谈新课程下变式教学对学生数学思维能力的培养.doc

谈新课程下变式教学对学生数学思维能力的培养 李思齐普通高中数学课程标准（实验）明确指出，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标。新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，提高学生数学的提出问题、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。学生在解题过程中遇到一个新问题时，总想通过熟悉的题型去“套”，这只是满足于把题解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻，做到融会贯通时，才能提出新的看法和巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着非常重要的数学思想方法。教师要有意识地应用数学思想方法引导学生去分析问题、解决问题，使学生形成一定的数学能力，提高学生的数学素质，使其具有数学的头脑和眼光。而变式教学则可以通过学生思维在变的过程中得到积极锻炼，加强学生对数学知识的理解，增强了学生对知识间相互联系的认识，从而使学生形成了整体的对数学知识的认识，形成了自己的思想和能力，提高其数学素养的目的。变式教学，就是引导学生在解答某些数学题之后，进行联想、猜想，对题目的条件和结论作进一步的探索，以寻求更多的解决方法，或从不同的侧面深入思考数学题的各种变化，并对这些变式题进行解答，从而培养学生灵活、深刻、广阔、发散的数学思维能力。一题多变和一题多解的变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。在新一轮课程改革下，要注重对学生思维能力的培养，变式教学就显得比较重要。下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则 x2+y2= x2+（1-x）2=2x22x+1=2（x）2+由于x0，1，根据二次函数的图象与性质知当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y0，则可设 x=cos2，y=sin2 其中0，则x2+y2= cos4+sin4=（cos2+sin2）22 cos2sin2 =1（2sincos）2=1sin22=1=+ cos4于是，当cos4=1时，x2+y2取最小值； 当cos4=1时，x2+y2取最小值1。评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y0，则可设 x=+t， y=t，其中t，于是，x2+y2= （+t）2+（t）2=+2t2 t20，所以，当t2=0时，x2+y2取最小值；当t2=时，x2+y2取最大值1。评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。解法四：（运用基本不等式）由于x、y0且x+y=1则 xy=，从而0xy于是，x2+y2=（x+y）22xy=12xy所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=时，x2+y2取最小值。评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。yxOAB11C解法四：（解析几何思想）设d=，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段上的点到原点的最大和最小距离就可。当点C与A或B重合时，dmax=1，则（x2+y2）max=1当OCAB时dmin=，则（x2+y2）min=评注：用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。yxOAB11解法五：（数形结合思想）设x2+y2=r2（r0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r的动圆，记为F。于是，问题转化为F与线段有公共点，求r的变化范围。当F经过线段AB端点时rmax=1；当F与线段AB相切时rmin= 则 x2+y21 评注：此解法与解法四并无本质区别，关键是数形结合思想的形成。至此，解答本题的几种常见方法介绍完毕，下面展示对本题的变式和推广。 变式1：已知a、b为非负数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。 解法一：（函数思想）由a+b=1得b=1a，0a1 M= a4+b4= a4+（1a）4=2a44a3+6a24a+1从而，M/=8a312a2+12a4=4（2a33a2+3a1）=4（2a1）（a2a+1） 令M/=0，得a= 当0a时M/0，则M（a）单调递减；当a1时M/0，则M（a）单调递增； 于是，M在a=处取极小值M（）=；而M（0）= M（1）=1 所以， M1评注：利用导数可以求函数的最值，运用函数思想求变量的最值是常见方法。