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高中数学第一单元 常用逻辑用语 考点分析1、理解命题的含义，能判断给定陈述句是否为命题，能把命题改写成“若p，则q”的形式；了解四种命题的关系，会用等价命题判断真假；了解命题的否定与否命题的区别2、掌握充分条件和必要条件判断；了解充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分又不必要条件，充要条件条件的含义3、理解简单的逻辑联词“或”、“且”、“非”的意义，能运用有关符号和术语4、了解全称命题：，及否定：，；了解特称命题：，及否定：，；了解符号“”，“”，“”，“”的正确使用第1课时 命题及其关系例题选讲例1 判断下列语句中哪些是命题？若是命题则指出是真命题还是假命题；若不是命题说明理由（1）函数在上是增函数；（2）若空间两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）若，则是锐角；（4）若数列的前项和的公式为，则这个数列是等差数列；（5）等式是恒等式；（6）若，则分析：判断一个语句是不是命题，关键要看它第一是否为“陈述句”，第二是否“可以判断真假”这两个条件解：上面6个语句都是命题，其中（1）（5）是真命题，（2）（3）（4）（6）是假命题例2 将下列命题改写成“若p，则p”的形式，并判断真假：（1）边长比为1：2的两个正方形面积的比为1：8；（2）二面角的平面角的范围是；（3）3分析：数学中有一些命题表面上不是“若p，则q”的形式，但把它的表述作适当改变，是可以写成“若p，则q”的形式的解：（1）若两个正方形边长的比为1：2，则这两个正方形面积的比为1：8它是假命题，面积的比应该为1：4（2）若一个角是一个二面角的平面角，则它的范围是它是假命题，它的范围应该是（3）若两个数分别为3和4，则它是真命题，的含义是或例3 已知原命题“若实数，则，且”，写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假分析 把原命题的条件和结论对调或否定，就得到逆命题、否命题和逆否命题，再利用四种命题的等价关系求解解：逆命题：若且，则，逆命题是真命题；否命题：若，则或，否命题是真命题；逆否命题：若或，则，逆否命题是真命题 例4 把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假（1） 方程的解是；（2） ；（3） 对顶角相等 分析：有些命题表面上没有“若，则”用语，但把它的表述作适当改变，就可以了 解：（1）原命题：若，则，是假命题； 逆命题：若，则，是真命题； 否命题：若，则，是真命题； 逆否命题：若，则，是真命题 （2）原命题：若，则，是真命题； 逆命题：若，则，是假命题； 否命题：若，则，是假命题； 逆否命题：若，则，是真命题 （3）原命题：若与是对顶角，则，是真命题； 逆命题：若，则与是对顶角，是假命题； 否命题：若与不是对顶角，则，是假命题； 逆否命题：若，则与不是对顶角，是真命题配套练习1、判断下列命题的真假，真命题在括号内写“真”，假命题在括号内写“假”：（1）若，则（ ）；（2）对于，都有 （ ）；（3）若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线的对称轴平行或重合（ ）；（4）若函数的定义域是R，则函数是奇函数（ ）2、下列语句不是命题的是 、飞船是太阳系的行星 、2和3的最小公倍数是6、 、方程有实数根3、下列语句是命题的是 、奇函数图像关于原点成中心对称吗？ 、你刚才到哪里去了？、函数在R上递增 、4、下列语句中是命题的有 ，其中是真命题的有 （写出序号） “祝你生日快乐！”；“垂直于同一直线的两个平面平行”；“一个数不是负数，则这个数必是正数”；“若集合，则”；“作”5、有下列四个命题：“若，则、互为相反数”的逆命题；“若，则”的逆否命题；“若，则”的否命题；“若常数是无理数，则不是幂函数”的逆否命题其中真命题是 （写出序号）6、设原命题为“已知，是实数，若+是无理数，则、都是无理数”写出它的逆命题，逆否命题及命题的否定，并分别判断它们的真假第2课时 充分条件与必要条件例题选讲例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？