遇到线段的中点引发六联想.doc

遇到中点引发六联想山东沂源县徐家庄中学 左效平邮政编码：256116联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？相信你阅读下文后，能给你带来一定的启示。1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质例1、如图1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MNAC于点N，则MN等于【 】(2008年安徽省)A B C D分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；由点M为BC中点，如果连接AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边BC上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。解:连接AM，因为，AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；因为，点M为BC中点，则根据等腰三角形的三线合一，得到AMBC，在直角三角形AMC中，AC=5，CM=BC=3,所以，AM=4，所以，三角形ABC的面积是：BCAM=64=12,所以，三角形ACM的面积是：6；所以，6=ACMN，所以，MN=.所以，选择C。2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。分析：由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，知道FGBC,FEAC，FE=AC，由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=AC，所以，EF=DG，这样，我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。证明：因为，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，所以，FGBC ， FEAC，FE=AC，所以，FGED，因为，FEAC，DG与AC是相交的，所以，DG与EF也是相交的，所以，四边形EFGD是梯形，因为，AD是三角形的高，所以，三角形ADC是直角三角形，因为，DG是斜边上的中线，因此，DG=AC，所以，DG=EF,所以，梯形EFGD是等腰梯形。3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”例1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，我们就自然联想到三角形的中位线定理，但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。证明：如图5所示，连接AC，因为，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。所以，EF是三角形ABC的中位线，GH是三角形ADC的中位线，所以，EFAC ，EF =AC， GHAC，GH=AC，因此，EFGH，EF=GH，所以，四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形例4、如图6所示，已知梯形ABCD，ADBC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE，求证：SABE=S四边形ABCD。分析：如果直接证明，是不容易，联想到ADBC，点E是CD的中点，我们延长AE，与BC 的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就好解决了。证明：如图7所示，延长AE，与BC 的延长线交于点F，因为，ADBC，所以，ADE=FCE，DAE=CFE，因为，点E是CD的中点，所以，DE=CE，所以，ADEFCE，所以，AE=EF，所以，SABE= SBEF，因为，SBEF= SBEC+ SECF= SBEC+ SADE，所以，SABE= SBEC+ SADE，因为，SABE+ SBEC+ SADE= S四边形ABCD，所以，2 SABE= S四边形ABCD，所以，SABE= S四边形ABCD。5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”例5、如图8所示，是O的弦，点是AB的中点，若，则O的半径为 cm分析：由点C是AB 的中点，联想到圆的垂径定理，知道OCAB，这样在直角三角形AOC中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。解：因为，点C是AB 的中点，所以，OCAB，因为，AB=8,所以，AC=4,在直角三角形AOC中，AC=4,OC=3,所以，OA=5(cm)，因此，圆的半径是5cm。6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等例6、如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于：A、 B、 C、 D、分析：如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。解：如图10所示，连接BG，因为，E是线段AB的中点，所以，SAEG= SBEG=x， SBGF= SGCF=y，设AB=2a，BC=2b，所以，矩