第2章 离散时间信号与离散时间系统.pdf

1 数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing 第第2章章 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统 徐元欣 xuyx 浙江大学信息与电子工程学系 2 模拟信号 离散时间信号 数字信号 等效于 调制信号调制脉冲载波p t 理想抽样 闭合时间无穷短 0 每隔T秒闭合一次 实际抽样 闭合时间 t a x t a x t t aa x信 号 抽 样 后 x的 频 谱 t x t aa x能 否 从中 恢 复 t a x 2 1 连续连续时间信号的抽样与时间信号的抽样与内插内插 抽样 量化 1 2 编码 3 1 1 时域时域 0 t t T p t t x t t x t x T m aaTa m a m tm T xtm T m Ttm T tm T 0 tm T 一 理想抽样一 理想抽样 4 2 2 频域频域 时域相乘 频域卷积 j C T F T j C T F T C T F T j C T F T t aa TT aa Xxt t Xx 连 续 时 间 的 傅 里 叶 变 换 j C T F T t j 2 12 2 jt aaa jm T T m sss kk sss Xxxt ed t e kk T ff TT 5 j C T F T t 12 j aa a k Xx k X TT 6 连续时间信号经理想抽样后 频谱将以 为间隔而 重复进行周期延拓周期延拓 2 s T 1 H H j a X H H j a X s s 2 s 2 s 1 H H j a X s s 2 sH 2 sH 1 T sH 2 s HsHH 只 要即 可用LPF过滤 aa xtxt恢 复 出 2 sH 只 要 出 现 混 叠 7 m a xm a x 2 2 22 2 2 s sh ss s s ff N y q u is t 是而 不 是 为 了 避 免 混 叠 抽 样 前 可 加 一 个 截 止 频 率防 混 书 上 p 1 叠 低 通 滤 波 抽 样 定 理 为的 滤 除 高 于 3 折 叠 频 p 器 的 1 5 有 错 率 频 率 分 量 8 1 1 频域频域 理想抽样h t a x t j a X a x t j a X H j aa y tx t j a X 1 j j 2 Y j j j j s aa aaa aa XX T XHX ytxt 在中 二 抽样二 抽样信号的恢复信号的恢复 内插内插 9 2 2 时域时域 s in s in s in aa a m t t T htc T t T ytxtht t m T T xm T t m T T 10 只要抽样频率高于信号最高频率两倍 则整个连续信号可只要抽样频率高于信号最高频率两倍 则整个连续信号可 用它的抽样值完全用它的抽样值完全代表代表 a xt 11 数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing Ch2 2 离散时间信号离散时间信号 序列序列 徐元欣 xuyx 浙江大学信息与电子工程学系 12 1 移位移位 x n m 0 x n m x n 依次右移m点 x n m x n 依次左移m点 Note m 0 则相反 2 翻褶翻褶 沿Y轴对称 x n x n 3 和和 z n x n y n 对应相同点 序号 相加 4 积积 z n x n y n 对应相同点 序号 相乘 一 序列的运算一 序列的运算 13 5 累加累加 6 差差分分 7 序列的时间尺度 比例 变换序列的时间尺度 比例 变换 抽取 Decimation x mn x n 在时间轴上的抽样间隔从T mT 插值 Interpolation x 在时间轴上的抽样间隔从T T m 0 n k 0nn0 ynxk ynynxnn 即在及 以 前 所 有 点 之 和 n 1 1 x nx nx n xxnxn xnxn 前 向 差 分 1 后 向 差 分 有 n m Ch7将讲 14 8 卷积和卷积和 翻褶 移位 相乘 相加 卷积和与两序列运算次序无关 n m m m yxnhn xmhn m mnm ynxnmhm hmxnm hnxn 令 15 1 单位抽样序列 单位冲激序列 单位抽样序列 单位冲激序列 2 单位阶跃序列单位阶跃序列 n 0 0 0 1 n n n un 0 0 0 1 n n nu 1 n k nununun unk 二二 几种常用序列 几种常用序列 16 3 矩形矩形序列序列 4 实指数序列实指数序列 1 01 0 N nN Rn n ununN 其 他 1 1 a a 序 列 收 敛 序 列 发 散 17 5 复指数复指数序列序列 6 正弦正弦序列序列 0 0 0 e e jn jn xn xn 复 正 弦 的 数 字 域 频 率 0 s in xnAn 0 A 数 字 域 幅 度 频 率 初 始 相 位 18 1 若对所有n存在一个最小最小的正整数N 