（1）若直线垂直于平面内的任意直线，则直线垂直平面；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则函数是偶函数；（5）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则直线与双曲线有一个公共点；（6）若数列的通项公式（）是的一次函数，则数列是等差数列分析：若时，称p是q成立的充分条件，同时也称q是p成立的必要条件； 若时，称p是q成立的必要条件，同时也称q是p成立的充分条件解：（1）条件p：直线垂直于平面内的任意直线，条件q：直线垂直平面，由于，p既是q的充分条件也是必要条件；（2）当时，不能成立，反过来当时，是成立的，条件p：是条件q：成立的必要条件，但不是充分条件；（3）条件p：，条件q：，由于，但 ，p是q的充分条件，但不是必要条件；（4）当时，是偶函数，反过来当函数是偶函数时， 既是是偶函数的充分条件又是必要条件；（5）由双曲线渐近线的定义知：条件“直线与双曲线的一条渐近线平行”是条件“直线与双曲线有一个公共点”的充分条件，但不是必要条件；（6）条件p：（）是的一次函数，条件q：数列是等差数列，由于，但 ，p，p是q的充分条件，但不是必要条件 例2 条件：“”是条件：“”的什么条件？解：，即，或，因此，条件是条件的必要不充分条件例3 若条件甲：“”；条件乙：“是平行四边形”，则甲是乙的什么条件？ 解：由平行四边形的性质知：若是平行四边形时， ，即；但若时，与可能是共线的线段，因而不一定是平行四边形所以条件甲是条件乙的必要不充分条件例4 在下列各题中，判断甲是乙的什么条件，并说明理由（1） 甲：，乙：方程有实数根；（2） 甲：直线与圆相切，乙：分析：对于涉及充分必要条件的判断问题，必须要准确、完整地理解充分、必要的含义，有些问题须转化为等价命题才容易判断，有时还需要明确主动句或被动句解：（1）甲 乙，事实上当时，方程的没有实数根；反过来，乙甲，方程的实数根，得或，所以条件甲是条件乙的必要不充分条件（2）甲乙，事实上直线与圆相切圆心到直线的距离等于圆的半径，甲是乙的充要条件配套练习1、已知，则是的 条件2、是成立的 条件3、若，那么成立的必要不充分条件是 、 、 、，且4、下列电路图中开关键K闭合使灯泡A发亮的必要不充分条件是 5、已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的 ，非A是非B的 6、条件“”是条件“”的 条件 7、“”是“函数的最小正周期为”的 条件 8、条件：是条件：成立的 条件9、没，是不共线的两个向量，且 求证：的充要条件是：第3课时 简单的逻辑联结词例题选讲例1 指出下列命题的形式及其构成，并判断命题的真假：（1）方程没有实数根；（2）若18既是3的倍数又是2的倍数，则18是6的倍数；（3）若直线平行平面，或直线与平面相交，则直线在平面外分析：先确定简单命题的逻辑联结形式，再确定p、q 解：（1）是“非p”形式，其中p：有实数根，p为真，非p为假；（2）是“”形式，其中p：18是3的倍数为真，q：18是2的倍数为真，“若18既是3的倍数又是2的倍数，则18是6的倍数”是真命题；（3）是“形式，其中p：若，则；若与相交，则，由于p、q都是真命题，所以是真命题例2 已知命题p：方程有两个不等的负实根；q：方程无实根若“”为真，“”为假，求实数的取值范围分析：依题意可确定、是一真一假解：（1）若为真为假时，则P为真：，q为假：，或，；（2）若为假为真时，p假：，q真：，所以实数的取值范围是例3 已知：，：“”与“”都是假命题，求的值 分析：因为与若一假则为假，与是真假相对 解： 为假，为真；又为假，为假则 ，即，故 例4 分别写出由下列各组命题构成的“”、“”和“”形式的复合命题： （1）：是无理数，：； （2）：，：； （3）：，： 分析：由简单命题写出复合命题时，可由定义直接使用逻辑联结词，也可以不用逻辑联结词，其关键要明白“或”、“且”、“非”的含义 解：（1）：是无理数或大于；：是无理数且大于；：不是无理数 （2）：或；：且；： （3）：；：且；：配套练习1、下列命题中为真命题的是 、 、且 、 、且2、设命题p：若，则；命题q：若，则则下列命题是假命题的是 、 、 、 、3、下列命题中为假命题的是 、6和3都是12的约数 、正方形既是菱形且又是矩形、是有理数或是无理数 、4且4能整除24、已知命题p：，命题q：，由它们构成的“”、“”、“”和“”形式的命题中，真命题的个数有 