中 j 1 2 3 为的第 j 列 且的行列式 2 若 则的行列式值 200901 16 12 54 6 解本题考查的是方阵及行列式的性质 所以选 例 9若行列式 则 k 200903 5 3 解本题考察三阶行列式计算 选 第第九九章章练练习习题题 1 计算下列行列式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277237 13 2 解方程 1 0 2 3 用克莱姆法则进行求解 1 方程组有非零解的条件是 2 设方程组仅有零解 则满足 3 设方程组有非零解 则满足 4 设方程组有非零解 则满足 第第九九章章练练习习题题答答案案 1 1 14 2 3 4 5 6 7 210 8 2 9 143 10 11 12 13 2 1 2 3 1 或 2 且 3 或 4 或 本本章章小小结结 行列式的核心内容是求行列式值 包括具体行列式的计算和个别抽象行列式的计算 其 中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型 主要方法是应用行列式按行或者列展开定理 和化为上下三角行列式求解 还可能用到的方法包括 行列式的定义 阶行列式的值为取 自不同行 不同列的各个元素的乘积的代数和 行列式的性质 如 数乘行列式等于用此 数乘一行列式中的某一行或某一列 对于抽象行列式的求值 考点不在求行列式 而在 于考虑 等的相关性质 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277238 第第十十章章矩矩阵阵 第第一一节节矩矩阵阵的的概概念念 A A 基基本本知知识识 例 1某企业生产 5 种产品的季度产值 单位 万元 1234529870858483 39075908190 48870828091 可以写成排成 4 行 5 列的产值矩阵 一 矩阵的概念 由 个数排成一个行列的矩阵表 称为 一个 矩阵 记作 或 一般用大写字母 A B C 表示矩阵 为表明矩阵的行数和列数可用表示 或记作 二 矩阵形状 1 所有元素均为 0 的矩阵 称为 0 矩阵 记作 2 所有元素均为非负数的矩阵 称为非负矩阵 3 如果 的行数与列数都等于 则称为阶方阵 只有方阵 才有行列式值 即 不是方阵没有行列式值 如果两矩阵 有相同行数与列数 且对应位置元素均相等则称与相等 记作 第第二二节节矩矩阵阵的的运运算算 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277239 A A 基基本本知知识识 一 矩阵的加法和数与矩阵的乘法 1 加法 例 1 2 数乘 例 2 3 矩阵运算律 都是矩阵 是数 则 1 2 3 4 5 6 7 8 验证 为方阵 二 矩阵的乘法 设矩阵 的列数与矩阵 的行数相同 则由元素 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277240 构成的行列矩阵 1 矩阵相乘后得到新矩阵的形状 例 不可乘 可乘 2 两个矩阵相乘 内部决定可乘与否 外部决定新形状 例 3 求 结论 若 则称与可交换 乘法口诀 矩阵的每一行与矩阵每一列对应元素乘积的和 不换行则新矩阵不换行 3 乘法运算法则 1 2 3 4 4 矩阵乘法的重要结论 B B 例例题题分分析析 例 1 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277241 例 2求 解 例3 为三阶矩阵 若已知 求 解已知矩阵为三阶矩阵 由此得知 所以 例 4 求 例 5 求 例 6 求 为二阶矩阵 解设 则有 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277242 所以 解得所以 第第三三节节几几种种特特殊殊矩矩阵阵 A A 基基本本知知识识 一 对角矩阵 1 数乘 2 加法 3 乘法 4 如果为对角矩阵 则 二 数量矩阵 对角矩阵中 元素时称为阶数量矩阵 以数量矩阵左乘或右乘 前提是可乘 一个矩阵 其乘积等于以数乘矩阵 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277243 三三 单位矩阵 I 或 E 如果阶数量矩阵中元素时 则为单位矩阵 记作或 单位矩阵与任何矩阵左乘或右乘 前提是可乘 仍等于任何矩阵 四 三角形矩阵 上三角形矩阵 下三角形矩阵 B B 例例题题分分析析 例 1求 解 例 2求 解 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277244 第第四四节节逆逆矩矩阵阵 A A 基基本本知知识识 一 逆矩阵定义 对于阶矩阵 如果存在阶矩阵 使得 那么矩阵称 为可逆矩阵 而称为的逆矩阵 如果可逆 的逆矩阵是唯一的 将的逆矩阵记作 1 矩阵 可逆的充要条件是 为非奇异 2 伴随矩阵 即代数余子式矩阵的转置 即 3 代数余子式求逆矩阵 是 中元素的代数余子式 二 对角矩阵的逆矩阵 其中 三三 逆矩阵性质及公式 1 1 2 3 4 