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阶梯函数和采样控制系统的数学模型 大连铁道学院电气工程系 1 1 6 0 2 2 张汉祥 提要 本文从采样控制系统的物理实际出发 引 入阶梯函数概念 避开抽象的采样函数和理想 采样器 定义了阶梯函数Z变换 连续函数Z变换以及脉动传递函数 在此基础上建立采样控制系统 结构图 比用通常方法简单 清晰 主题词 采样控制系统 阶梯函数Z变换脉动传递函数 一 引 言 器的输入与输出以及 A D 转换 器的输出 每 隔时问 就同时产生一次阶跃 我们称这类信 y t R c 圈 1 采样控制系统 Z变换和脉冲传递函数是研究采样控制系 统的重要工具 不过 现有资料中 在引出上 述概念时 总要引入采样函数和理想采样器 这不仅抽象 而且在实际应用中容 易造 成 错 误 为解决上述问题 应当对采样控制系统各 环节输入输出信号的特点作些分析 图1 C a 是 采样控制系统的组成原理图 数字控制器的控 制运算时间 D A 及A D的转换时问都远小于 控制周期 可以忽略不计 于是D A转换 3 4 控制系统设计方法 见图2 t 号为阶梯函 数 并 用下标 表示其阶 梯宽度 另外 用 下标j 表示相应的 信号为数字量 以 便与模 拟量 相 区 别 总之 采样控 制系统与连续系统 的主要区别是其中 有些信号是阶梯函 数 为了对采样控 制系统进行数学描 述 应当对这类阶 梯函数作些研究 阶梯函数及 其 Z变换 定义1 单位 脉动函数 t T K 0或f T 1 0 2 T 4 T 6 T 囝 2 单佗脉动函数 罔 5 阶梯函数 维普资讯 亡 定义2 阶梯函数 f f KT 5 r f KT 2 0 见 图 3 作阶梯函数 r f 的拉氏变换 f F f s l f 口 d t 5 r t 一 s 半 定义3 阶梯函数 r f 的Z 变换 r F 垮 l S l Z f KT Z 3 2 0 显然 阶梯函数的 变换与通常定义的Z 变换具有相同的数学形式 因而也具有相 同的数学性质 三 差分方程与脉冲传递函数 阶梯函数之间的关系 在零初始条件下 对式 4 两边作Z变换 根据Z变换的性质可得 UD Z Z UD Z d ED Z d l Z ED Z d 2 Z ED Z 或 Up Z 警 D D 6 这里的DD Z 称为执行式 4 差分运算的数 字 控制器或差分运算环节的脉冲传递函数或Z 传 递函数 定义4 差分运算环节的脉冲传递函数 或Z 传递函数 等于该环节输出阶梯函数的Z 变换与输入阶梯函数的Z 变换之比 也等于这 两个阶梯函数的拉氏变换之比并令其 中 的口 Z 所得的结果 见图4 四 连续函数的Z变换 定义5 连续函数 f 经过采集保持器 S H T之后变成阶梯函数 r f 这个过程称为 数字控制器 见图1 a 执行的差分运 算 例如 u p K D K 一1 TI d 0 口 D l d 1 口 D K 一1 T I d 2 口 D K 一2 4 本来是描述两个离散变量 o 和 口 o K 之间的关系 但因为对于数字控制器 的 输 入 e r o t 和输出u r n t 依定义 2 分别有 r D f 口 D K f K 4 1 T f D f D T f K 1 T 所以式 4 也可以改写成 f D f f D f 一 d o 口 f D f d l 口 f D f 一 d 2 口 f D f 一2 f K 1 T 5 此式描述两个阶梯函数 u r n t 和e r o t 之间的 关系 为简单起见 式 5 仍可用式 4 代替 于是在上述意义下 差分方程也可以表示两个 图 4 差分运算环节 a 及脉动传递函数 b 连续函数阶梯化 见图5 定义6 连续函数 f 阶梯化得阶 梯 函 数 f 称 f 的Z变换为 f 的Z 变换 并记作 f 2 E F S 3 f f F Z 7 式中 F S f 根据 f 或F S 的表达式 可以查表求 F Z 围 5 连续函数阶梯化 与通常的采样保持器不同 这里所谓的 采样保 持器 其保持时问等于控制周期T 控制系统设计方法 8 6 一 I J lI 