第5讲 正方形.doc

第5讲 正方形知识要点：1 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是菱形又是矩形，它具有矩形和菱形的一切性质.2 矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处.所以在学习中要注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系.3 连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质.典型例题：例1 如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（ ）A6 B8 C10 D12答案：B分析：要求k的值，需列出k的方程，因k个矩形组成正方形，则可由正方形的面积及边长列方程组.解：设矩形的长、宽分别为x,y.则解得：k=8.例2 证明：两个边长不等的正方形一定可以拼成一个大正方形.证明：如图，四边形ABCD、BEFG是边长分别为a、b（ab）的正方形.在AB上取AP=b，沿DP、PF剪开，把处，再把处，则拼成了正方形DPFQ.证明如下：由于.因此是菱形.例3 如图，正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：分析：作要证结论成立，需证而E是CD中点，故需证G为BC的中点.证明：作 设正方形的边长为4a，则 AD=AB，例4 如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AE+FC，求证：DG=DA分析：利用旋转的思想构造AE+FC的线段是解本例的关键， 证明：延长BC至H点，使CH=AE，连结DE、DF、DH，由进而推证例5 如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,满足EF=BE+DF. AE、AF分别与对角线BD交于M、N.(1)求证: (2)求证: 证明：（1）将处，易得C、D、H三点共线. 易证得（SSS）从而易证 （2）作AQ=AM，连结NQ、DQ 易证（SAS）、，从而QN=MN，BM=DQ 例6 如图，点A、D在OM上，点A、D在OM上，点B、C在ON上，且AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、AC、DC、BD的中点.求证：四边形EFGH是正方形例6 分析：题设中中点较多，由中位线定理容易证出EFGH的四条边相等，要证邻边互相垂直，可利用平行及已知直角来证.证明：GH/BC，同理HG=EF.同理GF/OD.四边形EFGH是平行四边形.，HG=GF.，四边形EFGH是正方形.例7 如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，都是锐角，已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积.解：过E、F、G、H分别作对边的垂线，则四边形PQRT为矩形，设正方形的边长为，由勾股定理得则.例8 如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AEEG.分析：由于CG是角平分线，CA是BCD的平分线，于是我们可以断定ACG=90，因而只要证明AEG=ACG即可，从图中可以看出，只要证明1=G就可以得到所求证的结论.证明：连结AC，并延长AC到M，使CM=CG，连结EM.四边形ABCD是正方形AC平分BCD ECM=135又CG平分DCF， GCF=45ECG=135，ECG=ECM.而EC=EC，CG=CM. ECMECG.M=G，EM=EG而EA=EG，EA=EM，1=M1=G而2=3 AEG=ACG又ACD=45，DCG=45ACG=90，AEG=90，即AEEC.例9 如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PECH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍.试确定的大小并证明你的结论.分析：因为与正方形有关的角有,要证这一结论,可将旋转至的位置,则,若能证,则结论成立.证明：连结FH，延长CB到M，使BM=DH，连结AM.则，AM=AH.设则由（1）得，把（2）代入，得.则FM=FH.又，又例10 如图，正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC），连结AE，取线段AE的中点M.求证：FM证明：过E作EH/AD，交DM的延长线于点N，交DC的延长线于H，连结FN、DF.易证从而得DM=NM，AD=EN，再证从而DF=FN，可得，从而可得为等腰直角三角形，故课后训练：1P是线段AB上的一点，AB=1，以AP和BP为边分别作两个正方形，当这个正方形面积的差的绝对值为时，AP的长是（ ）（A） （B） （C） （D）1解：A2如图，“L形”纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF，若阴影部分面积是纸片面积的一半，试求EF的长.1 解：过E作EN/KA交AR于N，过F作，易知四边形PQMF、ENRS均为矩形.由于的面积为3，于是又，由故 所以，3如图，EF为正方形ABCD的对折线，将A沿着DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则DKG的度数是_.3解： 4正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE相交于F，求证：4证明：易证得ABEDCE，ADFCDF，从而 又5如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ+PR的值为（ ）A B C D5解：A.提示：过E作BC边上的高EF，运用等腰三角形中PR+PQ=EF.6如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，的面积为200，则BE的值是（ ）A15 B12 C11 D106解：B提示：DFCBEC，CF=CE，CEF为等腰直角三角形.7如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且求AEF的面积.7解：延长CB至G，使BG=DF，连结AG，则ABGADF，AG=AF，GEAFAE，EF=EG，在在（）.故8如图，在正方形ABCD内任取一点E，连结AE、BE，在ABE外分别以AE、BE为边作正方形AEMN和正方形EBFG，连结NC、AF.求证：NC=AF. 8分析：连结DN，要证NC=AF，考虑证CDNABF.证明：连结ND、CF.又CF=AE. 同理，DN=BE， DN=BF，CN=AF.9如图，E、