、4个 、3个 、2个 、1个或0个5、如果否命题为“若，则或”，则相应的原命题为 6、设实数，为实数，命题P：，则是指 7、“若，则”的等价命题是 8、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题 （1）是与的倍数； （2）方程没有有理根； （3）不等式的解集为第4课时 全称量词与存在量词例题选讲例1 判断下列命题的真假，并简要说明理由：（1）存在素数不是奇数；（2）对于任意平面，若与不同时成立，则直线和是异面直线；（3）若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围；（4）直线平面，若任意，则直线直线；（5）过任意的已知点P存在一个平面与两条异面直线和都平行分析：要判定全称命题“”是真命题，需对M中任何一个元素，证明成立；如果一个，那么全称命题是假命题要判定特称命题“”是真命题，只需在M中找到一个元素，使成立即可；如果在M中，使成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题解：（1）2为素数，且2不是奇数，命题是真命题；（2）由异面直线的含义，这个命题是真命题；（3），恒成立时，命题为真命题；（4），且，这个命题是假命题；（5）这个命题是假命题若已知点P就在直线上，过P点作直线，则直线与直线是相交直线，确定了平面是平行于，经过直线的，即不存在平面与两条异面直线和都平行例2 已知集合，若，求实数的取值范围分析：本题翻译成命题用语是：方程至少有一个负实数根，直接求解比较麻烦，先求方程有实数解的条件，再求命题的否定较为简便解：，即方程恒有实数根，解之，或若方程没有负实数根，则方程存在非负实根，则实数范围是例3 设：，试用不同的表达方法写出特称命题“”解：存在实数，使成立；至少有一个实数，使成立；有一实数，使成立；某个实数，使成立例4 用量词符号“”、“”表达下列命题（1）实数都能写出小数形式； （2）凸边形的外角和等于； （3）对任意实数，都有； （4）存在，使得 解：（1），能写成小数形式； （2），的外角的和等于； （3），； （4），使得配套练习1、是的子集叙说语言是“若对于任意的，则称”那么不是的子集合的叙说语言正确的是 2、方程中至少有一个负实数根的充要条件是 、 、 、 、，且3、用反证法证明：“三角形内角中至多有一个是钝角”时，反设词正确的是 、假设至少有一个钝角 、假设至少有两个钝角 、假设没有钝角 、假设没有钝角或至少有两个钝角4、若三个关于方程，和中至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围5、考察以下推导过程：设 6、写出下列复合命题的否定： （1）是直角三角形或等腰三角形；（2）4、5都是方程的根第二单元 圆锥曲线与方程考点分析1、了解圆锥曲线的实际背景，知道椭圆、双曲线、抛物线可由不同平面截圆锥而得到 2、掌握椭圆的定义，掌握中心在原点、焦点在轴上的椭圆图形及标准方程，掌握椭圆的几个简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）了解椭圆的准线方程3、了解双曲线定义，知道中心在原点、焦点在轴上或轴上的双曲线图形和标准方程形式，了解双曲线的几个简单性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）4、掌握抛物线的定义，准线和焦点概念，掌握顶点在原点、焦点在轴或轴上的抛物线图形及其标准方程，掌握抛物线的几个简单性质（范围、对称性、离心率）5、能用解析方法解决直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题6、了解曲线与方程的对应关系，会用坐标法求某些曲线（直线、圆、椭圆、抛物线）的方程第1课时 椭圆例题选讲 例1 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且椭圆与直线：有唯一的公共点，求椭圆的方程分析：已知离心率的值，就能知道长半轴长与短半轴长的比，从而能设椭圆的标准方程解：，设，则，椭圆方程可设，联立，因椭圆与直线有唯一公共点，故椭圆方程为例2已知的边，边的中线与边的中线之和为，选取适当的坐标系，求顶点的轨迹方程分析：利用平面几何的中位线定理，结合椭圆的定义，知道点到某定点距离之和为定值解：如图1-1-1所示，以所在直线为轴，以的垂直平分为轴建立直角坐标系在轴取，两点，使得，则，则依题意及三角形中位线定理有，由椭圆的定义容易得顶点的轨迹方程是：以，两点为焦点，以，的椭圆例3 