数码相机定位论文.pdf

2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮 件 网上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问 题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他 公开的资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反 竞赛规则的行为 我们将受到严肃处理 我们参赛选择的题号是 从 A B C D 中选择一项填写 A 我们的参赛报名号为 如果赛区设置报名号的话 清华大学 所属学校 请填写完整的全名 参赛队员 打印并签名 1 吕正 2 王刚 3 杜松沛 指导教师或指导教师组负责人 打印并签名 日期 2008 年 9 月 21 日 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 赛区评阅记录 可供赛区评阅时使用 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号 由赛区组委会送交全国前编号 全国评阅编号 由全国组委会评阅前进行编号 1 数码相机定位数码相机定位 摘要摘要 我们利用射影几何的性质 建立了一般照相机的模型 基于此模型 提出了 一种几何作图的方法来计算像平面上的圆心 并和简单的点坐标拟合法进行比较 最后 利用照相机的外部参数矩阵对双目系统进行反向标定 在确定圆心的问题中 考虑到一般情况下 圆通过射影照相机在像平面上会 形成一个椭圆 一个直观的想法是假定圆心的像恰好落在椭圆的中心 这样先利 用拟合的方法求出椭圆的方程 然后结合几何知识求得椭圆的中心坐标 即得到 圆心的像的位置 但根据射影几何的原理 在一般情况下圆心的像不会精确的落 在椭圆的中心 特别是当相机的主轴和圆所在的平面夹角较小时 圆心的像明显 偏离椭圆的中心 此时使用拟合法会产生较大的误差 我们根据射影几何保持相 交性和相切关系不变的性质 提出了利用椭圆的公切线确定圆心的方法 并利用 Maya 软件的相机功能生成像图 进行了大量的实验 结果发现公切线法能够克 服拟合法的缺点 使结果的准确性大大提高 误差在一个像素之内 并且具有 良好的鲁棒性 对相机的位置与角度不敏感 在确定两相机相对位置的问题中 我们把相机的属性分为表示相机光学特性 的内部参数和表示相机位置的外部参数 并分别用矩阵表示 相机从三维空间到 像平面的映射由这两个参数矩阵完全确定 利用前面确定圆心的方法得到点的对 应关系 计算出单个照相机在三维空间中的位置和朝向 进而计算双目系统中两 部相机的相对位置 关键词关键词 双目定位 系统标定射影几何 拟合法 切线法 2 目录目录 数码相机定位 1 摘要 1 1 问题重述 3 2 问题分析 3 3 照相机的数学模型 3 3 1 坐标系的选择 3 3 2 简单的针孔照相机 4 3 3 位移和像素尺度 5 4 拟合法和切线法求圆心 6 4 1 图像的预处理 6 4 2 拟合法求圆心在像平面上的像坐标 8 4 3 切线法求圆心在像平面上的像坐标 9 4 4 两种方法的检验 分析与比较 13 5 确定两部相机的相对位置 16 5 1 确定单个照相机的位置和朝向 16 5 2 计算两个照相机的相对位置 17 6 总结 18 7 参考文献 18 3 1 问题重述问题重述 题目探讨的是数码相机双目定位问题 本质就是进行系统标定 题目给出了 已知尺寸的靶标信息以及它们在固定位置的相机下所成像的信息 我们的任务是 1 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标 这里坐标系原点取在该相机的光心 平面平行于像平面 2 计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标 3 设计一种方法检验提出的模型 并对方法的精度和稳定性进行讨论 4 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法 