高考三角函数综合试题考点解析.pdf

1 8 重庆 数学教学通讯 2 0 0 4年 6 月 下半月 总第 2 1 1 期 高考三角函数综合试题考点解析 四川省渠县中学 6 3 5 2 0 0 郑兴明 重庆北碚职教 中心4 0 0 7 0 0 龙淑芳 三角函数以其基础性 工具性 综合性等特征而成 为高考的重点内容 根据近年高考新课程卷的分析研 究 不难发现下面考点是每年高考的重点内容 预计它 们还是今后高考命题的首选题材 下面探求这几类考 点及其求解策略 考点 1 三角函数概念与性质应用问题 例 1 2 0 0 3 年新课程卷文科高考题 已知函数 厂 z 一s i n 0 0 是 R上的偶函 数 其 图 象 关 于 点 M 0 对 称 且 在 区 间 0 号 上 是单调函数 求 和 的值 解析 一般地 函数Y 厂 z z R 的图象自身 关于点 k 对称 厂 z f h z 一 2 k 或 厂 z f 2 h z 2 k 厂 z z R 的图象关于 直线z h对称 厂 z 一f h z 或 厂 z 一 f 2 h z 运用此性质可解决三角函数的单调性 奇 偶性 对称性 参数求值等问题 解 由 厂 一 z 一 厂 z 得 s i n 一 z 一 s i n o J x 化简得 c o s i n w x 0 此式对任意 都成立 故 c 0 s 0 由0 7r 得 厂 z 一C O S OJ X 由 z 的图象关于点 M 对称得 厂 一 z 厂 z 0 取 z 0 得 厂 等 c s 一 0 得 k 号 z 又 0 2 k 1 N 当 时 一 号 厂 c s 2k 0 z 在 0 号 上 当 时 一 厂 z c 0 s z 在 0 上 是 减 函 数 当 1 时 2 厂 z c s 2 z 在 0 号 上是减函数 当k 2 时 厂 一C O S O T 在 0 号 上 不 是 单 调 函 数 n 综合得 一 或 2 考点 2 三角函数条件求值问题 例 2 2 0 0 2 年 新 课 程 卷 高 考 题 已 知 c s a 一 詈 号 a 求 c s 2 a 的 值 解析 处理条件求值问题时 一要处理好角的终边 位置和三角函数的符号 二能运用同角函数关系 和 差 倍角公式去恒等变形 以转化题设条件与待求式 创造条件寻求时机代入求值 解 由 题 设 得 c s a s in a s in 2 a 去 又 a 0 3 2 r a 故 2 a 3 一s 2 a 一 一 c s 2 a c s 2 舵 s 一 s in 2 a s in 一 一 2 4 2 一 2 5 一 5 0 2 5 c o s 9 0 半 0 E P z c o s s in s 号 c c 1 s in 鲁 I 2 d q v 4q A 2 c 得 B c o s D n o c 0 s c 1 l 8 0 A 1 8 3 c 式可以化为2 c 一 则c o s C T 3 且 c 一 厂了 1 c o s 等 s in 等 2 s in c s C 1 8 c 3 A 6 推 得 B 一 9 维普资讯 数学教学通讯9 2 0 0 4 年 6月 下半月 总第 2 1 1 期 重庆 1 9 考点 3 三角函数最值与作图问题 例 3 2 0 0 3 年新课程卷高考题 已知函数 厂 z 2 s i n x s i n x C O S X 求函数 厂 z 的最小正周期和最大值 在给出的直角坐标系中 画出函数 y 厂 z 在 区 间 一要 要 上 的 图 象 解析 将含有正弦与余弦和的函数式化为正弦型 函数 y A s i n c 可解决三角函数的单调性 周 期性 最值 图象变换和作图等诸多问题 这也是历届 和今后高考试题的重要题材 解 厂 z 一 2 s i n z 2 s i n x c o s x 一 1一 c o s 2 x s i n2 x l s i 2 一 故所求最小正周期为 最大值为 1 2 由 得 3 丌 7 r 7 r 3 丌 5 丌 Z 一 8 8 8 8 8 1 1一 2 1 1 2 1 故可用五点法可作出函数 Y一 厂 z 在区间 一 上的图象 图象略 考点 4 三角函数与解斜三角形问题 例4 2 0 0 1 年全国高考题 已知圆内接四边形 A B C D的边 B 2 B C一 6 C D D A一 4 求四边形 A8 C D 的面积 解析 求解斜三角形问题时 常运用正弦 余弦定 理 三角形内角和定理 三角形面积公式去沟通边与角 的联系 还应通盘考虑三个已知条件 制定出相应消元 策略 以能得到欲求的结果 解 如图 1 由四边形 A8 C D 内接于圆得 B 一 1 8 O 一 D s i n B s i n D C O S B 一 一 C O S D 连结A C 在 A C D中 由余 弦定理得 AC 一 4 4 一 2 4 4 c o s D 3 2 3 2 c o s D 在 A B C中 由余弦定理得 C 2 6 一 2 