数学毕业论文.doc

摘要：本文介绍的是数学思维方法论在我国的发展和我国学者所取得的成果。数学方法论在指导我们解题的作用以及数学方法论在教学中的重要的应用和作用。我们怎样根据实际采用合适的方法分析问题，解决问题，和对数学教学进行指导。数学方法论在数学解题中主要利用的是启发法，我将引用美国著名数学家，数学教育家波利亚的成果进行介绍。目前数学方法论至少在下述四种意义上被研究：数学发现逻辑；数学发明心理学；启发法和数学思维规律。关键词:数学方法论 解题 教学 Abstract: the paper introduces the mathematical thinking methodology in China is the development and achievements of Chinese scholars. Mathematics in solving our methodology guiding function of mathematics teaching methodology and the important applications in and function. How do we according to actual use appropriate methods to analyze and solve problems in mathematics teaching, and guide. In mathematics problem-solving in mathematics methodology is mainly use heuristics, I will quote us famous mathematician, mathematics educator BoLiYa results are introduced. At least in the following four mathematical methodology of the study found: mathematical logic, Mathematical invention psychology, Heuristics and mathematical thinkingkey : mathematics problem-solving teaching methodology引言：数学的抽象性和重要性，特别是它的严谨性，使得人们对它始终怀着敬畏之情。一个重大的发现可以解决一道重大的题目，在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现。解题是人类的本性我们可以把人类定义为解题的动物；他的生活充满了不可立即实现的目标。我们大部分的有意识的思维是与解题有关的；当我们并未沉溺于娱乐或白日梦时，我们的思想有着明确的目标。美国数学家，数学教育家波利亚指出：“解题是智力的特殊成就，智力是人类的天赋，正是绕过障碍，在眼前无捷径的情况下迂回的能力使聪明的人高出愚笨的人。”你要解答的题目可能很平常，但是如果它激起了你的好奇心，并使你的创造力发挥出来，而且你用你的方法解决了它，那么你就经历了那种紧张的状态，享受了发现的喜悦。在一个易受影响的年龄阶段，这样的经历可能培养出对智力思考的爱好，并对思想和性格留下终生的影响，因此一位数学老师就有着很大的机会，用一些激励的问题，和多种思维方法培养学生的数学思维。一:数学方法论1：数学方法论在中国的兴起 对数学方法论在我国的发展历程，可以毫不夸张的说著名数学家徐利治教授在这一过程中发挥了特别重要的作用。以下是徐利治教授所做的研究成果：（1） 数学抽象的方法与抽象度分析法。（2） 化归原则与关系映射反演方法。（3） 数学美与教学中的美学方法。（4） 数学抽象思维不完全性原则。（5） 算法化原则。2：具体说就数学思想方法共例举了十个方面的内容：（1） 数学思想方法的历史演进（2） 数学的思维方式与数学研究基本方法（3） 数学家的思想方法（4） 数学学派的思想方法（5） 数学的潜行态及显性态转化的机制（6） 数学与其他学科相互渗透的思想方法基础（7） 数学学科的特点（8） 数学内容的辨证性质（9） 数学理论产生发展的动力及其规律性（10） 数学的功能 数学方法论在我国的发展还表现在以下的事实：它作为一门实践性的学科现已渗透到了各级的数学教学活动中，并对教学活动产生了十分积极的影响。