2 问题分析问题分析 整个问题可以分成两个大部分 首先 对于一个由圆形组成的靶标 使用照 相机进行拍照 要确定出照片中的每一个圆的圆心位置 从而得到实物和相片之 间的几组点的对应关系 然后 使用前一步中的靶标 使用双目系统进行拍照 设计出一种方案来测量双目系统中两照相机的相对位置 文章的后续部分按照如下方式组织 第 3 节首先从简单的针孔照相机模型出 发 利用射影几何 建立一般照相机的数学模型 这是整个问题的基础 第 4 节介绍了两种计算像平面上圆心的方法 基于统计数据的拟合法和基于几何作图 的切线法 并对两种方法进行了分析和比较 第 5 节基于前面的讨论 通过标靶 上的点和像平面上点的对应关系 计算出单个照相机在三维空间中的位置和朝向 进而计算双目系统中两部相机的相对位置 3 照相机照相机的数学的数学模型模型 3 13 1 坐标系坐标系的选择的选择 为方便模型和映射关系的描述 定义三个坐标系如图 3 1 所示 1 像平面二维坐标系 原点 I 为照相机光轴和像平面的交点 轴分 别平行于相机成像平面的行和列 2 照相机坐标系 原点 C 表示照相机的光心 轴为照相机的光轴 轴 分别平行于像平面的 轴 3 全局坐标系或世界坐标系 假设的保持固定的坐标系 原点为 O 用来 表示照相机的相对位置和朝向 4 图 3 1 3 23 2 简单简单的针孔照相机的针孔照相机 照相机的功能是将空间中的点映射为像平面上的点 针孔照相机是基于中心 投影的 下面采用射影几何的性质来研究照相机的模型 在照相机坐标系下 考 虑空间中一点到像平面的中心投影 如图 3 2 设照相机坐标系中一点 P 经过照相机投影到像平面上 得到在像平面上的坐标点 P 坐标之间 的对应关系为 x y z T f x z f y z f T x y T 3 1 图 3 2 采用齐次坐标系 3 1 可以表示为 1 0 0 10 1 若记 P1 0 0 1 0 y x z y x O IC y C f y I z P P 5 我们得到 P1 3 2 其中 分别表示空间中一点在照相机坐标系中的坐标和它在像平面上的 齐次坐标 矩阵 P1 表示照相机的内部参数 它只和照相机本身有关 例如几何 和光学特性等 由于照相机在空间中的位置和主轴的方向是任意的 任意两个照 相机坐标系可以通过旋转和平移相互联系 假设 是某一照相机坐标系中点的坐 标 表示该点在全局坐标系中的坐标 于是有 R 3 3 其中 表示照相机的中心在全局坐标系中的坐标 R 是一个 3 3 的旋转矩 阵 表示照相机的朝向 也就是主轴的方向 在齐次坐标系下表示为 R R T1 X Y Z 1 R R T1 其中 分别表示空间中一点在照相机坐标系中的坐标和它在像平面上 的齐次坐标 若记 P2 R R T1 P P1 P2 3 4 结合 3 2 式得到 P1 P1 R R T1 X Y Z 1 P1 P2 P 3 5 P2 表示照相机的外部参数 即照相机相对于全局坐标系的三维位置和方向 因此 一个照相机的全部参数由矩阵 P1 和 P2 完全决定 3 33 3 位移位移和和像素像素尺度尺度 3 1 式假定像平面的坐标原点在光轴和像平面的交点 称为主点 上 而实 际情况可能不是这样 更一般的情况为 T f x Ix f Iy T 3 6 其中 Ix Iy 为主点的坐标 另外 上述推导过程还假设了像平面的坐标在两个轴向上具有相等尺度的欧 式坐标 但照相机的像素可能不是正方形 如果图像的坐标以像素来衡量 那么 需要在每个方向上引入非等量的尺度因子 1 如果在像平面 x 轴和 y 轴方向上单 位距离的像素个数分别为 nx 和 ny 那么需要将照相机的焦距 f 分别换成 x f nx和 y f ny 来对x 轴和 y 轴方向上的坐标进行计算 同理 主点的 坐标应该表示为 Ix Iy 其中 Ix Ix Iy Iy 基于上述考虑 变 换矩阵 P1 应该修正为 6 P1 Ix 0 Iy 0 1 0 3 7 在以下的分析中 照相机模型采用式 3 4 3 5 和 3 7 来表示 圆在上述模型下的映射情况如图 3 3 所示 由射影几何的性质 不考虑退化 的情形 一个圆经过投影后是一个封闭的二次曲线 即椭圆 