宇宙学 宇宙模型.pdf

第六章第六章 宇宙模型宇宙模型 1 具体参见 观测宇宙学 第五章和第三章相关内容 物理宇宙学讲义 4 数学上著名的毛比斯闭合环形面 宇宙理论的标准框架 n观测证实宇宙可以看成是一片始终均匀的 介质 宇宙学原理 它正处于膨胀状态 n假定宇宙的行为服从广义相对论 这样就 确定了宇宙的膨胀的动力学方程确定了宇宙的膨胀的动力学方程 n通过观测获得一系列 初 条件 这样就可以确定宇宙膨胀的整个历史 当 然 它的正确与否还需要观测的检验 模型宇宙 真实宇宙的简化 物质是充满全空间的 永远均 一 宇宙学原理 匀的 各向同性的 1 宇宙中的物质是均匀分布的 迄今没有发现尺度超过300Mpc的结构 宇宙是无边界的 4 约100万个星系在30 度天空范 围和20亿光年距离内的分布 2 宇宙是各向同性的 宇宙没有中心 5 Hubble s law is the same no matter who is making the measurements 宇宙微波背景辐射的观测为宇宙学原理提供了 有力的支持 总之 今天已有有力证据表明 以宇宙学原理为基础的模型是以宇宙学原理为基础的模型是 真实宇宙的好的零级近似 二 宇宙服从广义相对论 引力是决定宇宙动力学的唯一 作用力 这里的引力应由广作用力 这里的引力应由广 义相对论描述 又一基本假设 牛顿宇宙观 宇宙是永恒的 稳定的 问题 物质 引力 宇宙坍缩 绝对空间 就其本性 而论与任何外界情况 无关 始终保持相似 和不变 可能的解决途径 1 宇宙在空间和质量上是无限大 的 2 宇宙在膨胀 3 宇宙有起点和终点 2 3 点违反宇宙永恒与稳定的 性质 于是牛顿认为宇宙应该是 无限的 Isaac Newton Olbers s Paradox If the universe is infinite unchanging and uniformly populated with stars like the Sun Each line of sight must eventually encounter a star The entire night sky should be as brilliant as the surface of the Sun surface of the Sun Wilhelm Olbers 1758 1840 假设恒星数密度为n 则距离为 r 到r dr 球壳内恒 星数目为 2 d4dNr n rp 令每颗恒星的光度为L 在地球上接收到壳层内一颗恒 星的辐射流量为 L 2 4 r L F p 宇宙中所有恒星照射到地球上的辐射应该从0到无穷 于是总的辐射流量为 2 2 00 4 4 L Enr drnLdr r p p 积累的星光使得黑夜应该亮如白昼积累的星光使得黑夜应该亮如白昼 Seelinger s Paradox M R dR df Seelinger s Paradox On June 30 1905 Einstein formulated the two postulates of special relativity 1 相对性原理 The Principle of Relativity 物理定律在一切惯性参考系惯性参考系中都具有相同的形式 2 光速不变原理 The Constancy of Speed of Light in Vacuum 在任何惯性参照系中 真空中的光速都是一个常数 space time spacetime 狭义相对论狭义相对论 广义相对论广义相对论 14 广义相对论广义相对论 1 等效原理 The Principle of Equivalence 引力质量与惯性质量等效 Gravitational mass is identical with inertial mass 2 广义相对性原理或协变原理 The Principle of Covariance 物理定律的形式在一切参考系一切参考系下都是不变的 n一切质量的引力运动 实则是统一的时空借 助质量运动 反映出 其弯曲属性的效应 其弯曲属性的效应 天文什么样的情形需要运用广义相 对论 n解释水星近日点的进 动 n光线弯曲 强场 致密星体 中子星 黑洞 宇宙学 大尺度问题 引力导致时空弯曲 变场 引力波 双星系统 Lisa卫星 22222222 2 2 2222 sin 1 dldtcdrdr kr dr tRdtcds fqq 三三 Robertson Walker度规 Alexander Friedmann 22222 2 2 22 sin 1 jqJdrdr kr dr tRdl k 为曲率因子 反映空间平坦或者弯曲 Robertson Walker度规的整体坐标是随动坐标 Robertson Walker 度规中的径向坐标 r 不是从观测者 r 0 到天体的真实距离 而是径向随动坐标距离 radial co moving distance Robertson Walker度规的特点 22222 2 2 2222 sin 1 fqqdrdr kr dr tRdtcds 20 co moving distance R t 动态的度规 含时 描述时空背景随时间的演化 rr P kr dr tRdlL 020 1 固有距离 等r面的面积 22 2 00 22 4sin rtRddrtRSpfqq pp 2 2 2 22 1 1 r Rdr dl r dr Rdl 22222 2 2 22 sin 1 jqJdrdr r dr Rdl z O dl A arcsin 1 020 rR r Rdr dlrl rr 线元公式线元公式 径向线元径向线元 r以内以内 径向距离径向距离 k 1 x y dl O 22 4 rRrAp 23 020 1 arcsin 2 1 rrrR r Rdr rAdlrArV rr p 32 2 1 2RrVVp r处球面积处球面积 r以内体积以内体积 Einstein 宇宙总体积宇宙总体积 sd s R rdr r dr Rdl s j 1 22 2 2 22 z O dl A x y O j s sd 2 2 2 22 1 1 r Rdr dl r dr Rdl dr r dr Rdlj 1 22 2 2 22 x y z O dl O A arcsin 1 020 rR r Rdr dlrl rr p pj 2 0 2 RrRrddlrw 径向线元径向线元 r以内以内 径向距离径向距离 r处处 圆周长圆周长 js sd R r s 22 020 112 1 2 rR r Rdr