第5章 直线与平面 平面与平面.pdf

直线与平面直线与平面 平面与平面平面与平面 返回 画法几何画法几何画法几何画法几何 5 1 平行平行 5 2 相交相交 5 3 垂直垂直 5 4 点点 直线和平面的图解方法直线和平面的图解方法 第五章第五章 直线与平面直线与平面 平面与平面相对位置包括平面与平面相对位置包括 平行平行 相交相交和和垂直垂直 第一节第一节平平行行 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行 包 括 包 括 判定规则判定规则 若一直线平行于平面上的某一直线若一直线平行于平面上的某一直线 则该直线与此平面必相互平行则该直线与此平面必相互平行 一一 直线与平面平行直线与平面平行 正平线正平线 例例1 过过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC c b a m a b c m n 唯一解唯一解 n x o 例例2 判别判别AB与与CDE是否互相平行是否互相平行 1 1 e e a b a d c c d b 当平面与投影面垂直时当平面与投影面垂直时 直线与该直线与该 平面的平行关系可直接在该平面具平面的平行关系可直接在该平面具 有积聚性的投影中反映出来有积聚性的投影中反映出来 A H P PH A B b a PH b a a b 二二 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线对应平行对应平行 于另一平面上的于另一平面上的两相交直线两相交直线 则这则这 两平面相互平行两平面相互平行 c f b d e a a b c d e f ox 判定规则 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行相互平行 则它们则它们具具 有积聚性有积聚性的那组投影必相互平行的那组投影必相互平行 f h a b c d e f h a b c d e o x 例例3 已知平面由平行两直线已知平面由平行两直线AB和和CD给定给定 试过试过 点点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 e m n m n f e f s r s r k k 第二节第二节相相交交 直线与平面相交直线与平面相交 平面与平面相交平面与平面相交 交点是直线与平面的交点是直线与平面的共有点共有点 交点是直线可见与不可见的交点是直线可见与不可见的分界点分界点 求求直线与平面的直线与平面的交点交点 判别两者之间的相互遮挡关系判别两者之间的相互遮挡关系 即即判别可见性判别可见性 一一 一般位置直线一般位置直线与与特殊位置平面相交特殊位置平面相交 特殊位置直线特殊位置直线与与一般位置平面相交一般位置平面相交 要点要点 问题问题 1 求交点求交点 直接利用特殊位直接利用特殊位 置平面的积聚投置平面的积聚投 影与直线的同名影与直线的同名 投影的交点投影的交点 直直 线与平面的交点线与平面的交点 的其中一个投影的其中一个投影 求出交点的其它求出交点的其它 投影投影 1 1 一般位置直线与一般位置直线与特殊位置平面相交特殊位置平面相交 直线与特殊位置平直线与特殊位置平 面交点画法分析面交点画法分析 例例4 求直线与铅锤面求直线与铅锤面 正垂面的交点正垂面的交点M N a b a QV PH b n m m n 2 可见性判别可见性判别 1 直接观察法直接观察法 读出直线与平面在空间读出直线与平面在空间 的趋势的趋势 上行或下行上行或下行 从而确定直线从而确定直线 的可见性的可见性 2 重影点法重影点法 利用直线和平面上的重影利用直线和平面上的重影 点的可见性点的可见性 确定直线的可见性确定直线的可见性 3 交点是直线可见部分与不可见部分的交点是直线可见部分与不可见部分的 分界点分界点 a b cm n c n b a m 例例5 求直线求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性并判别可见性 空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面是一铅垂面 其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直 线线 该直线与该直线与mn的交点即的交点即 为为K点的水平投影点的水平投影 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知由水平投影可知 KN 段在平面前段在平面前 故正面投故正面投 影上影上k n 为可见为可见 还可通过重影点判别可见性还可通过重影点判别可见性 k 1 2 作图作图 k 2 