闭区间上连续函数有最大值最小值的多种证明方法.docx

第20 卷第4期Vd 20 No4三明 高等专 科学校学 报J OURNAL OF SANMI NGCoLUGE 12月3002 c eD多种证 明方法 杜素勤)400563明三建福，系学数校学科专等高明三 (调“单、理套定问区闭理、定盖覆有限、理鼹定 a聪舡 ei、w理定性有界的中分析学数用：利要摘有界数列有极限”定理、上下确界定义来证明闭区间上的连续函数能取到最大、最小值。中图分类号：0174文献标识码：值大最：词键关30一“00一40 )3002 (34311761：号编章文连 间上的 ，而闭区 最小值 大值或 定有最 ，就不一 间连续 在开区 续或只 区间不连 数在闭 若函。 明证行进 它对面方 多从将 面下，证 论的格 严以加须 必却上学 数是但 ，的显明 很是最大( 小)值定理：在闭区间 n，6 上的连续函数一定有最大值和最小值。下面 只证 明在 闭区间n，6上 的连续 函数 ，(z )有最 大值 ，同理 可证 ，(x )有最 小值 。： )义定 界确上 及以 理定性 界有用 利 (a 法证Jx工) (，p有。uS设 界 6，口口，)工l 工( 集数，界定知理 性 有由西 =M，用反证法：假设对于任意一个xn，6，有，(x)o，于是丽粕是在口，6上有 1有1o， 钿，口 个M意任于对，R这与是数集，(x) l工口，6的上确界相矛盾。于是存在xo口，6，使，( 工o)=M，即函。值大最 到取可上 6，口 在 )工 (，数： )义定界确上及以理定 ss a r tS re iWe用利 (2法证由有界性定理， (x)在口，6有界，因此有上确界。由上确界定义，对e=吉(n=l，2，3，收稿日期：200310 09。讲师系学数学校科专等明高三，人肇庆东广，女)一6519勤(素杜：简介者作2003年的值小最值大最有数函续连上间区闭限极；界确上；续连；列序间区； A1 都 砑 6 c或，(zx) 一一 言：理知定SSa嫩ieew。由卢=) (，mil即卢， )(，一使卢 6，口存在这样，)八) ，( 而一1) 。显然，对任何xl I I ，都有I 矗( 肛j v) 使得，( “) ，( x1) 。由( 1) 、( 2)知，这些区间的左端点组成单调增加数列。且这个数列有界，故它收敛于p，显然pI l 。若存在口 j ，使， ( p) ，( 口) ，则 由，在J 1的连续性 可知，存在P的一个邻域U( p) ，使得对一切xU( P) 有，( 工) ，( 口) 。由于J 矗的长度趋于0，所以存在自然数m，使U( P) 3k。由这个关系式推知，对于一切xJ 詹有，( 工) 0，存 在艿O，使得 当 口， 6 且j ，+占“j ，时，有 eI ，( j ，) 一八口) I 。由y的定义，存在z 口，6 ，使得 yz 口口，则f ( y) f ( x) f ( u) ，故y肘。( 3) 对任一0，存在60，使得当z n，6 且占l z c I 时，有e I f ( z ) 一f ( c) I 。假定cH口，由c的定义，存在zM使czH且6l zcI ， 因此f ( c) +e “c) +f ( z ) 一f ( c) =f ( z ) f ( u)可见，( c) ，( 口) ，从而cM。由此 可知yc且，( 亡) ，( y) ，( x) ， 于是对 于一切x 口 ，6 有 ，( c) ，( x) 【31，即 ，( 工) 在 口，6 存在极大值，( c) 。参考文献： 1 二十省市教育学院数学分析【M】北京：清华大学出版社，1993：142 2】 陈传璋， 金福临。 朱学炎， 等数学 分析【M】 北京： 高等教育 出版社， 1983：112 3 】汪林数学分析问题研究与评注【M) 北京：科学出版社，1995：37【责任 编辑：叶 普】Mul t i pl e met hodst o Pr oVe Cont i nuous Func t i onon aCl 稍e dI nt er val Cont a i ni ngaMaxi mum and Mi ni mum Val ue+D( 及加以绷眦 矿M砌咖口啦，&nml 馏C弛够，&竹砸增365j D04，ai 敞)a ist k卿舯，Wd口st ra汹t h习捷m，f i Il ipl D删By B( 删edU