5 2 1 2 3 4 B B 例例题题分分析析 例 1 求 所以可逆 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277245 于是 例 2 求 例 3设阶矩阵满足 证明为可逆矩阵 并求 为常数 且 证明 可逆 例 4判断正误 为同阶矩阵 且可逆 1 若 则 2 若 则 3 若 则 4 若 则 解 1 因为可逆 所以 则 2 无法推出 反例 3 因为可逆 4 无法推出 反例 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277246 第第五五节节矩矩阵阵初初等等变变换换 A A 基基本本知知识识 一 矩阵的初等变换 1 交换矩阵两行 列 2 以一个非零的数乘矩阵的某一行 列 3 把矩阵的某一行 列 的 倍加于另一行 列 二 初等矩阵 对单位矩阵施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 1 2 3 三 初等矩阵的乘法 左乘初等矩阵进行行变换 右乘初等矩阵进行列变换 例 1 交换的第一行得 例 2 将的第三列乘以 2 加于第一列得 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277247 四 初等矩阵的逆矩阵 五 矩阵的形式 任一矩阵经过若干次初等变换 可以化为下面形式的矩阵 称之为形式 六 求逆矩阵方法 2 扩展单位矩阵 例 3求的逆矩阵 解 作 3 6 矩阵 为 3 阶单位矩阵 得 1 利用扩展单位矩阵求逆矩阵方法 1 补充同阶单位矩阵 2 只能初等行变换 不能出现列变换 3 将矩阵化成单位矩阵 2 求逆矩阵方法 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277248 1 扩充单位矩阵法 2 伴随矩阵法 B B 例例题题分分析析 例 1 化为形式矩阵 例 2化为形式矩阵 例 3 求 例 4 用初等变换求 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277249 故 例 5设满足下式 求 解用行初等变换求逆矩阵 设 即 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277250 第第六六节节矩矩阵阵的的秩秩 A A 基基本本知知识识 一 阶子式 从矩阵中 任取行列 位于这些行列相交处元 素 保持它们原来对应位置构成的阶行列式 称为矩阵的一个阶子式 例 1取一三两行 二四两列相交处的元素所构成的二阶子式 二 矩阵的秩 1 秩的概念 为矩阵 若中 阶子式行列式值不为 0 但任何阶子式行列式值 都为 0 则称的秩为 记作 当时 2 矩阵的秩的性质 1 2 3 当时 称为满秩矩阵 例 2 矩阵经初等变换后秩不变 3 求秩方法 1 将矩阵化为上或下三角形矩阵 2 每一行第一个非零数都要在对角线上 否则通过上下换行使其成立 3 数对角线上有几个非 0 数 二二 例例题题分分析析 例 1求的秩 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277251 例 2求的秩 例 3求的秩 C C 真真题题演演练练 例 1设 则 200401 解仅由 即可确定出 例 2设 为阶可逆矩阵 则下列等式不成立的是 200401 解 例 3设方阵为阶方阵 为常数 那么 解根据行列式性质和矩阵的数乘 易得选 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277252 例 4矩阵的秩 200502 解 因为 所以 例 5下列命题中 不正确的是 200602 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵 初等矩阵的和也是初等矩阵 初等矩阵都是可逆的 初等矩阵的转置是初等矩阵 解分析 很显然都是正确的 下面分析一下 给出两个初等矩阵 以及 很显然 不是初等矩阵 所以的结 论是错误的 选 例 6设矩阵 200701 1 问矩阵是否可逆 若可逆则说明理由并求出其逆矩阵 2 问是否存在 3 阶矩阵使 若存在则求出矩阵 解解法一 扩展单位矩阵求逆矩阵 所以不可逆 可逆 解法二 利用伴随矩阵求逆矩阵 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277253 故矩阵可逆 2 解 将 化简为 由于可逆 所以存在满足要求且 例7设矩阵为可逆方阵 其行列式值分别为 则下列各式中 正确的是 200702 解 分析 其中为方阵的阶数 例 8设矩阵为阶方阵 则下列说法正确的是 200703 若 若 解选 因为矩阵乘法不满足交换律 即不一定等于 所以不一定成立 令 则 但 所以 选 例 9设 其中矩阵 求矩阵 200703 解 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277254 有得到 例10设矩阵为阶方阵 