设椭圆的方程为，过点的直线交椭圆于点、，是坐标原点，点满足，点当绕点旋转时，求： （）动点的轨迹方程；（）的最小值与最大值分析：由于点满足，由向量几何意义知，是边的中线，即点为线段的中点解：（）设、和，则，点、在椭圆上，（i）若时，则，两式相减：，即，又，；（ii）若时，点为原点，也适合于方程故动点的轨迹方程为式（）由点的轨迹方程知，即，而当时，取最小值为；当时，取最大值为例4某工厂质检员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱检测上个直径为3cm的圆柱为了保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，这两个标准圆柱的底面的直径应该是多少？分析：设直径为3、2、1的三个圆的圆心分别为、，问题化归为求两个等圆、，使它们与内切，与、外切解：如图1-1-3所示，取为原点，直线为轴，建立直角坐标系设圆的半径为，则，点在以、为焦点，长轴长为的椭圆上，其方程为同理，点在以、为焦点，长轴长为的椭圆上，其方程为联立、求出点，标准圆柱的底面直径为配套练习1、与椭圆有共焦点，并且经过点的椭圆的方程是 2、若方程表示的图形是焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是 3、点是椭圆上的点，、是它的两个焦点，若，则的面积是 4、若椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点恰好是一个正三角形的三个顶点，则椭圆的离心率 5、右焦点为的椭圆内有一点，为椭圆上一点，则的最小值为 6、过原点的直线与椭圆相交于、两点，若为椭圆的左焦点，则的最大面积是 7、从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴端点的连线（）求椭圆的离心率；（）设是椭圆上任意一点，是右焦点，求的取值范围； （）设是椭圆上一点，当时，延长与椭圆交于另一点，若的面积为，求此时椭圆的方程8、如图1-1-4所示，已知，且，（为动点） （）建立适当的直角坐标系求出点的轨迹方程；（）证明：若点的轨迹上存在不同的点、，且线段的中垂线与直线相交于点，则（为的中点） 9、已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是（为正常数） （）求椭圆的方程；（）设是椭圆上的一点，且过点、的直线与轴交于若，求直线的斜率第2课时 双曲线例题选讲 例1一个动圆与两个圆和都外切，求动圆心的轨迹方程分析：先找到动点满足的条件，再由双曲线的定义，就可以求出动圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为，两已知圆的圆心分别为和因两圆外切，其连心距等于半径的和，又和为两个定点，由双曲线的定义，动点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支设，得点的轨迹方程为 例2已知双曲线的一条渐近线的方程是，且双曲线过点，求双曲线的标准方程分析：利用逆向思维思考问题，当双曲线标准方程的右边的变为时，可得到双曲线的渐近线方程，反过来已知双曲线的渐近线方程，即可设双曲线的方程为解：双曲线的渐近线方程为设双曲线的方程为，将的坐标代入所设的方程有，所求双曲线方程为例3 已知双曲线的离心率，过点和的直线与原点的距离为（图1-1-5） （）求双曲线的方程；（）直线与该双曲线交于不同的两点、，且、都在以为圆心的同一圆上，求的取值范围分析：告诉了离心率的值，就能知道，三量的比值，、都在上等价于的中点与的连线与垂直解：（），直线的方程为，依题意，故双曲线的方程为； （）联立，直线与双曲线相交于不同、，式的判别式大于零，得，设中点为，则，联立和解之，或例4 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚已知各观察点到该中心的距离都是试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）分析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上解：如图1-1-6，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、分别是西、东、北观察点，则， 