但原始圆的圆心不 一定映射为椭圆的圆心 图 3 3 4 拟合法拟合法和切线法和切线法求圆心求圆心 4 14 1 图像的预处理图像的预处理 用 MATLAB 的 imread 命令将题目所给的标靶的像图读入到工作空间 如图 4 1 所示 可以发现这是一幅 768 1024 的图像 即图像的像素点阵共有 768 行 1024 列 该图像在 MATLAB 中表示为一个三维矩阵 Image1 768x1024x3 其中第 一维是像素点的行坐标 第二维是像素点的列坐标 第三维是像素点的 RGB 色彩 值 为了简化问题 我们将该三维矩阵转换成一个二维矩阵 Image2 768x1024 使得基色R值小于100的像素点对应元素值为0 其他像素点对应元素取值为1 这样就得到了一幅黑白二值图像 如图 4 2 所示 7 图 4 1 靶标的像 原始图像 图 4 2 靶标的像 黑白二值图像 再利用 MATLAB 的 bwmorph 命令 提取 5 个圆的轮廓 得到如图 4 3 所示的 轮廓图像 该图像在 MATLAB 中表示为一个二维矩阵 Image3 768x1024 8 图 4 3 靶标的像 轮廓图像 这样做的好处是减少了需要处理的像素点的个数 提高了程序运算的速度 另外对于下面所使用的拟合法和切线法 只需要用到轮廓数据 因此图 4 3 所示 的轮廓图像是接下来两种算法的出发点 4 24 2 拟合法求圆心在像平面上的像坐标拟合法求圆心在像平面上的像坐标 4 2 14 2 1 拟合法的模型假设拟合法的模型假设 在以下的分析中 假设靶标上的圆映射到像平面上是一个椭圆 且靶标上圆 的圆心映射到像平面上对应椭圆的中心 4 2 24 2 2 拟合法的数学模型拟合法的数学模型 在像平面上以左上角为原点 垂直向下的方向为 轴正方向 水平向右的方 向为 轴正方向建立平面直角坐标系 根据平面解析几何的知识 像平面上椭圆 的轮廓点坐标 应该满足如下形式的二次方程 2 2 0 4 1 当 2 4 0 时 上述方程是椭圆方程 且椭圆的中心坐标 0 0 为 0 2 2 4 0 2 2 4 4 2 于是只要想办法求得式 4 1 中的参数 就可以通过 4 2 式 求出椭圆的中心坐标 上述这些参数只需要 5 个轮廓点的坐标数据即可求得 但在本题中 同一椭 圆的轮廓点远多于 5 个 且由于像图本身以及轮廓提取所造成的误差 所有这些 点并不能满足同一椭圆方程 在这种情况下需要使用非线性拟合的方法 利用同 一椭圆所有轮廓点的坐标数据 求得参数 的最优解 这实质上 是一个无约束优化问题 目标函数是 9 min 2 2 2 1 其中 为该椭圆轮廓点的总数 用 MATLAB 的 Isqnonlin 命令就可以求得 上述问题的最优解 4 2 34 2 3 拟合法的实验结果拟合法的实验结果 根据上述原理 编写 MATLAB 程序进行椭圆拟合 五个椭圆的中心坐标列表如 下 以像素为单位 表 4 1 拟合法得到的椭圆中心像素坐标 椭圆编号 1 上左 2 上中 3 上右 4 下左 5 下右 列坐标 322 8958 422 9967 639 9048 284 6649 582 7422 行坐标 189 4915 196 9404 213 1479 501 7750 502 9842 将各个中心标在图中 如图 4 4 所示 图 4 4 靶标的像 用白色圆点标出椭圆中心 4 34 3 切线法求圆心在像平面上的像坐标切线法求圆心在像平面上的像坐标 4 3 14 3 1 切线法的切线法的模型假设模型假设 由射影变换的性质可知 射影变换是保线变换 1 把直线映成直线 交点映 成交点 而相切于一点是相交于两点的极限情形 所以射影变换也保持相切关 系不变 在以下的分析中 假设靶标上的圆映射到像平面上是一个椭圆 并且照 相机的映射保持相交性 相切关系不变 另外 还假设所使用的靶标中至少有三 个圆心不共线的圆 而且这些圆两两不相交 10 4 3 24 3 2 切线法切线法的的数学模型数学模型 在二维平面中 考虑两个互相不交的圆如图 4 5 左 先假设两个圆的半径不 同 作两个圆的四条公切线 两组共切线分别相交于点 A B 由平面几何性质 可知过 A B 两点的直线经过两个圆的圆心 