最优存款理论—2001年全国大学生数学建模竞赛B题论文.pdf

2 0 0 2 年第1 7 卷第2 期电力学报V 0 1 1 7N o 22 0 0 2 1 整笙 塑 Q 坚堕些堕兰些盟里堡婴塞 一 璺罂 塑2 文章编号 1 0 0 5 6 5 4 8 2 0 0 2 0 2 一0 0 9 0 0 S 最优存款理论 一2 0 0 1 年全国大学生数学建模竞赛B 题论文 李向云1 陈峰1 陈坚1 1 山西大学工程学院 山西太原0 3 0 0 1 3 G i v i n gP r i o r i t yt oD e p o s i tT h e o r y T h eT h e m eo fN a t i o n o lC o l l e g eS t u d e n t s M a t h e m a t i c a lM o d e lM a t c h i n g L IX i a n g y u n I C H E NF e n 9 1 C H E NJ i a n l 1 E n g i n e e r i n gC o l l e g e o fS h a n x iU n i v e r s i t y T a i y u a n0 3 0 0 1 3 C h i n a 摘要 采用动态规划理论讨论了最优存款的方 法 根据这些讨论制定出决策流程和决策表 使得 操作更为便捷 关键词 动态规划 决策流程 数学建模 存款理 论 中图分类号 C 垃2 1 3文献标识码 A A b s t r a c t T e c h n i q u e so fd e p o s i ta r ed i s c u s s e db y a p p l y i n gt h e o r yo fd y n a m i cp r o g r a m m i n g F r o mt h i s t h ed e c i s i o np r o c e s s e sa n dt h ed e c i s i o nt a b l ea r eg i v e n f o re a s yo p e r a t i n g K e yW o r d s d y n a m i cp r o g r a m m i n g d e c i s i o np r o c e s s 目 m a t h e m a t i c a lm o d e l l i n g d e p o s i tt h e o r y 1 问题重述 校基金会有一笔数额为M 元的基金 打算将 其存人银行或购买国库券 假设国库券每年发行一 次 取款政策参考银行的现行政策 利率见表1 校基金会计划在n 年内用部分本息奖励优秀 师生 要求每年的奖金额大致相同 且在 年末仍 保留原基金数额 校基金会希望获得最佳使用计 划 以提高每年的奖金金额 请你帮助校基金会在 下列条件下设计基金使用方案 并对M 50 0 0 万 元 1 0 年给出具体结果 表1 存款和国库券年利睾 存款形式 韫行税后年利率 国库券年卓 括期 0 7 9 2 半年期1 6 6 4 一年期 1 8 0 0 二年期1 9 4 42 5 5 三年期2 1 2 五年期2 3 0 43 1 4 a 只存款不购买国库券 b 可存款也可购买国库券 c 学校在基金到位后的第三年要举行百年校 庆 基金会希望这一年的奖金比其它年度多2 0 2 问题假设 收稿日期 2 0 0 2 0 4 1 9 作者简介 李向 云 1 9 8 0 一 男 阿南济源人 山西大学工程学院电力系学生 发电厂及电力系统专业 陈峰 1 9 一 男 陕西富平人 山西大学工程学院动力系学生 热能动力专业 陈坚 1 粥1 一 男 扛西万安人 山西大学工程学院电力系学生 发电厂及电力系统专业 万方数据 第2 期李向云等 最优存款理论 2 0 0 1 年全国大学生数学建模竞赛B 题论文 9 l a 基金到位与发奖金对问差为整年 基金到位 就发奖金可视为时间差为0 年 b 每年发奖金时间一定 c 每年国库券发行时间基本一致 d 每年均能购买到国库券 且数量能满足要 求 e 银行年利率在计算期内基本不变 3 建立模型 3 1 模型使用的参数符号说明 L 最大定期存款年限 K f 第i 年采用j 年定期存款的金额 寐和 K 采用j 年定期存款的年利率 N 奖金 M 原始基金 t 某个集合的最大值 3 2 动态规划模型建立 3 2 1 不考虑购买国库券 