RrdlrwrS rr p p 2 4 1 2RrSSp r以内以内 面积面积 二维宇宙二维宇宙 总面积总面积 其中R t 为宇宙尺度因子宇宙尺度因子 scale factor k 为空间曲率空间曲率 通常取 1 0 或 1 分别对 应不同的空间拓扑结构 分 别对应开放 双曲 的 平 22222 2 2 2222 sin 1 fqqdrdr kr dr tRdtcds 24 From WMAP Homepage 别对应开放 双曲 的 平 直的或是封闭 球面 的宇 宙模型 25 rcom 0 321 r comoving position proper position scale factor trial solution comprop rtRtr 宇宙间任意两个 天体之间都在相 互退行 距离越 远 退行速度越 大 在此仅以平直时空为例 解释Hubble s Law 26 注意 Hubble 定律中的速度和距离都是Proper系下定义的 rcom 0321 rcom 0321 r r scale factor com prop r t tR t r propprop rtHtv Hubble 参数 宇宙学红移 较严格的数学推导较严格的数学推导 光子的运动满足 零测地线运动 光子从坐标的A点 rA tA B点 rB tB 取不会损失一般性 0 fqdd 分离变量代入度规可得 0 ds 22222 2 2 2222 sin 1 fqqdrdr kr dr tRdtcds 27 2 1 BBBB AAAA trtt trtt dtdrdt R tR t kr d d 由积分中值定理有 AB AB tt R tR t dd 于是可以给出宇宙学红移的关系 01001 1011 111 tR z tR t lldn lnd 1 1 01 ztRtR 波前 波尾 1010 RR ll 0 1R 物理本质物理本质 光子的波长随着宇宙的膨胀在一同膨胀 如何看待宇宙学红移与Doppler红移 宇宙学红移是不是Doppler红移 1010 RR ll 28 Cosmological Redshift As the universe expands photons of radiation are stretched in wavelength giving rise to the cosmological redshift Redshift is due to expansion of space not due to motion of galaxy The recessional velocities of galaxies are not Doppler shifts space itself is expanding carrying the galaxies with it Expansion of the Universe 29 Space expands as light travels from one galaxy to another causing the wavelength of the light to increase i e redden The amount that the light is redshifted is proportional to the amount of time it had to travel or how far it had to go mnmnmn p T c G RgR 4 8 2 1 Einstein场方程 宇宙学原理 Robertson Walker度规 22 3 8 3 3 4 R G kR RP G R r p r p Friedman膨胀宇宙模型 1922年 俄国数学家A Friedman求得不含 宇宙常数 项的引力场方程的均匀的和各向同性的通解 由Einstein场方程可以得到 8 3 3 3 4 G RRP G R L L p r p 第 2 式可化为 称为Friedman方程 它表示宇宙的膨胀实际上由三项来 共同驱动 物质项 宇宙学常数项和曲率项 222 33 8 RR G kR L r p 2 22 33 8 R kG R R H L r p A Friedman Friedman膨胀宇宙模型 在该模型中 0 宇宙是膨胀的 膨胀宇宙的演化取决于宇宙中的物质 自引力或密度 的大小 宇宙总能量 3 222 22 114 223 14 23 GMmGmr EmVmH r rr mrHG pr pr 当时 E 0 定义宇宙密度参数 Friedman方程 8kGRLp 可以表示为 2 22 33 8 R kG R R H L r p 1 M k 0 k Geometry of the Universe 0 1 k 0 正 曲率 封闭宇宙 0 1 k 0 k 0 零 曲率 平直宇宙 0k 曲率 平直宇宙 0 0 k 1 束缚宇宙 膨胀 收缩 0 1 开放宇宙 无限膨胀 0 1 临界束缚宇宙 无限膨胀 热死亡 振荡 冷死亡 观测到的宇宙微波背景辐射的涨落表明宇宙的 位形是平直的 即 k 0 0 1 33 RPdRd r 0 PP 22 3 8 3 3 4 R G kR RP G R r p r p const 3 1 const 0 4 3 R P R PP m r r r r A 晚期宇宙晚期宇宙 B 早期宇宙早期宇宙 33 RPdRd r 0 PPr 22 3 8 3 3 4 R G kR RP G R r p r p const 0 3 1 t 0 表示宇宙的膨胀在不断减速 L W W M R RR q 2 1 2 The Magnitude Redshift Relation For standard candles with absolute magnitude M the Hubble s law r cz H or more accurately r cz H 1 1 q z 2 and the apparent absolute magnitude relationand the apparent absolute magnitude relation m M 5log r 10pc yield m M 5log cz H 5 5log z C where the constant C depends on H and q 对高红移Ia型超新星的观测 发现宇宙在加速膨胀 造成今天宇宙加速膨胀的 必定是某种超过引力的长 程斥力 这正是宇宙学常 数当初被引进的作用 即 0 天文学家称它为暗能量 dark