设为巨响发生点，、同时听到巨响，所在直线为，又因点比点晚听到巨响声，由双曲线定义知，点在双曲线方程为联立、求出点坐标为即巨响在正西北方向处 例5 已知两定点、及双曲线：，点是双曲线上的动点，求的最值 分析：本题涉及双曲线的焦点、双曲线上的点，要利用定义及运用平面几何知识求解 解：为右焦点，则左焦点为，由定义由平面几何知识：，（i）当在右支上时，可化为，即点为射线与双曲线右支交点时，；（ii）当在左支上时，可化为，即点为射线的反向线与双曲线左支的交点时，配套练习1、已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则该双曲线的离心率的最大值为 2、已知点、，动点满足，当点的纵坐标是时，点到原点的距离是 3、设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点若，则 4、已知双曲线的两条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程是 5、已知双曲线的两条渐近线方程为，则双曲线的离心率 6、是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，且焦距为，则的内切圆的圆心的横坐标为 7、已知动点与双曲线的两个焦点所连线段的和为定长，其值大于，并且这两条线段的夹角的余弦值的最小值为 （）求点的轨迹的方程；（）在轴的正半轴上求一点，使与上的点的距离的最小值为 8、如图1-1-7所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知，能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由9、设双曲线：的两顶点为、（图1-1-8），点（不同于）在双曲线的右支上，轴于，直线与相交于试求点的轨迹方程第3课时 抛物线例题选讲例1已知动圆恒过定点与定直线：相切，求动圆的圆心轨迹方程分析：因直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，由抛物线定义知点轨迹为抛物线解：设，则点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线其，点轨迹方程为 例2如图1-1-9，有一张长为，宽为的矩形纸张，按图示的方法进行折叠，使每次折叠后点都落在上，此时将点记为（注：图中为折痕，在或上）作交于，求点的轨迹方程分析：点与始终关于直线对称，则点到定点与定直线的距离是相等的解：如图1-1-9，以边为轴，取的中点为原点建立直角坐标系，则直线的方程为，点的坐标为，与始终关于直线对称，由抛物线的定义知：点的轨迹方程为 例3 已知抛物线的弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值（图1-1-10） 分析：要求AB中点纵坐标最小值，可求出最小值，从形式上看变量较多，但结合图形可以观察到、是在梯形的两底上，这样就把使求中点纵坐标问题化归成求梯形的中位线问题即可以利用图形和抛物线的定义来求解 解：设抛物线的弦AB的端点，、，中点M（x，y）抛物线的焦点F，准线，设A、B、M到准线距离分别为AD、BC、MN，根据抛物线定义，有 ，（因为在中）即， 所以M点的纵坐标的最小值为例4（如图1-1-11）AB是抛物线过焦点的弦，O是抛物线的顶点证明： （）；（）是钝角；（）的最大值与p无关 证明：（）当AB的斜率不存在时，； 设AB的斜率为时，直线AB的方程为：，联立 ，式的判别式，且，所以，故（）设、，则 ， ，是钝角（）， ，又在上是增函数，的最大值与p无关配套练习1、抛物线的焦点坐标为 2、抛物线的准线方程为 3、已知抛物线的项点在原点，焦点在轴上，抛物线上点到焦点的距离为，则的值为 4、若点的坐标为，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使取最小值，则点的坐标应为 5、已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是 6、过抛物线的对称轴上一点作一直线与抛物线交于，两点，若点的纵坐标为，则点的纵坐标为 