由于射影变换保证相交性和相切关 系不变 若对图 4 5 左所示的图像进行拍照形成图 4 5 右所示的像 A B 两 点分别对应于像平面上的 A B 那么 A B 是像平面上两个椭圆两组公 切线的交点 且它们所确定的直线必然通过两个圆的圆心在像平面上的像点 如 图 4 5 右所示 图 4 5 我们把直线 A B 称为两个椭圆的正割线 如果靶标上有三个两两不相交并 且圆心不共线的圆 则在像平面上可以得到三个两两不相交的椭圆 并且三个圆 心在像平面上不共线 由这三个椭圆可以得到三条两两不平行的正割线 其中每 条正割线都经过像平面上的两个圆心 因此这三条正割线的三个交点即为像平面 上的三个圆心 整个过程如图 4 6 所示 B A B A 11 图 4 6 特别的 对于两个半径大小相同的圆 它们的两条外公切线互相平行 但在 像平面中 如果这两条公切线可能相交于一点 称为消隐点 如图 4 7 所示 图 4 7 则由消隐点的性质 1 可知 像平面中的正割线 A B 的原像即为过点 B 且平行 于两条公切线的直线 仍然通过两个圆的圆心 因此切线法仍然可行 一个特殊情况是像平面中两个椭圆的外公切线平行 此时由射影变换不改变 相交性可知靶标中两条外公切线也平行 也即两个圆的大小相同 由 1 中的结 论 方向为 的三维空间中直线的消隐点是经过照相机中心并且方向为 的射 线与像平面的交点 O 3 O 2 O 1 B B A 12 由于像平面中的两外公切线平行 没有在像平面上产生消隐点 根据上述结 论可知标靶中的两条外公切线与像平面没有交点 也即空间中靶标所在的平面和 像平面平行 在这种情况下 照相机的变换保持了原靶标的长度比例不变 故此 时像平面中的圆心就是椭圆的中心 这种退化的情形可以判断后单独处理 采用 4 2 中的方法可以求出椭圆的圆心 即像平面中的圆心 4 3 3 求公切线的算法求公切线的算法 根据上面所述的切线法数学模型 使用切线法求圆心像坐标的关键步骤是求 得任意两个椭圆之间的公切线 这需要设计专门的算法 在 MATLAB 环境中 对 图像进行预处理之后 我们得到了 5 个椭圆的轮廓点坐标 在此基础上求解椭圆 之间的公切线 主要利用公切线的如下两个性质 单侧性 设直线 L 是椭圆 1 椭圆 2 的一条公切线 那么椭圆 1 上所有的点 都位于直线 L 的同一侧 椭圆 2 上所有的点都位于直线的同一侧 但椭圆 1 和椭 圆 2 可能位于 L 的同侧或异侧 斜率极值性 设直线 L 是椭圆 1 椭圆 2 的一条公切线 与两椭圆分别交于 A B 两点 固定 A 点不动 将 B 点邻域内所有的点与 A 点相连 每一条连线都 有一个对应的斜率 在 B 点公切线 L 的斜率取到极值 利用公切线的上述两条性质 可以设计算法如下 对于椭圆 1 和椭圆 2 只 有轮廓 先将椭圆 1 上的所有点与椭圆 2 上的所有点两两相连 记录每一条直 线的斜率 这样 椭圆 2 上每一点都对应了若干直线的斜率值 数目与椭圆 1 上点的数目相同 将这些斜率的极值 椭圆 2 上每一点对应两个斜率极值 筛 选出来 再从这些筛选出来的直线中选择满足单侧性条件的 4 条直线 即是两椭 圆的 4 条公切线 在求得 5 个椭圆两两之间的公切线以后 就可以利用前述的切线法模型求出 5 个圆心的像坐标了 4 3 4 切线法的实验结果切线法的实验结果 利用上述算法可以求出任意两个椭圆之间的公切线 用 MATLAB 软件将其中 两个椭圆的公切线画出来 结果如图 4 8 所示 13 图 4 8 用 MATLAB 画出两个椭圆的 4 条共切线 从上图可见 该算法正确画出了两个椭圆之间的两条内公切线和两条外公切 线 我们用相同的方法逐一画出任意两个椭圆之间的公切线 结果都是正确的 从而验证了算法的正确性 求出所有公切线以后 利用切线法模型 求得所有的正割线 然后求得这些 正割线的交点 就是圆心在像平面上的像坐标 将利用切线法求得 5 个椭圆的中 心坐标 以像素为单位 列表如下 表 4 2 拟合法得到的椭圆中心像素坐标 椭圆编号 1 上左 2 上中 3 上右 4 下左 5 下右 列坐标 323 2892 423 3571 640 1224 284 