二:问题解决 就问题解决的现代研究而言，美国著名数学家，数学教育家波利亚数学启发法的研究无疑具有特别的重要性，因为波利亚在这方面的工作即可被看成问题解决现代研究的直接先驱，而且，也正是波利亚的工作为后者奠定了必要的基础。1：基本立场 就波利亚关于问题解决的研究而言，一个最为基本的立场就是对于问题解决重要性的突出强调。波利亚指出：“解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋，正是绕过障碍，在眼前无捷径的情况下迂回的能力使聪明的动物高出愚笨的动物，使人高出最聪明的动物，并使聪明的人高出愚笨的人。” 特殊地，在波利亚看来，这也就清楚的表明了数学教育应以发展学生解决问题的能力作为首要的目标。其次，波利亚认为，问题解决的研究应当集中在启发法上。波利亚指出：“指引人们解答所有可能的数学问题的放之四海皆准的发明创造规则并不存在”；但是我们仍然可以通过对于解题活动，特别是已有的成功实践的深入分析总结出一般性的思维方法或模式。2：怎样解题过程第一：你必须弄清问题。弄清问题： 未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数条件是否充分？或者是多余的？或者是矛盾的？第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用的上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了你能利用它你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与它有关的问题，你能想出一个更容易着手的有关问题。一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想去适于确定未知数的其他数据？如果需要的话你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包括在问题中的所有必要的概念？第三：实行你的计划 实现计划 ：实现你的求解计划，检验每一个步骤。你能否清楚的看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？第四：验算所得到的结果 回顾：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？ 就怎样解题表的学习和掌握而言，尽管表中所列出的各个问题和建议是按照“弄清问题”，“拟定计划”，“实现计划”，和“回顾”这样四个阶段循序安排的，但是，从启发法的角度看，这四者却不能被看成具有同样的重要性。 具体说，就如波利亚本人所指出的，在这四个阶段中“实现计划”是较容易的：“我们所需要的只是耐心”；其次“弄清问题”是成功解决问题的一个必要的前提；另外，与前两者不同，“回顾”应当说是最容易被忽视的一个环节；而“拟定计划”才是真正的关键所在，即是直接关系到了能否成功的引发相应的好念头。其次，波利亚指出表中所列举的问题和建议是按照其发生的可能型的大小排列的。特殊地，就“拟定计划”这一阶段而言，在总体上就是指如下的次序；第一，努力在已知数与未知数之间找出直接的联系；第二，如果找不出直接的联系，我们就不得不对原来的问题作出某些必要的变化或修改，也即不得不考虑相应的辅助问题3：找出直接的联系通过调动已有知识和经验直接获得如何求解目前的问题。但是困难就在于：通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关，我们怎样挑选出其中一个或几个确实有用的问题？建议把力量放在主要的共同之处上：看着未知数试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。所回忆起的知识和经验对于求目前的问题究竟有什么作用？借助以下实例我们或许可以更好理解上述的一切。例一：已知,和,不在同一个平面上，其中,且两者方向相同,证明： (图1-1) 解题思路的发现过程大致是这样的：A111-11-2 显然，任何熟悉平面几何的学生一定会想到以下的定理：如果两个三角形全等，则对应角相等。 然而决定性的因素在于：这里有一个与你现有问题有关，且早已解决的定理，你能不能利用它？特别是为了利用它，是否应当引入某些辅助元素？ 