7、如图1-1-12所示，水电站在设计时，为了保护其坝基及下游堤坝的安全，常用鼻坝挑流的方法来消除水的部分动能已知鼻坝的挑角为，水电站的水位至鼻坝的落差为求挑出的水流所在的曲线的方程（不计空气阻力）当挑出的水流离坝基的水平距离为时，计算鼻坝下游基底距鼻坝的高（精确到）8、已知抛物线的弦与直线有公共点，且弦的中点到轴的距离为，求弦的长度的最大值，并此时直线的方程9、设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于、两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明直线经过原点第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系例题选讲 例1如图1-1-13所示，已知：定点、，求使的点的轨迹方程 解：设，则，又，于是，即，由于，点轨迹方程为 例2 已知双曲线 的左、右顶点分别为、，右焦点为，右准线为：，过点作直线交双曲线的右支于、两点，延长交右准线于 （）求双曲线的方程；（）若，求的面积；（）若，问是否存在实数，使得 解：（）依题意知则双曲线的方程是； （）设，易得，右准线： 设方程为，代入双曲线方程有由于、都在双曲线的右支上，则由于、都在上，可得，由于，由已知，可得，从而得，则，的面积；（），将直线代入双曲线方程有：，韦达定理：，由、解之，代入解之，代入解之，不妨取，则，、三点共线，则，则存在实数，使得成立 例3 将抛物线按向量平移后，得曲线，且直线：与轴的交点在曲线的准线的右边 （）求曲线的方程；（）求证：直线直线：与曲线恒有两个交点；（）设直线与曲线的交点为、且，求关于的函数的表达式分析：方程的图像按向量平移，实际上是用替代原方程中即可以得，由平面向量的性质可知，等价于解：（）按向量平移，曲线的方程为； （）证明：曲线的准线为，且直线与轴的交点在曲线的准线的右边，即，将代入消去化简整理有，其判别式恒成立，故直线与曲线恒有两个不同的交点；（）设、，则，是方程的两根，又、在直线：上，则，即，所以，及，的定义域为配套练习1、过双曲线上任一点作它的一条渐近线的垂线段，高垂足为，是坐标原点则的面积是 2、双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为 3、已知、是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一点若线段的中点在轴上，则：等于 4、有一个正三角形的两个项点在抛物线上，另一个项点在原点，则这个三角形的边长为 5、在抛物线内，通过点且在此点被平分的弦所在直线的方程是 6、已知、是椭圆的两个焦点，是过焦点的弦，则的周长等于 7、若动圆恒过定点，且和定圆：外切，求动圆的圆心的轨迹方程8、中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为求这个椭圆的方程9、抛物线上总存在关于直线：对称的相异两点、，求的取值范围第三单元 导数及其应用考点分析1、了解变化率问题，了解导数的概念和几何意义，了解三角函数：和；了解指数函数：特别地： ；了解对数函数： ，且，特别地；理解幂函数： 特别地：， 2、掌握函数的导数公式，会求多项式函数的导数3、理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间，极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值4、会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题.第1课时 变化率与导数例题选讲例1 下表是海口地区2005年的部分气象资料： 观察表回答下列问题：（）分别算出8月14号与12月14号日平均温度的差，12月13号与12月14号日平均温度差；（）那段时间的变化值要大？那段时间的变化值要小？那一天“陡然”感觉到天气变冷了解：（）8月14日与12月14号的日平均温度的差是，12月13号与12月14号日平均温度差是；（）8月14日与12月14号的日平均温度的变化值要大，8月14日与12月14号的日平均温度变化值要小，但12月14号这天“陡然”感觉到天气变冷了，因它的平均变化率的绝对值变大了例2 如图1-1-14，它表示跳水运动员在跳水运动中距水面高度（）随时间变化的函数的图像根据图像和函数解析式解答：（）分别求，时，运动员的瞬时速度，并说明运动状态；（）求当取何值时，运动员的瞬时速度为零？