1 x k m n b m n c b a a c 空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线为铅垂线 其其 水平投影积聚成一个点水平投影积聚成一个点 故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚 在该点上在该点上 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点 位于平面上位于平面上 在在 前前 点点 位于位于MN上上 在在 后后 故故k 2 为不可见为不可见 1 2 k 2 1 作图作图 用面上取点法用面上取点法 x 2 2 特殊特殊位置直线与一般位置直线与一般位置平面相交位置平面相交 辅助直辅助直 线法线法 二二 两特殊位置平面相交两特殊位置平面相交 两平面相交其交线为直线两平面相交其交线为直线 交线是两平交线是两平 面的共有线面的共有线 同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的 共有点共有点 要解决的问题要解决的问题 求求两平面的两平面的交线交线 方法方法 确定两平面的确定两平面的两个共有点两个共有点 确定确定一个共有点及交线的方向一个共有点及交线的方向 判别两平面之间的相互遮挡关系判别两平面之间的相互遮挡关系 即即 判别可见性判别可见性 M 平面与平面相交 两平面的交线是一条直线 这条直线为两平面所共有 F K N L 垂直于同一投影面的两个平垂直于同一投影面的两个平 面相交面相交 其交线也垂直于相其交线也垂直于相 同的投影面同的投影面 方向已确定方向已确定 利用这两个平面的积聚投影利用这两个平面的积聚投影 的交点求交线的交点求交线 可通过正面投影可通过正面投影 直观地进行判别直观地进行判别 a b c d e f c f d b e a m n 空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都 为为正垂面正垂面 它们的正面投它们的正面投 影都积聚成直线影都积聚成直线 交线必交线必 为一条正垂线为一条正垂线 只要求得只要求得 交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出 交线的投影交线的投影 求交线求交线 判别可见性判别可见性 作作 图图 从正面投影上可看出从正面投影上可看出 在交线左侧在交线左侧 平面平面ABC 在上在上 其水平投影可见其水平投影可见 n m 能否不用重能否不用重 影点判别影点判别 能能 如何判别如何判别 例例6 求两平面的交求两平面的交 线线MN并判别可见性并判别可见性 一般位置平面与特殊位置平面相交一般位置平面与特殊位置平面相交 其交线投影的画法可归结为其交线投影的画法可归结为 求作一般位置平面内的两条直线和特求作一般位置平面内的两条直线和特 殊位置平面的两个交点的投影殊位置平面的两个交点的投影 再连再连 接这两个交点的同名投影即得交线的接这两个交点的同名投影即得交线的 投影投影 三三 一般位置平面与特殊位置平面相交一般位置平面与特殊位置平面相交 b c f h a e a b c e f h 1 2 空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面是一水平面 它的它的 正面投影有积聚性正面投影有积聚性 a b 与与e f 的交点的交点m b c 与与f h 的交点的交点 n 即为两个共有点的正面投影即为两个共有点的正面投影 故故m n 即即MN的正面投影的正面投影 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点 在在FH上上 点点 在在BC上上 点点 在上在上 点点 在下在下 故故fh 可见可见 n2不可见不可见 作作 图图 m n 2 n m 1 例例7 求两平面的交线求两平面的交线MN并判别可见性并判别可见性 1 1 一般位置直线与一般位置平面相交求交一般位置直线与一般位置平面相交求交 点点 需作一个辅助平面需作一个辅助平面 辅助平面法辅助平面法 2 2 求交点的一般步骤求交点的一般步骤 1 1 过已知直线作一辅助平面过已知直线作一辅助平面 一般为投一般为投 影面垂直面影面垂直面 2 2 求辅助平面和已知平面的交线求辅助平面和已知平面的交线 3 3 确定此交线和已知直线的交点确定此交线和已知直线的交点 此交此交 点即为所求直线与平面的交点点即为所求直线与平面的交点 4 4 判别可见性判别可见性 四四 一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交 1 2 例例8 求直线与平面的交线求直线与平面的交线 