满足 则称序列x n 是周期性序列 周期为N 2 讨论正弦序列的周期性 xnxnNn 0 s in xnAn 000 s in s in xnNAnNAnN A 为 常 数 xnNxnxnN 要 使 即为 周 期 为的 周 期 序 列 0 0 2 2NkNkNk kN 则 要 求 即 为 整 数 且的 取 值 保 证是 最 小 的 正 整 数 三三 序列 序列的的周期性周期性 19 0 n m xnxmnm xnmn xmnm o th e r m n 四 用来 称 为 单 表 示 任 意 序 列 位 抽 样 序 列 2 lim n N Exn E E P N 能 五 量 信 号 平 序 列 的 能 率 量 均 功 20 数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing Ch2 3 离散时间系统离散时间系统的基本概念的基本概念 徐元欣 xuyx 浙江大学信息与电子工程学系 21 xnyn T T ynTxn xnyn 也 可 表 示 为 或 输入序列 输出序列 本书研究的是 线性移不变 的离散时间系统 22 满足叠加原理的系统 N个信号加权和输入 输出N个对应响应的同样加权和 T 11 i1 2 NN T iiii ii T ii a xna yn xnynN 其 中 一 线性移不变系统一 线性移不变系统 1 1 线性系统线性系统 23 系统的响应与激励加于系统的时刻无关 系统的参数不随时 间而变化 输入移位m 输出也移位m 对应幅值不变 注 要证明一个系统不是移不变的 找一个反例来证明 如果系统有一个移变的增益 则一定是移变的 n n m nm nm xyxy 若有 2 2 移不变系统移不变系统 时不变系统 非移变系统 时不变系统 非移变系统 24 同时具有线性和移不变性的离散时间系统 简称LSI系统 Linear Shift Invariant 也称LTI系统 Linear Time Invariant 本书主要研究LSI系统 除申明外 3 3 线性移不变系统线性移不变系统 25 n n T h 二二 LSI系统的单位抽样响应和卷积和系统的单位抽样响应和卷积和 26 1 交换律交换律 卷积和与两序列次序无关 即 n n n n n xhhxy 说明 h n x n x n y n 等价于h n y n LSI系统 三 三 LSI系统系统的性质的性质 27 h1 n x n h2 n y n h n h1 n h2 n x n y n h2 n x n h1 n y n 1212 21 12 xnhnhnxnhnhn xn xnhnhn hnhn LSI系统级联后的单位抽样响应与级联次序无关 2 结合律结合律 可以证明卷积和运算服从结合律 即 28 3 分配律分配律 卷积和满足 两个并联的LSI系统等效于单位抽样响应为两个能并的LSI的 单位抽样响应之和的系统 h1 n x n y n h2 n h1 n h2 n x n y n 1212 xnhnxnhnxnhnhn 等效于 29 1 因果系统因果系统 系统某时刻的输出只取决于此时刻及之前的 输入 即 0 012 0120 n n n n nnn nnxx nnyyn 对 于 因 书 p 果 系 统 有 若 则 有 非 因 果 系 统 不 实 际 2 7 有 误 的 系 统 四 四 因果系统因果系统 0 0 n n nn yx 只 取 决 于 30 2 LSI系统是因果系统的充要条件系统是因果系统的充要条件就是 h n 0 n 0 将h n 0 n 0称为因果因果序列 序列 也就是因果系统的单位抽样响应h n 是因果序列 在数字系统实际实现中 常用具有很大延时的因果系统去逼近非因果系统 比如理 想低通LPF Ch5将讲 31 稳定系统 有界输入产生有界输出 BIBO 即 说明 要证明一个系统不稳定 只需找一个有界输入能得到 一个无界输出的特例就可 要证明一个系统是稳定的 必须 利用所有有界输入下都能产生有界输出的办法来证明 MP 若 x n 则 y n L S I 系 统 是 稳 定 系 统 的 充充 要要 条条 件件 n hnPhn 即绝 对 可 和 五 五 稳定系统稳定系统 32 单位抽样响应h n 是因果的 是绝对可和 即 n n n n n hhu h 六 六 因果稳定的因果稳定的LSI系统系统 33 数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing Ch2 4 离散时间系统的差分方程及离散时间系统的差分方程及 流图流图 徐元欣 xuyx 浙江大学信息与电子工程学系 34 连续时间连续时间LTI的输入 出关系常用常系数线性微分方程微分方程表示 离散时间离散时间LSI的输入输入 出关系常用常常系数线性系数线性差分方程差分方程 表示 常常系数 系数 系数 为常数 线性 线性 y n k x n k 都只有一次幂且无相乘项 阶数 阶数 1 当有一项ak k 0 存在 则为y n 的序号最高值与最低值之差 即系统为IIR 2 否则为x