则下列说法正确的是 200801 均不可逆 解 所以选 例 11设均为阶方阵 下列叙述正确的是 200802 如果行列式 如果 O 则 O 或 O 解 所以选 C 例 12已知 则 200803 解 例 13设均为阶方阵 则下列叙述正确的是 200901 若 则 若 则或 解 例 14设均为阶方阵 则下列叙述正确的是 200902 若 则 若 则或 若 则或 解 例 15矩阵 则 200903 解 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277255 第第十十章章练练习习题题 1 判断 1 n阶方阵是可以求值的 2 用同一组数组成的两个矩阵是相等的 3 两个行数 列数都相同的矩阵是相等的 4 矩阵都有行列式 5 两个矩阵的行列式相等 则两个矩阵相等 6 两个矩阵相等 则其行列式对应相等 7 如果矩阵A的行列式值为 0 则A 0 2 计算 1 设 则 2 设n阶方阵A和B满足AB BA 证明 3 若矩阵 验证 4 若矩阵 验证 3 用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵 1 2 3 4 用初等变换求逆矩阵 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277256 1 2 3 5 解矩阵方程 1 2 6 求下列矩阵的秩 1 2 3 4 第第十十章章习习题题答答案案 1 1 正确 2 错误 3 错误 4 错误 5 错误 6 正确 7 错误 2 1 2 3 4 略 3 1 2 3 4 1 2 3 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277257 5 1 2 6 1 2 3 4 本本章章小小结结 矩阵中除可逆阵 伴随阵 分块阵 初等矩阵等重要概念外 主要也是运算 其运算分 两个层次 一是运用矩阵的性质对抽象矩阵进行运算 二是具体矩阵的数值运算 下面的表 格分类列出了逆矩阵 伴随矩阵 矩阵转置的性质以供区别记忆 行列式性质运算性质秩的性质 转置矩阵 逆矩阵 伴随矩阵 三者之间有一 个既好记又好用的性质 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277258 数乘矩阵 矩阵之积及 矩阵之和 则有 若是可逆矩阵则有 同样 若可逆则有 第第十十一一章章线线性性方方程程组组 第第一一节节消消元元法法求求解解线线性性方方程程组组 A A 基基础础知知识识 一 线性方程组与矩阵 认识 矩阵形成 1 称为系数矩阵 称为常数项矩阵 称为元未知量矩阵 2 称为非齐次线性方程组 当 即时 称为齐次线性方程组 称为线性方程组的增广矩阵 是矩阵的秩 是增广矩阵的秩 是矩阵的列数 即线性方程组中未知量的个数 二 求解线性方程组 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277259 例 1 消元法 解 2 以上就是消元求解过程 利用增广矩阵的初等行变换表示 最后得到方程组的解 1 3 2 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277260 消元法求解过程 增广矩阵初等行变换 1 非齐次线性方程组的解 1 时有且仅有唯一解 2 时有无穷解 3 时无解 2 齐次线性方程组的解 1 时仅有零解 2 时有非零解 B B 例例题题分分析析 例 1解线性方程组 解对方程组的增广矩阵施以初等行变换 得 取 为任意常数 则方程全部解为 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277261 例 2解线性方程组 解对方程组的增广矩阵施以初等行变换 因为 所以无解 例 3取何值时 线性方程组有解 并求其解 解对方程组的增广矩阵施以初等行变换 当1 时 3 方程组有唯一解 当 1 时 1 3 方程有无穷多解 设 为任意常数 于是 例 4解齐次线性方程组 解 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277262 2 4 有非零解 得到原方程组的同解方程组设 为任意常数 于是得到方程组的一般解 第第二二节节维维向向量量空空间间 A A 基基本本知知识识 一 维向量 个实数组成的有序数组称作维向量 一般用 等希腊字母表示 1 行向量 称为维行向量 称为向量的第 个分量 2 列向量 称为维列向量 称为向量的第 个分量 可以写成 3 矩阵与向量 中的每一行 都是维 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277263 行向量 每一列 都是维列向量 4 向量相等 两个维向量 当且仅当它们各对应分量分别相等时 才是相等的 则可称 5 零向量 各分量都为 0 的向量 0 0 0 6 负向量 称是的负向量 二 向量四则运算 1 数乘2 1 2 3 2 4 6 2 加法 1 3 5 7 2 0 1 0 3 3 6 7 3 减法 