线性方程式的图像.doc

解線性方程22.1 線性方程式的圖像 列圖像、行圖像、及矩陣方程式二變數線性方程組列圖像 (幾何)行圖像 行的線性組合矩陣方程係數矩陣 矩陣方程 Ax = b , 三變數線性方程組列圖像：顯示三平面交在一點 (0, 0, 1)行圖像：將三行向量(哪三個)組合成向量 (0, -1, 4)，組合係數(或方程式組的解)為 (0, 0, 1)矩陣方程Ax = b , 通式列圖像行圖像Ax = x1 (第1行) + + xi (第i行) + + xn (第n行)矩陣方程 Ax = b矩陣A在什麼樣的情況下才能使任何的b有解？矩陣A的行向量必須能線性組合成向量b維度的空間例1討論下方程式組Ax = b是否有解，其列與行圖像的情形如何？什麼樣的b*會使方程式組有解？x + 3y + 5z = 4x + 2y -3z = 52x +5y +2z = 8(1) 將 (1, 1, -1) 分別乘三方程式再相加，結果左式不等於右式故三方程式的平面不相交(2) 以 y = (1, 1, -1)與矩陣A的各列作點積的和，得到0，但y與b的點積卻不為零，因此不可能有解(3) 只要b*為矩陣A的線性組合Ax = b*則會有解，例如 b* = (9, 0, 9)為各行相加的組合( 即x=(1,1,1) )習題1. 當A = I (3維單位矩陣)，畫出列圖像裡的三個平面交會於x = (x, y, z) =(2, 3, 4)並列出矩陣方程式2. 將上題方程式1加到方程式2，下面哪項會改變：列圖像裡的平面？行的圖像？係數矩陣？還是解？3. (a)什麼樣的2 x 2矩陣R把每個向量旋轉90o？ (b)旋轉180o？4. 找出乘上 (x, y, z) 會得到 (y, z, x) 的矩陣P。找出乘上 (y, z, x) 會得到 (x, y, z) 的矩陣Q2.2 消去法、倒回代入、初等矩陣有系統的解線性聯立方程組的方法 消去法 (高斯消去法)。列與列間的代數運算例如求解下列線性方程式組求解第一步：找出x的樞軸元並消去其他方程式中x的係數繼續找出y的樞軸元並消去其他方程式中y的係數消去完成後，原式成為其係數矩陣成為上三角矩陣(通常以U表示)。再以倒回代入由下而上逐步求解，可得 z = -2, y = 1, x = 2樞軸元 (Ajj) = 要減去列的第一個非零係數乘數 lij = (被消去的係數) 除以 (樞軸元)，即Aij / Ajj消去法 被消去列減掉樞軸列乘以乘數 (方程式右邊也同時處理)消去法的失效(1) 消去過程中遇到零的樞軸元，若經交換列可得非零值則仍有解(2) 消去結果整列為零，但右邊不為零則無解(3) 消去結果整列為零，但右邊亦為零則有無限多解習題1. 用消去法達到上三角矩陣U。再倒回代入球方程組解，或說明無解。各樞軸元的值為何？是否需要交換方程式？(a) (b) 2. 下式中什麼樣的k的值會使銷去法失效？哪一個可用列的交換補救？在每一種情況下，解的數目是0或1或無限多？3. 假如消去法導致下面的方程組，找兩個原來可能的係數矩陣A2.3 用矩陣作消去法結合消去法與矩陣運算，適合計算機運算大型的線性方程式組。矩陣運算複習：矩陣乘行向量 = 行向量，列向量乘矩陣 = 列向量用上節例題寫成矩陣形式Ax = b,= 消去第二列第一行數值的步驟可將係數矩陣左邊乘上一初等矩陣或消去法矩陣E21 (初等矩陣可應用單位矩陣I與列運算得到)接著消除第三列第二行則需初等矩陣E32消去法遇到樞軸元為零時可用交換列來修正，交換列可用置換矩陣Pij完成，例如將3x3矩陣第一列與第三例交換則可表示為增廣矩陣：將線性方程組右手邊的向量b放置於係數矩陣最右一行即構成增廣矩陣A b將增廣矩陣經過消去法的初等矩陣運算後成為三角矩陣例1用增廣矩陣與初等矩陣將下式處理為上三角矩陣再以倒回代入求解。A b =,E21 =E21A b =,P23 = P23 E21A b =,故 P23 E21 = = Q，則QA b = ？注意矩陣消去法的初等矩陣連乘的次序不可任意組合，因為P23 E21E21P23習題1. 分別用諸列乘諸行及諸行乘諸列的方式計算各需要多少次的普通乘法，若A及B分別為及。2. 哪三個矩陣E21, E31, E32可以把