n 的序号最高值与最低值之差 即系统为FIR 一 离散时间系统的差分方程一 离散时间系统的差分方程 1 1 常系数线性差分方程常系数线性差分方程 n k 0 0 35 1 序列域求解法 迭代法 简单 但只得到数值解 不易得闭合形式 卷积和计算法 用于零状态解 即系统起始状态为0的松弛系统 2 变换域求解法 即Z变换法 相似于连续时间系统的拉普拉斯变换 简单有效 Ch2 7将讲述 2 2 求解差分方程求解差分方程 36 在本书中 数字滤波器都是松弛系统松弛系统 起始状态为0 x n 可用与h n 的卷积和来求取y n 差分方程在给定输入和边界条件 起始状态 边界条件 起始状态 下 通过迭代迭代可 求得系统的输出响应 3 3 用迭代法求解差分方程用迭代法求解差分方程 求求h n n h n y n x n 求迭代 37 一个常系数线性差分方程 只有边界条件边界条件选得合适时 才相 当于一个LSI系统 在以后的讨论中 都假设常系数线性差分方程就代表常系数线性差分方程就代表LSI系统系统 且多数代表可实现的因果系统 边界条件 38 二 离散时间系统的信号流图表示二 离散时间系统的信号流图表示 10 NM km km ynaynkbxnm 实现数字滤波器需几种运算单元 加法器 单位延时器 常数乘法器 Z 1 Z 1 a a 方框图法 信号流图法 39 转置定理 转置定理 将信号流图全部支路的方向反向方向反向 且保持全部传输增益不变 并将输入 输出节点互换 系统只有一个输入 出节点 则 转换后系统与原系统等价转换后系统与原系统等价 y n 0 b 1 a 1 Z 1 Z x n 2 a x n y n 0 b 1 a 2 a 1 Z 1 Z 40 数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing Ch2 5 离散时间信号的傅里叶变换离散时间信号的傅里叶变换 徐元欣 xuyx 浙江大学信息与电子工程学系 41 对于非周期序列x n 的离散时间傅里叶变换 1 1 2 jjn n jjjn D T F TXnXexne D T F TXexnXeed 一 离散时间信号的傅里叶变换一 离散时间信号的傅里叶变换 DTFT 或称为序列的傅里叶变换 简称离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 DTFT Discrete time Fourier Transform 周期序列采用离散时间傅里叶级数 DFS 变换 见Ch3 2 42 X 存在且连续 即 绝对可和 备注备注 H 存在且连续 或H Z 的ROC包括单位圆 LSI稳定 n xn LSI的h n 满足绝对可和 43 共轭对称序列共轭对称序列 n n 若 n 为实序列 称为偶对称序列 共轭反对称序列共轭反对称序列 n n 若 n 为实序列 称为奇对称序列 x n x n n n 其中 n 2 n 2 同样同样 X 其中 X X 2 X X 2 二 二 DTFTDTFT的主要性质的主要性质 任何序列可表示成一个共轭对称序列与一个共轭反对称序列之和 共轭对称分量 共轭反对称分量 44 性质12 Re x n 性质13 jIm x n 性质14 n Re X 性质15 n jIm X DTFT DTFT DTFT DTFT 45 性质16 若x n 为实序列 则X 即X 满足共轭对称性 Re X Re X 偶函数 Im X Im X 奇函数 其它自学其它自学 46 数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing Ch2 6 Z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域 徐元欣 xuyx 浙江大学信息与电子工程学系 47 使Z变换收敛的所有Z值的集合就是收敛域 ROC Region of Convergence 按级数理论 级数收敛 绝对可和 n Z n xnXzxnz 一 一 Z变换的定义变换的定义 幂级数形式 二二 Z变换的收敛域变换的收敛域 n n xnz 不同形式的序列 ROC的形式不同 可能 48 12 0 0 nnn xn o th e r 1 2 12 0 0 0 0 0 0 0 nz nz nnz o th e rz 2 1 n nn nnn Xzxnzxnz X z 有限项之和 只要每一项有界即可收敛 即要求 1 2 又因 x n 有界 就要求 因此ROC 至少包含0 Z 如下 1 1 有限长序列有限长序列 49 有限长序列的Z变换 0 Z 负幂数 由Abel定理 Z ROC至少为 Z 1 0 则z 除外 esp 因果序列 x n 0 n 0 ROC Z 包括包括z 11 1 0 nnn nnnnn Xzxnzxnzxnz 1 0 xnnn 2 2 右边序列右边序列 50 由Abel定理 0 Z 有限长序列 0 Z Re Im X R esp 若 2 0 则 ROC为0 Z ROC至少为0 Z 0 z 0除外 22 0 