椭圆中点弦问题.doc

已知椭圆C: (ab0),它的左右焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0),过点F2直线l交椭圆于A,B两点,试求线段AB的中点的轨迹方程.分析:此题是一个求点的轨迹方程的常规性问题,问题求解的本身没有特殊性可言,依据轨迹方程的求解步骤即可解决.在此我们略去解答过程,得到: 我们对比方程与方程看到,两个方程的左边完全相同,而方程的右式只含有x的一次项,且系数为.这里我们称AB为椭圆的焦半径,将上述问题称为焦半径中点轨迹问题.于是我们自然地会有如下的猜想,即只要知道椭圆的标准方程,则可以对应地写出焦半径中点的轨迹方程.比如,现在我们要求过F1的焦半径中点的轨迹方程,根据猜想有 ,那么这样的结果是否正确呢,我们只要重复上述问题的求解过程,即可以验证结果的正确性.类似地,对于双曲线: (a,b0),对应地我们有两个焦半径中点的轨迹方程: (过右焦点时为正,过左焦点时为负);对于抛物线:y2=2px(p0),相应地焦半径中点轨迹方程为y2=p(x-p2).更一般的结论,我们仍以椭圆为例, 已知椭圆C: (ab0),过定点P(m,n)的直线l交椭圆于A,B两点，则线段AB中点的轨迹方程为 接下来我们看这样一个结论在几个高考题中的应用:例1: (08福建卷)21. 椭圆(ab0) 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有OA2+OB2AB2,求a的取值范围.分析:这里我们略去第一问的解答. 要使OA2+OB2AB2成立,只需满足原点O在以AB为直径的圆内部,也即是满足原点O至圆心M的距离OM小于半径r(2r=AB),而我们看到圆心M是线段AB的中点解:设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)由于它是过右焦点F的弦中点,则点M的轨迹方程为(0x1). 又OM2= x02+ y02,2r=AB=a-ex1+a-ex2=2(a-e x0),于是有x02+ y02(a-e x0)2 将点M的坐标代入方程,得到 联立式,消去y0得x02+(a2+a-1)x0-a30 令fx=x2+a2+a-1x-a3,x0,1不等式对于任意x0,1都成立,又由于fx的对称轴-a2+a-120,则只需满足f10解之得a(1+52,+).评析:相较于给出的参考答案,这个解法具有明显的优势.首先它没有将直线方程与椭圆方程进行联立,避开了繁琐的计算.其次,它不再需要利用韦达定理作代换.解答思路清晰,运算简洁流畅.例2: (09四川卷)20.已知椭圆(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率e=22，右准线方程为x=2。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点F1的直线与该椭圆交于两点，且F2M+F2N=2263，求直线的方程。解: （I）略（II）设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则F2M+F2N=x1+x2-2,y1+y2=2(x0-1,y0)F2M+F2N=2(x0-1)2+y02=2263 又点P满足方程 ,即有 联立方程消去y0,得x0=-23y0=13已知点P和点F1的坐标,可求直线l的方程y=x+1或y=-x-1变式: 已知椭圆的标准方程为,过右焦点F1的直线与该椭圆交于M,N两点，且F2M+F2N=MN,求直线l方程。例3: (09全国)21.已知椭圆C: (ab0)的离心率为33,过右焦点F的直线l与C相交于A,B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到直线的距离为22。（）求a,b的值.（）C上是否存在一点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求出所有的P和l的方程;若不存在,说明理由.解: （）略.（）若存在满足条件的点P,设AB的中点为M(x0,y0),点P的坐标为(x,y),则(x,y)=2(x0,y0),即有x0=x2y0=y2 由于点M的轨迹方程为: 将代入式得点P的轨迹方程: 又点P在椭圆上,即有 联立,解得点P的坐标(32,22),代入式,得M的坐标(34,24).于是,y=2(x-1)为所求直线l的方程.评析:本题的突破口在于利用点P与AB中点M的关系,再利用椭圆焦半径中点的轨迹方程得到关于点P的方程,而由于点P是椭圆上的一点,又得到一个关于点P的方程,从而求出点P的坐标.运用椭圆焦半径中点的轨迹方程的目标就是要求出中点的坐标,其优势在于无需联立直线与椭圆的方程,进行繁重的化简工作,更不必再讨论直线有无斜率的情况.并且椭圆焦半径中点的轨迹方程完全由椭圆的方程中的两个常量(即a与b)决定,