2 0 1 1 1 3 4 1 1 3 3 0 4 运算规律 1 2 3 4 5 6 7 8 第第三三节节向向量量间间的的线线性性关关系系 A A 基基本本知知识识 线性方程组可以写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系 其中 一 线性表示 线性方程组有解与否 就相当于是否存在一组数 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277264 使线性关系式成立 如果存在 则方程组有解 否则 无解 可以表示上述关系式时 称向量是向量组的线性组合 或者称可由向量组 线性表示 1 线性表示定义 对于给定向量 如果存在一组数使 成立 则称是的线形组合 或称可为 的线性表示 例 1 2 1 1 解 2 线性表示的充分必要条件 以为列向量的矩阵与以 为列向量的 矩阵有相同的秩 1 任何一个维向量 都是维向量组 的线性组合 因为 2 零向量是任何一组向量的线性组合 因为 0 3 向量组中任一向量都是此向量的线性组合 因为 二 线性相关与线性无关 1 线性相关定义 对于向量组 如果存在一组不全为 0 的数时 使得 成立 则称线性相关 2 线性无关定义 对于向量组 当且仅当时 使得 成立 则称线性无关 例 2与线性相关 与线性无关 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277265 1 对于维向量组 其中 则线 性相关的充分必要条件是 以为向量的矩阵的秩小于向量的个数 2 对于 个 维向量 则向量组线性相关的充 分必要条件是 0 不满秩 无关的条件为 满秩 3 当向量组中所含向量个数大于向量维数时 此向量组相关 4 如果向量组中有一部分向量 部分组 线性相关 则整个向量组相关 5 含有 0 向量的向量组线性相关 6 向量组线性相关的充要条件是 其中至少有一个向量是其余个向 量的线性组合 7 如 果 向 量 组 线 性 相 关 而线 性 无 关 则可 由 线性表示且表示法唯一 B B 例例题题分分析析 例1判断向量与是否各为向量组 的线性组合 若是 求出表达式 解 1 设对矩阵进行变换 秩 秩 2所以可由表示 2 对进行变换 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277266 秩 3 秩 2 因此 所以不可由线性表示 例 2判断向量组是否线性相关 对矩阵施以初等变换 秩 所以 线性相关 例 3 判断是否线性相关 所以无关 例 4 证明如果无关 则亦无关 证明 存在一组数使 整理得 由无关得 因为 故方程仅有零解 即当且仅当时才成立 所以无关 第第四四节节向向量量组组的的秩秩 A A 基基本本知知识识 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277267 一 极大无关组定义 如果维向量组中的一个线性无关的部分组 已达到最大可能 即如果 个向量以外向量组中还有向量 那么任意个向量构 成的部分组均线性相关 则称为向量组的一个极大线性无关部分组 简称极大无关组 向量组的极大无关组可能不只一个 但由定义可知 其向量个数是相同的 例 1二维向量 因为任何 3 个二维向量组必线性相 关 又线性无关 故是的一个极大无关组 也是的 一个极大无关组 二二 掌握定理 1 如果是的线性无关部分组 它是极大无关组的充分必要条件是 中的每一个向量可由线性表示 2 向量组的极大无关组所含向量个数 称为向量组的秩记为 例 1其秩 3 矩阵的秩 行向量组的秩 列向量组的秩 将矩阵的行向量组的秩称为行秩 将矩阵的列向量组的秩称为列秩 B B 例例题题分分析析 例 1的一个极大无关组 并把其余向量用该 极大无关组表示 解对矩阵 施以初等行变换 由最后一个矩阵可知 为一个极大无关组 第第五五节节齐齐次次线线性性方方程程组组解解的的结结构构 A A 基基本本知知识识 一一 齐齐次次线线性性方方程程组组 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277268 1 解的性质 如果是齐次线性方程组的两个解 则也是它的解 如果是齐次线性方程组的解 则也是它的解 为常数 如果都是齐次线性方程组的解 则其线性组合 也是它的解 其中都是任意常数 2 基础解系 齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组 二二 例例题题分分析析 例 1 解对增广矩阵施以初等行变换 得 即原方程组与同解 其中为自由未知量 让自由未知量取值得方程组的解为 就是方程组的一个基础解系 例 2用基础解系表示该方程组的一般解 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277269 解 此方程组有无穷多个解 得原方程与同解 其中 为自由未知量 让自由未知量取为 得方程组的基础解系为 所以方程组的一般解 为任意常数 例 3解方程组 解用初等行变换把系数矩阵化为最简形式 与原方程组同解的方程组为 