此时高度是多少分析：由导数的几何意义可知：瞬时速度是指函数图像在，点处的切线的斜率；当切线的斜率为零，即导数为零时，瞬时速度为零解：（），表示运动状态向上；表示运动状态向下；（），时，瞬时速度为零，此时高度为（）例3 已知，函数的图像与函数的图像相切（）求与的关系式（用表示）；（）设函数在内有极值点，求的取值范围分析：已知函数表示的图形为直线，函数表示的图形为抛物线，由圆锥曲线与直线关系可求与的关系式；三次函数在内有极值点应是方程有两个不同的实数根解：（）联立，消去得：，令其判别式，得，（舍），故； （），因此方程即为，三次函数在内有极值点，方程有两个不同的实数根，即得不等式，又，解之为，或故在内有极值点时，的取值范围是，或例4 当室内的有害细菌开始增加时，就要使用杀菌剂刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，但随着时间的增加，它增加幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少如果使用杀菌剂小时后的细菌数量为 （）在右边坐标系中，画出细菌数量随时间的函数图像，并指出当瞬时速度为零时，细菌数量是多少？ （）分别求细菌在，时的瞬时速度，在（）函数图像中，以为切点的函数的图像的切线的斜率是否为时的瞬时速度？分析：这个问题本身不难，但由于实际问题往往涉及的两个变量，的单位差距较大，在作图像时，为了便于观察图象，横、纵坐标的单位长度是可以不统一的 解：（）列表： 描点作图（图1-1-16），即时，细菌数量为； （），即细菌在，时的瞬时速度分别是和，尽管横、纵坐标的单位长度不统一，但是以为切点的函数图像的切线的斜率仍然是时的瞬时速度配套练习 1、若气球的半径与它的体积的函数关系式为，则气球的容量从增加到时，气球半径的平均变化率约为 2、已知曲线，则过点的切线方程为 3、已知函数，且的值域为，写出符合条件的函数的一个解析式为 4、如果银川市某天在时的气温是，在时的气温是，那么这天从到这段时间内银川市的气温的平均变化率为 5、已知某质点的位移与时间的函数关系式是，则当时质点的瞬时速度为 6、某草场的草的亩产量与空气中的平均湿度的函数关系式如图1-1-17所示，则在，的瞬时速度（瞬时变化率）从小到大的顺序是： 7、已知函数的图像在点处的切线与直线平行（）求常数、的值；（）作出函数的大致图像，并求函数在区间上的最大值和最小值8、已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且 （）求直线的方程；（）求由直线、和轴所围成的三角形的面积9、若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围第2课时 导数的概念例题选讲例1求下列各函数的导数： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）分析：利用基本函数的求导公式、四则运算与复合函数求导法则解：（1）；（2） ；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）例2 偶函数的图像经过点，且在处的切线方程为求的解析式分析：根据函数的奇偶性的定义，知偶函数的多项的奇次项系数是零，奇函数的多项的偶次项数为零解：函数是偶函数，又函数的图像经过点，因此有，且，把代入，得，即切点为，联立、解之，所以函数的式是例3已知曲线求：（）在点处的切线方程；（）曲线哪一点处切线与直线垂直分析：利用导数的几何意义，无论是求已知点处的切线，还是已知切线求切点的坐标，关键是求导数解：（），由点斜式，即曲线在点处的切线方程是；（）依题意令，得，代入，得，即曲线在处切线与直线垂直配套练习1、函数在点处的导数是 2、函数的导数是 3、函数的导数是 4、曲线上一点处切线的倾斜角为 5、过曲线上的点且与过这点的切线垂直的直线方程点斜式为 6、曲线在点处的切线方程是 7、曲线：在点的切线为：，在点的切线为：求、的值8、已知函数是上的奇函数，当时取得极值 （）求的单调区间和极大值；（）证明：对任意，不等式恒成立9、已知（）求的递减区间；（）若的解集为，且，求在区间上的极值第3课时 导数在研究函数中的应用及3.3生活中的优化问题举例例题选讲例1 