平日教学中要积极注意引导学生对函数思想的形成，也要加强学生对函数概念及其性质的理解，熟练解答一些稍有难度的综合性题目，要求学生对函数理论的理解和掌握要深要透。解法二：（对称换元思想）由于a+b=1，a、b0，则可设 a=+x， b=x，其中x，于是，a4+b4= （+x）4+（x）4=+3x2+2x4=2（x2+）21 x20，由二次函数图象与性质，当x2=0时Mmin=；当x2=时Mmax=1评注：尽管都是函数观点，明显可以看到，对称换元减少了运算量，直接化为二次函数最值问题来求解，而回避了通过求导来求函数最值的麻烦，得出结果的速度比较快。可见，平日教学中要注意引导学生对表达式结构的分析，提高学生的思维能力，使其选择适当的方法来解决问题。解法三：（三角换元思想）设a=cos2，b=sin2 其中0，则 M=a4+b4= cos8+sin8=（cos2+sin2）44sin6cos26 sin4cos44 sin2cos6=14 sin2cos2（cos4+sin4）6 sin4cos4 =1sin22（12 sin2cos2） sin42 =1- sin22（1 sin22） sin42 =1sin22+ sin42 =2（sin221）21 sin220，1从而，当sin22=1时Mmin=；当sin22=0时Mmax=1。评注：对三角函数式的恒等变形的技能要求比较强。解法四：（基本不等式）由于0a1，0b1则有 0a4a1，0b4b1，故a4+b4a+b=1（当a=1，b=0或a=0，b=1时取等号）而a2+b22ab，则2（a2+b2）a2+b2+2ab=（a+b）2又a4+b42a2b2，则2（a4+b4）a4+b4+2a2b2=（a2+b2）2所以 8（a4+b4）4（a2+b2）2=2（a2+b2）2（a+b）4于是 a4+b4（a+b）4=（当且仅当a=b时取等号） 从而 a4+b41 评注：对基本不等式的运用要灵活、熟练，同时在等号成立的条件上也要留心。 变式：已知x、y0且x+y=1，能求x8+y8的取值范围吗？x8+y6呢？x7+y7的范围能求吗？ 答案是肯定的，限于篇幅，下面只用基本不等式的方法解决之。 一方面，x8+y8=（x4）2+（y4）22x4y4所以，2（x8+y8）x8+y8+2x4y4=（x4+y4）2（x+y）42于是 x8+y8（x+y）8=（当且仅当x=y时取等号）。另一方面，0x8x1，0y8y1，则x8+y8x+y=1（当x=1，y=0或x=0，y=1时取等号）。即 x8+y81 即x8+y81一方面，x6+y6=（x3）2+（y3）22x3y3所以，2（x6+y6）x6+y6+2x3y3=（x3+y3）2=（x+y）2（x+y）23xy2 =（13xy）2 其中0xy= 于是，当xy =时x6+y6（13xy）2另一方面，0x6x1，0y6y1，则x6+y6x+y=1（当x=1，y=0或x=0，y=1时取等号）。即 x8+y81一方面，x7+y7=（x3+y3）（x4+y4）-x3y3（x+y）=（x+y）（x+y）23xy （x4+y4）x3y3=（13xy）2（x4+y4）x3y3其中0xy= （13xy）2（x+y）4x3y3=（13xy）2x3y3（当且仅当x=y时取等号）于是，当xy =时x7+y7（13xy）2x3y3另一方面，0x7x1，0y7y1，则x7+y7x+y=1（当x=1，y=0或x=0，y=1时取等号）。即 x7+y71这样，似乎更具有一般性的结论。随着变式和推广的进行，思维的深刻性和广泛性不断拓开，数学思维能力得到进一步锻炼和提高。变式：若x、y0且x+y=1，能求得xn+yn1的结论吗？由于此式更具一般性，为方便起见，下面就通过函数求导来探求xn+yn的最小值，记M= xn+yn = xn+（1x）n 0x1 则 M/=nxn1n（1x）n1=nxn1（1x）n1令M/=0，得x=。下讨论函数M（x）在（0，）和（，1）上单调性。当x（0，）时，0x1x，则xn1（1x）n1，从而M/0，故M（x）在（0，）上单调递减；当x（，1）时，01xx，则xn1（1x）n1，从而M/0，故M（x）在（，1）上单调递增；所以，M（x）在x=处取极小值M（）=，此为最小值。而0xnx1，0yny1，则xn+ynx+y=1（当x=1，y=0或x=0，y=1时取等号）。 即有 xn+yn1这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。在数学教学中,若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。经典例题一般都具有典型性、示范性和关联性，在进行变式教学的同时要注意其中丰富的思想和方法，对培养学生的综合分析能力、提高学生数学思维能力有着很积极的作用。教师应该让学生充分认识例题本身所蕴含的教育价值，学会怎样进行数学思维，怎样运用数学知识进行思考、解题，如何表述自己的解题过程等等。教师只有充分地利用好例题，充分挖掘发挥例题的潜能，才能达到优化学生的认知结构，开阔学生的眼界，活跃学生的思维，提高学生解题能力的目的。课本例题大部分是一题一解，目标明确，且解法的基础性强，符合大多数学生的认知要求。但这样做不利于发散性思维的培养，不利于求异思维和创新能力的培养，同样也不利于知识的融会贯通和综合解题能力的提高。一题多