基金到位一年后发奖金 基金到位后就存人银 行 第n 年发完奖金后剩余基金为原基金 故分析 第n 年情况 第n 年所能取到的总款项是 墨 j J 1 幽 j 0 5 1 2 z 设第 年所能取到的总款项为 则有 L 毒5 墨咄j 1 羁 M N 因为M 为定值 所以要使N 充分大 则 必 须充分大 又因为我们考虑的基金为非无穷大有 限基金 所以存在一个t 使得下式成立 r i 姜 x n J I i t l 又因为K f K 卜1 K 卜2 K o 5 所以 f K f 一1 K t 一1 羁 0 5 K o5 当且仅当蜀 j 0 j 0 5 1 2 一l 时 N 取得最大值 此时 墨一1 f N4 M 1 羁 因为K 0 5 o 5 墨一l l 0 所以第n 一1 年发完奖金后无半年期或一年期存 款 叉因为我们第n 年后就不计算斯以在第 一1 年发完奖金后 我们不再存二年期 三年期 五 年期定期存款 也即 咒一 j 0 J 2 3 4 Z 一1 我们所能取的款项有 焉一1 一j J 1 鹏 j 2 3 4 z 一1 设第n 一1 年所能取到的总款项为 一1 2 茹 墨十 1 巧 又因为第n 1 年发完奖金后存款不再存 所 以要使奖金充分大的条件为第n 一1 年取款全部作 为奖金 也即 一l N 0 即N 一l 要使N 充分大则 一应充分大 因为我们 所研究的基金为非无穷大有限基金 所以存在一个 最大下确界t 2 使得 i 姜s X H j i t 2 又因为K f K 卜1 K 卜2 K o5 所以 l K t 一1 K z 一1 厩 0 5K o 5 当且仅当墨一 j 0 J 0 5 1 2 一1 时 咒一1 t f t 2 时N 有最大值 同理 直至第n 一 n 一1 年情况与第n 一1 年相 同 第n 一1 年时我们所能取到的款项为 墨一l j J 1 羁 我们所存的款项只有墨一f 设第n 一1 年所能取到的款项为 一f 2 互5 墨 f j j 1 吩 j2 o 5 1 一 N 一墨一l n l N 墨一f 墨一f 由后面确定可视为定值 所以要使N 充 分大 则必需 一 充分大 又因为我们所研究的 基金为非无穷大有限基金 所以存在 最大下确界 t f 使得 j 墨5 瓦十埘 t t 又因为 K 卜l K 卜2 K o 5 所以 硷 z 一1 K 一1 羁 0 5 K o 5 当且仅当墨一 一 j o j 0 5 l 2 z 一1 时 墨一p f t L 时 N 有最大值 万方数据 电力学报 2 0 0 2 越 此时墨 卜f f N 墨 z 1 Z K z 综上分析 可以得出最优存款理论 将存款按 使i K 最大的j 进行J 年期定期存款 一个周期为j 年 仅取本年以前第j 年的j 年期定期存款的本息 然后从本息和中扣除奖金N 余款继续做j 年期定 期存款 以此类推 便可使每年获得奖金N 最大 当年限小于j 时 由于j 年期定期存款未到期 但仍 需要发奖金 为满足这段时间发奖金要求 可取使 j K 次大的j 作为上述的j 以此类推即可 由以上分析可做出决策流程和决策图表 限于 篇限具体内容省略 3 2 2 可存款也可购买国库券时 假设国库券每年发行时间大致相同 因此 便 可把国库券视为一种定期存款 根据优化理论分析 要使奖金最大 就必需加 以整定 使发奖金的时间与国库券发行及到期日保 持一致 这样便能保证每年发的奖金最多 可以假设基金到位时正是发行国库券的时期 在这种情况下 讨论基金到位后就发奖金的决策 X n 4 4 33 0 86 0 0X 2 3 4 18 3 80 0 0 X 4 5 10 4 3 1 8 3N l2 0 69 6 3 X n 2 3 7 06 3 6 X 2 5 l 0 4 31 8 3 X 5 5 4 42 5 84 0 0 i 2 N 14 4 83 5 5 6 X 1 3 20 7 06 2 3 X 1 5 l0 4 31 8 3 X 3 5 10 4 3 1 8 3 N 12 0 69 6 3 5 00 0 00 0 0 2 4 1 4 基金到位后一年发奖金进行决策 X j l 4 38 3 51 5 0勋 4 2 0 9 48 8 0 x 4 5 1 1 7 26 0 1 N 13 5 67 0 0 X n 26 6 47 3 9X 2 5 11 7 26 0 1 X 5 5 4 43 8 78 1 0 1 2 N 16 2 80 4 0 X 1 3 23 2 75 0 6X 1 5 11 