9215 582 9665 行坐标 189 9145 197 2909 213 6239 502 2257 503 2382 4 4 两种方法的检验 分析与比较两种方法的检验 分析与比较 上面用两种方法求得了 5 个圆的圆心在像平面上的像坐标 对比表 4 1 表 4 2 所示的结果可见 两者的行 列坐标相差在 0 5 个像素以内 这个差距人眼 难以分辨 因此两种方法得到的答案是相似的 为了更好的评估这两种方法的 性能 我们采用 Maya2008 软件的相机功能 获取更多的实验样本 进行实验 4 4 1 两种方法的检验两种方法的检验 Maya2008 软件所提供的相机模型与本文采用的相机模型基本相同 可以用来 检验前面提出的拟合法和切线法 利用 Maya2008 在平面上的不同位置画出几 个正圆 用网格标记出各个正圆的圆心 然后开启相机 调节相机位置和角度 14 拍摄得到平面图对应的像图 根据网格可以方便的找到圆心在像图中的像 记下 圆心的像在像平面上的坐标作为正确答案 然后分别用拟合法和切线法求解平面 上圆心的坐标 将得到的结果与正确答案进行比较 就可以检验两种方法的准确 性 按照上述方法 我们进行了大量的实验 结果表明 当相机位置靠近圆的中 心 角度较正时 拟合法与切线法的结果相似 均与正确答案相差很小 当相机 位置靠近圆的边缘 角度较偏时 切线法的结果仍与正确答案相差很小 但拟合 法得到的答案误差较大 下面列出两组实验数据 这两组数据都属于相机位置靠 近圆的边缘时的情况 表 4 3 模型检验实验数据 第一组 椭圆编号 1 2 3 4 5 正确答案 行 列 309 67 133 321 176 713 371 236 346 608 拟合法结果 行 列 309 8610 65 6674 154 7652 316 8229 181 3172 714 5310 372 4673 236 4554 350 4683 607 0080 切线法结果 行 列 308 4080 66 3164 132 9922 320 4658 175 1748 715 9166 371 3723 236 6291 346 8967 608 2780 表 4 4 模型检验实验数据 第二组 椭圆编号 1 2 3 4 5 正确答案 行 列 122 147 54 467 133 675 212 409 362 464 拟合法结果 行 列 128 8216 143 0355 58 4662 467 8034 136 8318 677 9245 217 3960 408 8346 367 0057 464 7901 切线法结果 行 列 122 1583 146 9508 54 2024 467 2297 132 6469 675 8272 211 6036 409 2116 361 7749 464 4568 从上面列出的两组实验数据可见 切线法的结果与正确答案相差基本在 1 个 像素点以内 但拟合法的结果与标准答案相差较大 尤其是第一组数据的第二个 圆 行坐标相差了 11 个像素点之多 将该情况画图如下 15 图 4 9 第二组数据的第 2 个圆对应上图中最大的 左上 那个椭圆 实际圆心映射 到像平面上的坐标是 行 133 列 322 用拟合方法求得的椭圆中心坐标是 行 154 7652 列 316 8229 在图中能够明显看出与实际圆心的像在位置上的差别 用切线法得到的圆心坐标是 行 133 1544 列 320 4803 在图中与实际圆心的像 在位置上基本看不出差别 由此可见 在这种情况下 相机靠近圆边缘 角度较 偏 拟合法已经基本失效 但切线法仍是适用的 这说明切线法比拟和法得到的 结果更准确 事实上 在本文的第 3 部分相机模型中已经讨论过 圆心映射到像 平面上并不一定是椭圆的中心 这违背了拟合法的模型假设 且这种差别在相机 靠近圆边缘且拍摄角度较偏的情况下是十分明显的 因而此时拟合法不适用 4 4 2 精度分析精度分析 从上面的两组实验数据可见 拟合法与切线法求得的圆心的像坐标都存在一 定的误差 这些误差的主要来源如下 1 像素量化误差 计算机中的图像是以像素为单位进行空间量化的 因而 在像平面上 