得 其中为自由未知量 让自由未知量取为 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277270 通解为 第第六六节节非非齐齐次次线线性性方方程程组组解解的的结结构构 A A 基基本本知知识识 一一 非非齐齐次次线线性性方方程程组组 1 导出组 令 得到的齐次线性方程组 称为非齐次线性方程组的导出组 2 非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有下列性质 1 如果是非齐次线性方程组的一个解 是其导出组的一个解 则也是方程组的一 个解 2 如果 是非齐次线性方程组的两个解 则是其导出组的解 3 如果是非齐次线性方程组的一个解 是其导出组的全部解 则是非齐次线 性方程组的全部解 二二 例例题题分分析析 例 1用基础解系表示如下线性方程组的全部解 解对方程组的增广矩阵施以初等行变换 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277271 得 即原方程组与方程组同解 其中为自由未知量 让自由未知量取值 得方程组的一个解 原方程组的导出组与方程组同解 其中为自由未知量 让自由未知量取值 即得导出组的基础解系 因此所给方程组的全部解为 其中为任意常数 例 2 方程组 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277272 1 求为何值时 方程组有唯一解 无解 无穷解 2 当为无穷解时 用基础解系表示其全部解 解对增广矩阵施以初等行变换 当时 方程组有唯一解 当时 方程组无解 当时 方程组有无穷解 当时 代入方程组得 为自由未知量 取 所以非齐次解 设为 那么齐次解为 所以通解为 其中 为任意常数 C C 真真题题演演练练 例 1设向量组 线性相关 则 200401 3 1 0 解方法 1 由线性相关当且仅当得 方法 2线性相关当且仅当 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277273 即 选 例 2设是矩阵 行秩为 列秩为 那么 200503 解 因为矩阵的行秩等于矩阵的列秩 例 3设 1 求向量组 的秩和极大无关组 2 把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示 200901 解 设 极大无关组 设 则有 例 4 1 设向量组试判定向量组的线性 相关性 2 已知线性方程组用导出组的基础解系表示通解 200902 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277274 解 1 线性相关 2 得 同解方程组为是自由未知量 取 特解 方程组的导出组为即是自由未知量 取 基础解系为通解为 其中为任意常数 例 5已知线性方程组 1 问为何值时 线性方程组有唯一解 无解 有无穷多解 2 当方程组有无穷多解时 用其导出组的基础解系表示其通解 200903 解对方程组的增广矩阵施以初等行变换 1 当且时 方程组有唯一解 当时 有无穷多解 当时 无解 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277275 2 当时 得 同解方程组 是自由未知量 取 得特解 方程组的导出组为 即 是自由未知量 取 得基础解系 通解 其中为任意常数 例 6已知线性方程组 1 问为何值时 线性方程组有唯一解 无解 有无穷多解 2 当方程组有无穷多解时 用其导出组的基础解系表示其通解 200803 解对方程组的增广矩阵施以初等行变换 1 有唯一解 无解 有无穷多解 2 将带入方程得得 同解方程组 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277276 是自由未知量 取 得特解 方程组的导出组为 即 是自由未知量 取 得基础解系 通解 其中为任意常数 例 7已知线性方程组 1 问为何值时 线性方程组有唯一解 无解 有无穷多解 2 当方程组有无穷多解时 用其导出组的基础解系表示其通解 200801 解 1 对方程组的增广矩阵施以初等行变换 有唯一解 无解 有无穷多解 2 将代入方程组 得与原方程同解 是自由未知量 取 特解为 方程组的导出组为 即 是自由未知量 取 基础解系为 阿樊教育考试辅导中心 QQ161984524Tel 0311 89807277277 通解为 其中为任意常数 例 8设非齐次线性方程组 已知是方程组的一个解 1 问为何值时方程组有唯一解 2 问为何值时方程组有无穷多解 并求出导出组的基础解系表示的通解 200703 解因为是方程组的一个解 所以 对方程组的增广矩阵作初等行变换 1 要使得方程组有唯一解 即当时 方程组有唯一解 2 要使得方程组有无穷多解 当 得到 即当时 方程组有无穷多解 此时方程组的一般解为 其中是自由未知量 得方程组的一个特解是 方程组导出组的基础解系为 方程组的通解为 其中为任意常数 例 10设非齐次线性方程组 1