行 维普资讯 砬当 指出 脉 冲函 数既 不 是 骱梯函 数 也 故有 不 是 连 续 函 数 它 设 有 本 文 定 义 的 z 变 换 G G s 孚 五 连续环节的脉动传递函数 定义7 连续环节 G S 设其输入为 阶 梯函数 其输出 为 连 续 函数 经 S H T变成阶梯函数 f 则称 务 为 G S 对应的脉动传递函数或Z传递函数 见图 6 U Y f t y r t Yf z J 图 6 连续环节的脉动传递函数 根据连续环节的传递函数 G S 或者 相 应的微分方程 求它对应的脉动传递函数 或者 相应的差分方程 这个过程称为连续环节离散 化 其方法如下 1 单位脉动响应法 Z 变换法 依定义 连续环节 G S 对应的脉动传递 函数为 G z y K T Z 一 x u KT Z 8 设 蜥 f 6 f 见图 2 则 U Z 1 上式 变成 G z l z y K T Z 五 r f y S 9 这表明 连续环节 G 对 应的脉动传递函数 G Z 等于 G S 的脉动响应 函数 以5 r t 作 输入时的输出 f 的 Z变 换 式 9 中的 为 l G s 6 f G 一 三 7 8 6 控制系统设计方法 1 1 o 已知 G 根据上式 可用 查 表 法求 出G Z 2 状态传移法 从略 六 采样控制系统的数学模型 以上述为基础 可以建立采样控制系统的 数学模型 结构图 回到图1 A I D转 换 器 的工作特点决定了 在它的输入端 加 入 一 个 S H T 不会影响它的输出 而且对整个系统的 工作也毫无影响 因此 图1 a 可以等 值 变 换成图 1 b 忽略A D转换的量化误差 把A D转换 器变比K n 和 D 转换器变比 D 与数 字 控制器的Z传递函数 Do Z 相乘 得关 于 模 拟量阶梯函数 e r f 和 r f 之间的Z传递函数 D Z 于是图 b 可简单地表示成 图 1 c 这就是采样控制系统的数学模型 结构图 为了对比 图7给出了用通常方法表示的 采样控制系统结构图 其中图7 a 无 法表 示 G S 对应的Z传递函数以及闭环Z 传递函数 图7 b 虽然解决了上述问题 但容易 引起 误 解 环节 D Z 和 G 不是直接 相连 而 是经过一个采样开关 当然 实际上D 所 跨范围应如虚线箭头所示 可是一般又不作这 样的标准 本文给出的表示方法 图1 a 不 存 在这些问题 可以说它简单 严谨 清晰 七 连续控制器的数字模拟 阶梯函数 脉动传递函数等概念也适用于 连续控制器的数字模拟 图8 a 表示一 个 连 续系统 现在要用数字控制器 D Z 来 模 拟 连续控制器D 即把原来的连续系统改造 成采样控制系统 关键是求数字控制器的脉动 传递函数 Z 首先求D Z D Z K I D D Z D D 和 D 是 将 采 用 的A D 维普资讯 和D A转换器的变化 因为 D Z 的 输入和输出都是阶梯函数 故 D S 的 输入端和输出端都必须插入一个 S H T 于是图8 a 改造 成图8 b 进而等值 变换成图8 c 显然 J Z 就是 J 的离散化结果 其方法见本文五 求出 D Z 以后 选 择A D和D A 转 换 器 确定 和KD 便可求出 D z 1 1 A d D AD 以上所述的求连续控制器数字模拟 的方法实际上就是单位脉动响应法或称 Z变换法 此外还有根匹配法 双线性 变换法 状态转移法等等 用这些方 法求得的 D Z 将不再与图8 b 中的 J Z 完全相等 而仅仅近似相等 为了区别 称这种J Z 为 J 的 离散等效 八 应用举倒 例 1 某 采样控制系统 其连续 对象的传递函数为 一 一 1 4BS G S 1 2 A D D A转换器变化分别为 1 圈 7 采样控制系统结构图 通常表示方法 K A D 警 V 1 V 1 3 采样周期T 1秒 期望闭环响应为时间常数 2 秒的一阶惯性环节并带有f 的纯 滞 后 试设计 数字 控制器 D D Z 解 参看图 1 将式 1 2 代入式 1 0 并考 虑 T 1 秒 查Z变换表得 G Z 0 1 4 9 8 Z一 1 0 7 3 3 一 1 0 7 4 1 3 