椭圆上的点的像素坐标都是整数 严格来讲 这些点不能满 足同一椭圆方程 这在拟合法以及切线法中引入了一定的误差 2 图像预处理带来的误差 在图像预处理环节有一个提取椭圆边缘轮廓的 步骤 这个步骤由 MATLAB 的 bwmorph 命令实现 可能会引入一定的误 差 3 圆的中心并不一定映射到椭圆的中心 这个仅对拟合法产生影响 在相 机靠近圆边缘且拍摄角度较偏的情况下给拟合法带来很大误差 如 4 4 1 中实验结果所示 16 4 4 3 灵敏度分析灵敏度分析 两种方法的灵敏度分析如下 1 拟合法 从 4 4 1 的实验结果可见 拟合法的结果对相机的位置和角度比 较敏感 当相机位置靠近圆的中心 角度较正时 拟合法的结果与正确答 案相差很小 当相机位置靠近圆的边缘 角度较偏时 拟合法得到的答案 误差较大 2 切线法 从 4 4 1 的实验结果可见 切线法比较鲁棒 相机的位置与角度 对其结果影响不大 4 4 4 两种方法的优缺点比较两种方法的优缺点比较 拟合法 切线法的优缺点分别叙述如下 1 拟合法 优点是算法实现比较简单 对圆的个数没有限制 即使只有一 个圆也可以用拟合法找圆心 缺点是对相机的位置和角度比较敏感 当 相机位置靠近圆的边缘且拍摄角度较偏时 结果的误差比较大 2 切线法 优点是比较鲁棒 对相机的位置和角度不敏感 结果误差较小 且稳定 缺点是求公切线的算法较复杂 程序运行时间比较长 且只能在 有三个或三个以上的圆时才能使用 5 确定两部相机的相对位置确定两部相机的相对位置 5 1 确定单个照相机的位置和朝向确定单个照相机的位置和朝向 由于照相机在三维空间中的位置和朝向是任意的 由 3 中的分析可知确定了 照相机的外部参数矩阵 P2 就可以唯一确定照相机在全局坐标系中的的位置和 朝向 沿用 3 中的记号 表示照相机内部参数的矩阵 P1 有四个自由度 表示外 部参数的矩阵P2 中 R 和 均有三个自由度 因此转换矩阵 P P1 P2 共有十个自 由度 设 Q 表示矩阵 P 左上角的 3 3 矩阵 采用 RQ 分解 1 4 将 Q 分解成上三角矩 阵 Q1 和正交矩阵 R 的乘积 Q Q1 R 其中 Q1 即是矩阵 P1 左上角的3 3矩阵 R 是照相机相对于全局坐标系的旋 转矩阵 当要求 Q1 的对角线元素均为正时 分解的结果是唯一的 也即表示照 相机朝向的矩阵 R 可以由矩阵 P 唯一决定 由 3 7 可知矩阵 Q1 应具有如下形式 Q1 Ix Iy 1 照相机的中心 是使 P 的点 即 是转换矩阵 P 的一维右零空间 1 的坐标可以使用 SVD 计算或者直接用下面的方法得到 17 xc det p2 p3 p4 yc det p1 p3 p4 zc det p1 p2 p4 tc det p1 p2 p3 因此确定一个矩阵 P 就可以确定出该照相机在空间中的位置和方向 对于题目中给定的靶标 单个照相机摄得的一张照片中包含五个圆的像 因 此 由 4 中的方法可以确定出五个圆心对应的像点 也即确定了五组从三维全局 坐标系到二维像平面的五组对应 1 5 表示成齐次坐标的形式 P 对于每一组对应 可以列出一个关系式 1 T T T T T T T T T 1 2 3 0 5 1 其中 表示转换矩阵 P 的第 行的转置 是一个四维列向量 表 示齐次坐标 的三个分量 由于 5 1 式中的三个方程是线性相关的 因此只选 取前两个方程 T T T T T T 1 2 3 0 利用前面得到的五组点的对应关系 一共可以得到十个线性无关的方程 由 3 中对找相机模型的分析 矩阵 的自由度是十 解出矩阵 后 由上面的分析 可以确定出该相机在全局坐标系中的位置 以及朝向 R 5 2 计算两个照相机的相对位置计算两个照相机的相对位置 由 5 1 的分析 单个照相机在全局坐标系中的位置和朝向可以通过靶标的一 张照片完全确定 因此两个摄像机的相对位置也可以按如下方法求得 将两个照 相机分别拍摄出靶标的图像 利用 5 1 中的方法分别求出两部相机的位置 1 2 以及朝向R2 R2 则两部相机的相对位置如下 R R2 R1 1 2 1 5 2 其中 R 表示两个照相机主轴在全局坐标系中旋转的角度 表示两个照相机 中心在全局坐标