7 26 0 1 2 3 5 11 7 26 0 1 N M 13 5 67 0 0 5 00 0 00 0 0 2 7 1 3 4 模型推广 针对发奖金的时间和银行存款的时间 可控制 使其与基金到位保持同步 倘若基金到位与国库 券发行一致 可把国库券视为一种定期存款 可采 用原模型 但事实上会出现的情况是 基金到位往 往不与国库券发行保持一致 一般有两种情况 a 基金到位的时间超前于国库券发行的时间 b 基金到位的时间滞后于国库券发行的时间 若滞后时间小于半年的可视为超前时间大于 半年 由模型分析 可以得出要使每年所能发的奖金 充分多 必须使发奖金的时间与定期存款或国库券 的到期时间相一致 而它们又都是整年份 所以为 充分利用基金 可以通过进行活期存款 半年定期 存款或半年定期与活期相结合的方法来进行基金 整定 整定后的初值作为原模型的初始资本 按 模型要求进行决策 设基金到位时间起前发行国库券t 天 当f K o 故K o 5 一K o 0 t K o K o 5 3 6 5 一K o K o 5 2 0 采用 方案整定优于方案 5 模型评价 a 模型是建立在发行国库券 存款到期年限与 发奖金的时间一致的基础之上韵 具有一定的局限 性 但经过推广整定对期限不一致情况做一些特殊 处理之后 使模型更具应用价值 这种e 下转第9 5 页 万方数据 第2 期郭忠海 一类差分方程全局性解的研究 定理2 2 设 满足条件 凰 七誓I z U 杯 一孟7 j U z 一童 0 其中z 0 c o 定义函数F 为 F 牟尹 孟 r 王 鲁 F z z 立T 尹 孟7 王 工 工 直i 亍l 且F 没有最小正周期为2 的周期点 那么式 1 的 平衡解至关于所有正解全局吸引 一 告 珂 j A 飞 A 一 学 一e 宁 珂 j A e A e 簧 F 一E 因此弘 F 2 同样可推得 F 芦 这样定 理得到了证明 参考文献 1 K o c i c K La n dL a d a s G G l o b a lb e h a v i o ro fn o n l i n e a r 证明 由G 刎 舟 洲 铮 2 证明 由G z y 卉 洲y 一 z 每 f 2 及定理2 1 可得 啦 G a e 如 2 毒 站 气 一 一 毒字 z q 贸 蜊气 一 一 一e 爿 l 上接第9 2 页 推广或许使所求出的N 不是最大值 但 可以肯定这种情况下N 与最大值相差不多 可近 似认为就是最大值 b 由于在处理定期存款的年限及利率时使用 的均是通用字符 因此模型更有一般的应用价值 它为进行同类资金处理指明了方向 c 模型画出决策流程及决策图表后清晰明了 便于操作 模型还有其缺点 是一种流程模型 没有一个 统一的通式 比较繁琐 不够简洁 模型是在一 定的理想条件下建立起来的 具有自身的局限性 比如 关于国库券的发行 每年大致月份可能相同 但在具体哪个月哪一天则具有很大随机性 同时 能 购买到国库券或者购买到的数量是按理想情况来考 虑的 可能与实际不相符 模型没有考虑学校紧急用 款的特殊要求 是在理想环境中操作的 误差较大 6 模型可靠性分析 对只存款和可以购买国库券两种情况下基金到 位就发奖金和基金到位一年后发奖金两种状态进行 比较 可以发现数据基本符合实际 说明模型比较 可靠 a 基金到位就发奖金情况下 d i f f m c ee q u a t i o n so fh i g h e ro r d e rw i t ha p p l i c a t i o l a s K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e m D o r d r e c h t 1 9 9 3 K o c i c K L a n dL a d a s G G 1 0 h a la t t r a c t i v i t yi nn o n l i n e x rd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s P r o c m i l l e r M a t h S 0 c 1 9 9 2 1 1 5 1 0 8 3 1 0 8 8 责任编辑 杨兆强 只存款时N l0 3 95 7 9 N M 2 0 7 9 可购买国库券时N 12 0 6 9 6 3 N M 2 4 1 4 2 0 7 9 2 4 1 4 2 4 1 4 3 1 4 且相差