由于上述定理是关于三角形的，容易想到我们在此应连接和这样我们就得到了两个三角形，（图1-2）依据上面回忆的定理，只要能证明这两个三角形全等，我们就可以推出所要证明的结果。看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉定理，我们还往往会想到：如果一个三角形的三条边分别等于另一个三角形的三条边，那么这两个三角形全等。我们要利用这个定理要证明,如何证明？我们所知道的事实是：和平行且相等。这个你以前见过吗？显然是平行四边形对应边的特征。我们能不能引入辅助元素获得平行四边形（图1-3）1-3容易看出四边形也是平行四边形，有这个结论我们可以得到4：引进辅助问题 应当指明，上面的例子在严格的意义上已经超出了找出直接联系的范围，我们在其中已经引入了一个新的辅助问题，按照波利亚的划分，辅助问题的引进即可被看成区分两类不同的解题过程的一个重要标志。如果你不能解决提出的问题，可先解决一个于此有关的问题例2 ： 已知长方体的长a，宽b，高c，求它的对角线的长.我们容易求出对角线的长度是作为一种体验，我们可以考虑以下的问题：你是否利用了所有的已知数据？长，宽，高在我们的问题中起的作用是一样的，我们的问题对,c来说是对称的。最终得到的公式对,是对称的吗？我们的问题是一个立体几何问题：给定尺寸,求长方体的对角线。这个问题与平面几何中的以下问题相似：给定尺寸,求长方形的对角线。 如果高减小，并且最后等于0这时长方体成了长方形，在所得到的公式中=0，是否得到了长方形的对角线公式？如果高增加，则对角线也增加。你的公式是否表明了这点？如果长方体的三个量度按同一比例增加，则对角线也将按同一比例增加。在所得到的公式中，如果将，,分别代以3,3,3对角线是否也将增加3倍？ 容易看出，通过上述的检验，解题者不仅对向前已得到的结果更加深信，而且由于上述问题，公式的细节获得了新的意义，而且和不同的事实联系起来。这样公式就更容易记住了，知识也得到了巩固。为了更清楚地表明数学方法论与数学思维研究对于数学教学的特殊重要性，我将以若干教学案例作为全文的结束。三：数学方法论与数学教学 就数学方法论对于数学教学的积极意义而言，一个最为明显的事实就在于；以数学方法论为指导去进行教学有助于我们将数学课讲活，讲懂，讲深所谓讲活，既是指教师应通过自己的教学活动向学生展现活生生的数学研究工作；讲懂是指教师应当帮助学生真正理解有关的数学内容；讲深是指教师在教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生领会内在的思想方法。案例一：三角形内角平分线的性质正如大家所熟悉的，三角形内角平分线的性质（三角形中一个角的平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例）的证明应当说并不困难（图1-4），但从教学的角度看，我们有显然应当考虑这样的问题：首先，这个结果好似如何发现的？其次，我们又如何才能使得定理的证明对于学生来说成为十分自然的，因为，不可否认的是，这一辅助线的添加在此很巧妙。大概也正是基于前一种的考虑，在名师授课录初中版，第377-385页，（上海教育出版社，1992年）中顾老师和吴老师就采取了让学生主动进行探索的作法。具体说，在对平行线分线段成比例这一定理进行回忆以后，他们首先提出了这样的问题：“除了平行线以外，是不是还有其他的几何图形能够获得成比例的线段？”进而，“考虑到初中学生的认识特点”，他们又采取了这样的具体作法，首先指明“等腰三角形顶角的平分线可以分线段与已给的两线段成比例”（图1-5, , 从而就有）然后让学生进一步探索：“对一般三角形来说，它的内角平分线是否也具有同样的性质？”例如，老师提出：“第一：请大家在等腰三角形的基础上，延长一条边，使和满足一定的比值，1-41-5能不能获得成比例线段？第二：在这个例子的启发下，猜想一下一般三角形内角平分线会有什么性质？” 让学生通过主动的探索去发现相应的定理当然很好，但是，就以上的实际作法而言，我认为，这实际很难说是真正的发现，与上述的作法不同，我以为，我们在此或许可以采取这样的方法：由于我们刚刚引进了三角形的角平分线，高和中线，因此，这就是一个十分自然的问题：这三条线各具有什么样的性质？ 