2 6 c o s B 图 i C 4 0 2 4 c o s D 由 得 c s B一一 s i n D D S S c D 一 2 6 4 4 s in D 8 考点 5 三角函数与解几参数范围问题 例5 2 0 0 1 年新课程卷高考题 设 0 此 方 程 组 有 4 解 等 价 于 I Y 2一 c o s 0一 s i n 0 0 Y 0 故0 证明 4 个交点坐标满足 y 2 c o s 0 故4 个 交 点 在 半 径r 一 夏 o 0 求m的取值范 围 3 如图 AB C D是一块边 长 为 1 0 0 米的正方形地皮 其中A TP S是一半径为 9 0 米 的扇形小山 P是弧T S上一点 其余部分都是平地 现 一 开发商想在平地上建造一个有边落在B C与C D上的 长方形停车场P Q C R 求长方形停车场的最大值与最小 值 答案与提示 一 1 一 1 一 4 2 一两8 4 3 4 二 1 由题设可知 点 A c o s a s i n a 和点 B c o s s in 在直线 了z 口 0 上 又在圆z y f z y 一 1 1 上 则 一 l 3 z y 口一 0 4 z 2 口 了z 口 2 1 0 由韦达定理 有 c o s a c s 一丁 2 而 i i 口一 T s l n 口 s l n 一 COS s 一 了c o s 口 口 了c o s 口 3 c o s a c o s fl s n z c s a c s s n 一 一 2 移项 得 f c o s 0 2 ro s i n 0 一厂 一2 m一2 因为厂 z 是奇函数 所以f c o s 0 2 ro s i n 0 f 2 m 2 叉 f x 是 R上的减函数 C O S 0 2 ros i n 0 维普资讯 数学教学通讯 2 0 0 4 年 6 月 下半月 总第 2 1 1 期 重庆 2 i 高考平面向量试题考点解析 四川省渠县中学 6 3 5 2 0 0 郑兴明 重庆外语 学校4 0 0 0 6 0 石 桥 平面向量是解决代数 三角 几何等问题的现代化 工具 因而倍受高考命题专家的青睐 已成为近四年高 考新课程卷的重要考查内容 为帮助考生了解高考题 型变化和发展趋势 下面介绍平面向量试题的考点及 其求解思路与方法 考点 1 向量概念和性质正误判断 例 i 2 0 0 0年新课程卷高考题 设 a b C 是任意 的非零平面向量 且相互不共线 则 口 b c一 c a b一 6 l a f f b f f a b f 6 c a一 c a b 不与C 垂直 3 a 2 b 3 a一 2 b 一9 l a l 一4 l b l 中 其中真命题的有 A B C D 解析 在实数与向量积和向量内积的两种运算中 满足乘法交换律和乘法对加法的分配律 而前者还满 足乘法结合律 后者乘法结合律一般不成立 若 a上 b c a b 0 这是解决向量性质 运算定律 位置关系 等问题的理论依据 解 口 6 c 是实数a b与向量C 的积 是一个与 C 共线的向量 而 c 口 b 是一个与b 共线的向量 在一 般情况下它们不相等 故 假 向量 a b非零不共线 故 真 对于 6 c a 一 c n 6 c 0 故应垂直 由数量积对加法的分 配律可知 真 所以选 D 考点 2 向量加减法几何法则应用 例 2 2 0 0 3 年新课程卷高考题 如图 0是平面上 一 定点 A B C是平面上不共线的三点 动点 P满足 一 耐 M 0 c o 测 点 P的轨迹一定通过 A B C的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 解析 向量的加法适合三角 形法则或平行四边形法则 即若 A B C D为平行四边形 则 或A g A 高 考常借助平几图形或立几图形的 线线 线面位置关系等知识考查 C A M B 向量加法 减法几何法则的应用和识图 画图 动手操 作的基本技能 解 女 图 分别表示 方向上 的单位向量 根据向量的加法的平行四边形法 贝 IJ 知向量 与以 为邻边的菱形 的对角线向量 A为起点 对应 又由题设和向量加法 的三角形法则知点尸在 B A C的平分线上运动 即A P 通过 x A B C的内心 故选 B 0 令 s i n 0 f 0 0 6 f o 1 g O f 一2 m t 2 n 1 0一 m 一 m 2 m 1 0恒成立 则 f 解 I g o 0或I 一 z 2 m 1 o 或I g 1 o 解 之 得 一 3 如 图 连结 AP 设 PAB 0 O 0 9 O 延长 R P交 A B于 M 则 A M 一 9 0 c o s 0 MP一 9 0 s i n 0 P Q MB AB AM i 0 0 9 0 c o s 0 PR MR一 肘P l 0 9 0 s i n 0 故矩 形 PQ CR 的 面积 S P Q c R P Q PR i