辅助平面法辅助平面法 PV 2 1 k k 步骤步骤 1 过过EF作正作正 垂平面垂平面P 2 求求P平面与平面与 ABC的交线的交线 3 求交线求交线 与与EF的交的交 点点K 1 2 以铅垂面为辅助平面以铅垂面为辅助平面 PH 1 步骤步骤 1 过过EF作铅作铅 垂平面垂平面P 2 求求P平面与平面与 ABC的交线的交线 3 求交线求交线 与与EF的交的交 点点K k k 2 两个一般位置平两个一般位置平 面相交求交线面相交求交线 需作两个辅助平需作两个辅助平 面面 求出两个平求出两个平 面的任意两个不面的任意两个不 重合的公共点重合的公共点 再用直线连接这再用直线连接这 两个公共点两个公共点 即即 为所求交线为所求交线 五五 两两一般位置平面相交一般位置平面相交 2 2 求两个一般位置平面交线的步骤求两个一般位置平面交线的步骤 1 在适当位置作两个辅助平面在适当位置作两个辅助平面T1 T2 2 求辅助平面求辅助平面T1与与P及及Q的交线的交线AB和和CD 以及以及 辅助平面辅助平面T2与与P及及Q的交线的交线EF和和KL 3 求求AB和和CD的交点的交点 及及EF和和KL的交点的交点 4 连接连接 和和 即得所求交线即得所求交线 两一般两一般 位置平面相位置平面相 交交 求交线求交线 步骤步骤 1 用求直线用求直线 与平面交点与平面交点 的方法的方法 作作 出两平面的出两平面的 两个共有点两个共有点K E l l n m m n PV QV 1 2 2 1 k k e e 2 连接两个连接两个 共有点共有点 画画 出交线出交线KE 利利 用用 重重 影影 点点 判判 别别 可可 见见 性性 两平面相交两平面相交 判别可见性判别可见性 3 4 3 4 2 1 1 2 例例9 过过K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面 ABC 并与直线并与直线 EF相交相交 分分 析析 过已知点过已知点K作平面作平面P平行平行于于 ABC 直线直线EF与平面与平面P 交于交于H 连接连接KH KH即为所求即为所求 F E K H 作作 图图 m n h h n m PV 1 1 2 2 1 过点过点K作平作平 面面KMN ABC平面平面 2 求直线求直线EF 与平面与平面KMN的的 交点交点H 3 连接连接KH KH即为所求即为所求 一直线若与一平面内的任意两根相交直线垂直一直线若与一平面内的任意两根相交直线垂直 则这根直线和该平面垂直则这根直线和该平面垂直 一直线若垂直于一平一直线若垂直于一平 面面 则这条直线垂直于该平面内的任意直线则这条直线垂直于该平面内的任意直线 平面垂线的投影具有确定的方向平面垂线的投影具有确定的方向 平面垂线的水平面垂线的水 平投影必垂直于这个平面内的水平线的水平投影平投影必垂直于这个平面内的水平线的水平投影 平面垂线的正面投影必垂直于这个平面内的正平平面垂线的正面投影必垂直于这个平面内的正平 线的正面投影线的正面投影 第三节第三节垂垂直直 一一 直线与直线与平面垂直平面垂直 直角投影定理直角投影定理 平面垂线投影特平面垂线投影特 性性 平面垂平面垂 线的投线的投 影特性影特性 例例10 过平面外一点作平面的垂线过平面外一点作平面的垂线 e 1 1 a a c d b d c b e 2 2 作图思路作图思路 1 在已知平在已知平 面内找两条相面内找两条相 交直线交直线 其中其中 一条为水平线一条为水平线 另一条为正平另一条为正平 线线 2 利用直角利用直角 投影的特性作投影的特性作 出所求直线出所求直线 1 过已知点过已知点 作一水平线作一水平线 一正平线一正平线 2 利用直角利用直角 投影的特性投影的特性 作出所求平作出所求平 面面 例例11 过点过点A作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线EF a a e f e f 1 过已知点过已知点 作平面垂直于作平面垂直于 已知直线已知直线 2 求所作平求所作平 面于已知直线面于已知直线 的交点的交点 3 已知点与已知点与 交点的连线即交点的连线即 为所求直线为所求直线 例例12 过已知点作直线和已知直线垂直相交过已知点作直线和已知直线垂直相交 f a e f e a 求点到直线的距离求点到直线的距离 例例13 过过A点作点作 平面垂直于已知平面垂直于已知 面并平行于面并平行于 1 过已知点过已知点A作作 直线直线AN垂直于已垂直于已 知平面知平面 2 过过A作直线作直线 AM平行于平行于 二二 平面与平面与平面垂直平面垂直 n n a 3 1 4 a 4 2 1 3 2 若一平面经过另一平面的一条垂若一平面经过另一平面的一条垂 线线 则此二平面则此二平面 互相垂直互相垂直 m m 1 定位问题定位问题 点点