Z一 根据大林算法和题设条件 期望闭环Z传 递函数 c 式中 a e x p 一 T T e x p 一1 2 0 6 0 6 5 于是有 y t 0 圈 8 连续控制器的数学模拟 D 一2 6 3 5 6 1 0 7 4 1 8 Z 一 丽 j 1 0 3 9 3 5 Z一 为消除振铃现象 将分母中的 1 0 7 8 8 Z 一 改成 1 7 8 8 得 D c 杀 c 1 4 将式 1 3 和 1 4 代入式 1 1 得 例2 连续系统P I 调节器传递函数为 K 1 南 1 6 控制 系统设计方法 3 7 维普资讯 试求模拟 D 的数字控制器D Z 假 设 D KD 1 解 参看图8 类似式 1 0 有 D Z 1 一 将式 1 6 代入上式 查Z变换表并整理得 D z K 1 依题设 最后得 D z D z K T Z 1 f 1 一 一 J 1 T Z 1 7 九 结 语 1 引入阶梯函数 可以把采样控制系统中 某一环节的差分方程看作是该环节输出阶梯函 数与输入阶梯函数之间关系的数学描述 2 从阶梯函数的拉氏变换引出Z变 换概 念 并把连续函数阶梯化得到的阶梯函数的Z 变换定义为该连续函数的Z变换 脉冲函数既 不是阶梯函数 也不是连续函数 因此它没有 本文所定义的Z变换 除此之外 本文定义的 Z变换与通常的Z 变换具有相同的数学形式和 数学性质 8 环节的脉动传递函数等于在零初始条 件下 环节输出阶梯函数的Z变换与输入阶梯 函数的Z变换之比 它与通常定义的Z传递函 数具有类似的形式 故也可称 之 为Z传递 函 数 4 连续环节对应的脉动传递函数等于 该 环节的脉动响应函数的Z变换 5 采样控制系统中的 4 D转换器和 D 转换器都隐含采样保持器S H T的动能 因 此 总可以用阶梯函数作为分界 对该系统进 行环节划分 从而用脉动传递函数来描述该系 统 在采样时刻的输入输出之间的关系 与通 常方法相比 这种方法避开了抽象的理想采样 开关 并且使得采样控制系统的结构图简单 严谨 清晰 6 阶梯函数 脉动传递函数等概念 也可 以用于其它方面 例如连续控制器的数字模拟 等 由于本文给出的Z变换 Z传递函数与用 传统方法给出的具有相同的数学形式和数学性 质 分析和设计采样控制系统的各种传统方法 仍然适用 参考文献 1 绪方胜彦 日 著 卢伯英等译 现代控制工 程 科学出版社 1 9 7 6 2 2杨自厚 自动控制原理 冶金工业出版社 l 9 8 0 E 3 刘植桢等 计算机控制 清华大学出版社 1 9 8 l E 4 3熊光楞 控制系统数字仿真 清华大学出 版社 1 9 8 2 5 3 C HARL E S L P HI L I P S等 D i g i t a l C o n t r o l S y s t e m An a l y s i s a n d De s i g n P r e n t i c e Ha l l I n c En g l e wo o d C l i f f s N J 0 7 6 3 2 1 9 8 4 E 6 3谢剑英 微型计算机控制技术 国防工业出 版社 1 9 8 5 大功率交一交变频交流调速及矢量控制 新 书 征 订 大功率交一交变频交流调速及矢量控制 是电气自动化新技术丛书的第一 册 1 4 4 于字 由机械 电子部天 津电气传动设计研究所马小亮高级工程师编著 机械工业出版社出版 本书作者多年从事这方面的开发 研制工作 参予了西门子公司为宝钢2 0 5 0 轧机提供的9 0 O O k W 交一交变 频主传动的设计 出厂试验和现场调试的全过程 并主持了两套国产装置的开发 多次应邀举办专题技术讲座 本书是基于作者多年来的工作体会 详细地介绍了大功率 交一 交变频调速及矢量控制技术的原理 主电 路和控 制电路 以及它们的设计计算方法等 本书第一章概述交一交变频调速的特点 应用范围 使用的电机及发展历史 第二至三 章介绍交一交变频 器的原理 对电网的影响 主电路设计及控制方法 第四至七章介绍矢量控制原理 同步电动机和异步电动机 的 矢量控制系统及调节器计算方法 本书可作为高等院校电气自 动化类的教师 研究生 高年级学生以及该领