1 nn nnn nnn Xzx nzx nzx nz 3 3 左边序列左边序列 2 0 x nnn 51 左边序列 0 Z 因果序列 Z 只有 时 才有公共收敛域 ROC Z Re Im X R x R 1 0 nnn nnn Xzxnzxnzxnz 等于 左边序列 右边序列 4 4 双边序列双边序列 52 数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing Ch2 7 Z反变换反变换 徐元欣 xuyx 浙江大学信息与电子工程学系 53 围线积分法 留数法 部分分式展开法 长除法 幂级数法 1 Z xnXz n n Xzxnz 求 的幂级数展开 也就是 54 根据复变函数理论 若X z 在 Z 内解析的 则X z 可展开成罗朗级数 即 n nxx n XzczRzR 1 1 z 2 n n C cXzd z j Re Im x R x R C C 一 围线积分法一 围线积分法 留数法留数法 1 1 由罗朗级数得到由罗朗级数得到x n x n C是在X z 的环状解析域 即ROC 内环绕原点的一条 逆时针逆时针方向的闭合单围线 其中 55 由柯西积分定理 11 1 11 22 2 1 0 0 0 kkjkj CC k jk zd zredr e jj r ed k k 令z k为整数 1 1 1 z 1 2 1 2 1 2 n n C n C nm C m m m czd z j zd z X xmz j xmzd z j 令k n m 由上面可知 k 0即m n 该项为1 k 0即m n 则该项为0 1 1 z 2 n n xx C cxnXzd zcRR j 56 直接计算围线积分比较麻烦 根据留数定理留数定理 若函数F z X z 在围线C上连续 在C以内有K个极点 在C以外有M个极点 M K为有限值 则有 F z X z 1在z 的留数 11 1 R e 2j m nn C m zz Xzzd zsXzz 为C内极点 11 1 R e 2j k nn C k zz Xzzd zsXzz 为C外极点 2 2 采用留数定理来求解围线积分采用留数定理来求解围线积分 该等式要求 该等式要求 X z 在z 处有二阶或二阶以上零点 即分母多项式 二阶项比分子阶次高二阶及以上 或者 57 CC Fzd zFzd z 11 R e R e km nn zzzz km sXzzsXzz 1 1 1 1 2 R e R e k m n C n zz k n zz m xnXzzd z j sXzz sXzz 为 内极点 为 外极点 因此 不同不同n n 可根据不同的极点分布来选择上面或下面式来求取 可根据不同的极点分布来选择上面或下面式来求取x n x n 当n大于某值时 X z 1在z 处 C的外部 有多重极点 选上式方便即求C内极 点留数 当n小于某值时 X z 1在z 0处 C的内部 有多重极点 则选下式方便 即求C外极点留数 要求X z 在z 有二阶或二阶以上零点 即分母多项式 二阶项比分子阶次高二阶及以上 58 设 为X z 1的单 一阶 极点 则 11 R e rr nn zzrzz sXzzzzXzz 设 为X z 1的多重 l 阶 极点 则 1 11 1 1 R e 1 rr l nln zzrzz l d sXzzzzXzz ld z 极点极点 处的留数 的留数 59 在实际应用中 X z 可整理为有理分式 12k z z z Bz Xz Az XXX 其中B z A z 为实系数多项式且无公因式 1 111 12 z z z z k xnZX ZXZXZX Note 须注意ROC 二 部分分式展开二 部分分式展开法法 p53表2 1 常用的z变换对 60 12 1 0 1 2 n n Xzxnz xzxxzxz 三 三 幂级数展开法 幂级数展开法 长除法 长除法 61 数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing Ch2 8 Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 徐元欣 xuyx 浙江大学信息与电子工程学系 62 一 线性一 线性 可加性 比例性 z xx xnXzRzR z yy ynYzRzR z a xnb yna Xzb YzRzR m a x m in xyxy RRRRRR 即ROC为x n y n 的ROC的重叠部分 如果组合中某些零 极点相消 ROC可能扩大 63 二 序列的移位二 序列的移位 z xx xnXzRzR zm xx xnmzXzRzR 64 三 乘以指数序列 三 乘以指数序列 z域尺度变换 域尺度变换 z xx xnXzRzR zn z axnX a a 可 以 是 复 数 xx a Rza R 若a为复数 z平面上零极点既有幅度伸缩 又有角度旋转 65 四 序列的线性加权 四 序列的线性加权 z域求导 域求导 有 五 共轭序列五 共轭序列 六 翻褶序列六 翻褶序列 z xx xnXzRzR