相信学生立即可以发现以下的结论： 结论一：由角平分线与对边的交点向其他两条边引垂线（图1-6），所得的两条线段DE=DF 结论二：中线将三角形分成等积的两部分（图1-7）Q1-61-7 进而由结论二出发，我们又可提出这样的问题 如何由顶点出发引一条线段AK将原来的三角形分成具有指定比值的两个小三角形？ 如果学生确实已经理解了上述的结论二，这时自然也就容易找出以下的作法（图18）这时我们又可提出如下的问题：如果指定的比值即为，我们又应如何去作？1-81-9由于学生刚刚解决了前一个问题，这时往往也就会采取类似的作法（图19）；但是由于和都是现成的线段，因此，教师进一步提出以下的问题也就十分自然了：我们能否对先前的作法加以改进，也即充分利用现有的图形？2-1当然我们在此所希望的即是出现如下的图形（21）其中,最后在进行了多次的实践之后，如果同学尚未发现所作的就是原来的顶角的平分线，这时教师就不妨有意识地引导学生对图中的各个角之间的关系进行分析。如：我们已经知道和是两条平行线，而平行线有很多性质，我们能否依据这些性质对图形中各个角的相互关系做出判断？当然，在学生发现就是角的平分线以后，我们又应促使他们进一步去考虑：这一事实是不是偶然的？再则，这一事实是否有利我们去解决原有问题。至此主要结论得出。最后值得指出的是，遵循先前的思路，我们还可以给出主要结论的又一证明，其特点是完全不用添加辅助线的。具体说，为了证明我们可以促使学生先考虑的几何意义。由先前的面积的分割，学生会想到就等于三角形与三角形的面积比。这样问题也就转化了。即证：.然而这一证明已不难了，因为在此只需将和分别看成两个三角形的底边，由先前的结论我们已经知道这两个三角形的高是相等的。案例二：点到直线的距离名师授课录高中版，1997年，第三期中曾老师是这样设计的（383-388）：事实上曾老师所设计的这份教案在很大程度上是数学方法论的一个自觉应用，设计者希望能通过这一实例，使学生了解运用特殊到一般，一般到特殊的数学思想方法，使问题得到解决的全过程，以启发思维培养年能力。L具体说，尽管学生在此一般都能回答：过点作直线的垂线，垂足为点，就是点到直线的距离。（图1-8）教师对于这一问题的解决方法只是作了简单的肯定，就立即把学生的注意力引导到了以下的问题：求点到直线的距离，是不是一定要从点来求那？如果点的坐标数据很复杂，有没有可能把它化简，换成另一个点？进而通过提出以下的问题：“请同学们想一想：两条平行线之间的距离都相等吗？怎么求？”教师又引出了这样的结论：如果过点作直线,由于直线上任意一点到直线的距离都等于 到直线的距离，（图1-9）因此，点到直线的距离就可以归结为平行线之间的距离，这也就是说，“我们已把求点到直线的距离转化成了求两平行线之间的距离。”1-91-8xyyyp00然后，为了解决怎么求两条平行线之间距离的问题，教师提出：“还是要取点，归结为点到直线的距离，只是点可以自由的选取。”通过分别列举出平面上的点（记为）与两条平行线之间各种可能的位置关系,即点在上; 在上；在和之间；在与的外侧，教师得出了这样的结论：“既然平面上任意取一点，都能算出两平行线与之间的距离，那么取那一点最好？当然是原点。这样，我们最终将问题归结为如何求原点到已知直线的距离？” 作为对于最后这一问题的具体解决，教案中引入了直线的法线式方程，并通过教会学生如何将直线方程的一般式化为法线式，教师最终指名我们可以利用法线式求得点到直线的距离。 由于上述的方法在很大程度上不同于现行的平面几何教材，因此我认为，这实际上也就反应出曾老师对现行的教材不是很满意。但是现在的问题仍然在于新的处理方法是否使相关的内容对学生而言真正成为“可以理解的”，特别是，这又是否真正体现了“化难为易”？这实际上是绕了个很大的圈又回到了原处。曾老师之所以作出以上的处理主要是为了通过分别例举出平面上的点与两条平行线之间各种可能的位置关系就可引出这样的结论：我们在此可以首先求原点到直线的距离。但是后一问题显然可以被直接看成所要解决的点到直线的距离这一一般性问题的一个特例，从而，我们在此也就完全可以直接指明一个事实，并对有关的论述从新组织如下：我们将注意力集中于为什么应当首先考虑上述的特殊情况，而又不需作出任何的特别努力？相信学生会接受以下的事实：过点作直线，如果分别求的了原点到直线与的距离，就立即可以求出点到的距离。 综上可见，由于教案中所设立的方法事实上是将一个十分自然的思维过程变成了一个难以理解的苦果，因此，就数学方法论在教学中的应用而言，我们就不仅应当明确强调“化难为易”而且也应注意防止因对方法轮的不正确应用而造成相反的结果。已知点和直