已知（）当时，求证：函数在内是减函数；（）若在内有且只有一个极值点，求的取值范围解：（），由于，因此有，又因为是开口向上的二次函数，所以在内恒成立，故函数在内是减函数；（）设极值点为，则，当时，因为，所以在内，且在内，即在内是增函数，在内是减函数所以当时，在内有且只有一个极值点，且为极大值；同理可知当时，在内有且只有一个极值点，且为极小值；当时，由（）知在内没有极值点因此的取值范围是，或例2 设函数，是的导函数若， （）求的解析式；（）对于，求证：（i）； （ii）解：（）由，得由已知条件，得，解之，或又，； （）证明：（i），由于，因此，； （ii），因此， 例3 已知函数，求： （）函数的单调区间；（）函数的最大值和最小值解：（），令，得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是减函数 （）由（）得，所以最大值是，最小值是例4 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量与每吨产品的价格之间的关系为，且产生的成本为元问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ 解：每月生产时的利润为 由，解之，因在内只有使，故当时，元即每月生产产品时，利润最大值为万元配套练习 1、已知函数在上的最大值是，则的值是 2、函数的极值点是 3、函数的单调减函数区间是 4、若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值是 5、已知函数，若是的一个极值点，则实数是 6、函数在上存在唯一的，使，则实数的取值范围是 7、已知函数， （）求函数的极值；（）若对任意的都有，求实数的取值范围 8、某宾馆有个标准房间供游客居住，当每个房间定价为每天元时，房间会全部住满；房间单价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费元的各种维护费用房间定价多少时，宾馆利润最大？ 9、如图1-1-18，过点作直线，与坐标轴正半轴围成当直线在什么位置时，的面积最小，最小面积是多少？ 选修11模块过关练习题 1、命题：，则命题的否定： 2、焦点在轴上，经过点的双曲线的标准方程是 3、抛物线的准线方程是，则实数的值为 4、函数的单调减函数区间是 5、已知函数在上是增函数，命题“若，且 ，则” （）写出其逆命题，并判断其真假；（）写出其逆否命题，判断其真假并证明你的结论6、已知椭圆的两焦点坐标分别为，且离心率为，点是椭圆上的动点（）求椭圆的方程；（）设，求的取值范围；（）求的取值范围7、命题：方程有两个不等的负实数根，命题：方程无实数根若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围8、用长为，宽为的长方形铁皮做成一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转角，再焊接而成（如图1-1-19），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？ 9、如图2-1-20，抛物线的对称轴上任意一点作直线与抛物线交于、两点，点是点关于原点的对称点（）若，证明：；（）设直线的方程是，过、两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程 10、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别是，（）求的值； （）求证：；（）求的取值范围 答案：第一单元：第1课时：1、（1）假，（2）假，（3）假，（4）真；2、；3、；4、，；5、；6、略第2课时：1、充分不必要；2、充分不必要；3、；4、；5、必要条件，必要条件；6、充要；7、充分不必要；8、充分不必要条件；9、略 第3课时：1、；2、；3、；4、；5、若，则，且；6、且；7、若，则；8、（1）“或”形式，：是的倍数，：是的倍数；（2）“非”形式，：方程有有理根；（3）“或”形式，：不等式的解集为，：不等式的解集为第4课时：1、，但；2、；3、；4、求命题的否定比较简便，其命题的否定是若方程都无实根，则，因此，实数的取值范围是或5、 由命题为真，可以导出以下三个命题：，都为真命题但下一步导出是假命题，由于它引用了假全称命题：，等式两边同除以等式仍然成立6