z d Xz n xnz d z xx RzR m m d znxnzXz d z z xnXz xx R z R z xx xnXzRzR z xx xnXzRzR 1 z xnX z 11 xx z RR 66 七 初值定理七 初值定理 因果序列因果序列 有 八 终值定理八 终值定理 设x n 为因果序列因果序列 且X z 的极点处于单位圆以内 单 位圆上最多在z 1处可有一阶极点 则 证略 0 lim z xXz 证 因为x n 为因果序列 12 0 1 2 xxzxz lim 0 z Xzx 0 nn nn Xzxnzxnz 1 1 lim lim 1 R e z nz xnzXzsXz 67 九 有限项累加特性九 有限项累加特性 十 序列的卷积和 时域卷积和定理 十 序列的卷积和 时域卷积和定理 若有零极点相消 ROC可能扩大 Note 可用求 的z反变换来求卷积和 设x n 为因果序列 即x n 0 n0 r 1 即s平面的右半平面映射到z平面单位圆外 0 r 1 即s平面的左半平面映射到z平面单位圆内 76 与 的关系 0 0 s平面的实轴对应 z平面正实轴 s平面平行于实轴的直线对应于z平面始于原点 的辐射线 辐角 00 T 0T 2 2 s i e T 每 增 加 一 个 抽 样 角 频是相增 加率应周 期 函 数 sz 映 射 为 多 值 映 射 77 二 模拟频域与数字频域的关系二 模拟频域与数字频域的关系 s j s e a xnxnT aa j aaa T xtxtxn LFLZF XXXXzX 理 想 抽 样 1 z 12 s T aas k k ze a XXsXsjk T Xsjk TT 22 12 e 12 j aa s k a k s XXjXjk TT X f T f jk TTT CTFT s j DTFT z ej 78 由前式可知 j a X e j X e H H H H s s 2 s T 2 2 j a X e 1 T 1 T T s s sH sH 2 H s 1 2 s 周期延拓 s 2 频谱相同 只是坐标单位映射 79 数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing Ch2 11 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析 徐元欣 xuyx 浙江大学信息与电子工程学系 80 1 1 L S I R O C n nn z j hnhnz Hzz i e He 即 系 统 函 稳 数的包 括单 位 圆 定 存 在 且 连 续 一 因果稳定的一 因果稳定的LSILSI系统系统 L S I R O C R O C x x hnHzRz Rz 为 因 果 序 列对的 即在圆 外 且 包 括 因 果 L S IR O CHzz i eHz 因 果 稳 定 系 系 统 函 数 统 函 数的 全 部 极 点 在 的包 括 1 单 位 圆 内 81 00 NM km km aynkbxnm 00 0 0 1 1 1 1 1 1 NM km km km M m m m N k k k M m m N k k azYzbzXz bz Yz Hz Xz az cz K dz z z z k mm kk K cHb dHa H 为 比 例 常 数 的 零 点 由 系 数决 定 的 极 点 由 系 数决 定 除外 完 全 由 它 零 点 的 全 部 极 点 来 决 定 二二 系统函数 传输函数系统函数 传输函数 的零极点 的零极点 由Ch2 4 LSI可用常系数线性差分方程来描述 若系统起始状态为零 即松弛系统 对上式两边z变换 82 由Ch2 4 一个差分方程需同时给出初始条件初始条件才确定一个唯 一系统 同样 系统函数需同时给出系统的ROC Note 稳定LSI ROC包括单位圆 常在z平面上的零极点图上画出单位圆 83 利用H z 在z平面上的零极点分布 通过几何方法直观求出系 统的频率响应 1 1 1 1 1 1 1 1 M m m N k k M m NM m N k k cz HzK dz zc K z zd 1 1 1 1 a rg 1 1 j M j m j m N j k k M j m jNM m N j k k jjHe ce HeK de ec K e ed Hee j ze 84 1 1 11 a rg a rg a rg a rg M j m j m N j k k MN jjj mk mk ec HeK ed HeKeced NM 幅 度 模 应 响 应 响 相 位 m k cHzmM dHzkN 的 1 2 以 表 示 的 零 1 2 极 点以 点 表 示 85 令 幅度响应 频率响应的幅度幅度等于各零点至 矢量长度之积矢量长度之积除以除以各零点 至 矢量矢量长度之长度之积积 再乘以乘以常数 K 相位响应 频率响应的相位相位等于各零点至 矢量的相角之和矢量的相角之和减去减去各零 点至 矢量矢量的相角之的相角之和和 再加上加上那个常数K的