第三节 n 阶行列式的定义.pdf

线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 张 奎张 奎 中国劳动关系学院中国劳动关系学院 Email zhangkui6 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 第一章第一章 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 第三节第三节n 阶行列式的定义阶行列式的定义 一 概念的引入一 概念的引入 二 二 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 三 小结思考题三 小结思考题 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 一 概念的引入一 概念的引入一 概念的引入一 概念的引入 三阶行列式三阶行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 322113312312332211 aaaaaaaaa 332112322311312213 aaaaaaaaa 说明说明 1 三阶行列式共有项 即项 三阶行列式共有项 即项 6 3 2 每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积 每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 3 每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列 每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列 例如例如 322113 aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 211312 t 322311 aaa 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 101132 t 偶排列偶排列 奇排列奇排列 正号正号 负号负号 1 321 321 333231 232221 131211 ppp t aaa aaa aaa aaa 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 二 二 二 二 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义 nnnn n n nppp t aaa aaa aaa D aaa n nn n L MMM L L L 21 22221 11211 21 2 1 21 记作 的代数和 个元素的乘积取自不同行不同列的 阶行列式等于所有个数组成的由 记作 的代数和 个元素的乘积取自不同行不同列的 阶行列式等于所有个数组成的由 det ij a简记作 的元素 称为行列式数 简记作 的元素 称为行列式数 det ijij aa 定义定义 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 为这个排列的逆序数 的一个排列 为自然数其中 为这个排列的逆序数 的一个排列 为自然数其中 t nppp n LL21 21 n n n nppp ppp pppt nnnn n n aaa aaa aaa aaa D L L LLLLLLL L L L L 21 21 21 21 21 22221 11211 1 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 说明说明 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的 2 阶行列式是项的代数和 阶行列式是项的代数和 n n 3 阶行列式的每项都是位于不同行 不同 列个元素的乘积 阶行列式的每项都是位于不同行 不同 列个元素的乘积 n n 4 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 aa 5 的符号为 的符号为 n nppp aaaL 21 21 1 t 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式第一章行列式第一章行列式 例例例例1 1 1 1计算对角行列式计算对角行列式 0004 0030 0200 1000 分析分析 展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是 4321 4321pppp aaaa 4 1 p若若 0 1 1 p a 从而这个项为零 从而这个项为零 所以只能等于所以只能等于 1 p 4 同理可得同理可得 1 2 3 432 ppp 解解解解 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 0004 0030 0200 1000 43211 4321 t 24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为 aaaa 41322314 例例例例2 2 2计算上2计算上三角行列式三角行列式 nn n n a aa aaa L LLLLLLL L L 00 0 222 11211 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 分析分析 展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是 21 21 n nppp aaaL npn 1 1 npn 1 2 3 123 ppnpnL 所以不为零的项只有所以不为零的项只有 2211nn aaaL nn n n a aa aaa L LLLLLLL L L 00 0 222 11211 nn nt aaaL L 2211 12 1 2211nn aaaL 解解解解 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 例例例例 3 3 8000 6500 1240 4321 D 44332211 8000 6500 1240 4321 aaaaD 1608541 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式 nnnnn aaaa aa a L LLLLLLLL L L 321 2221 11 00 000 2211nn aaaL 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 n N 2 1 1 21 2 1 n nn L 21n L n O 2 1 例例例例4 4 4证明4证明对角行列式对角行列式 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 n N 2 1 11 21 211 1 nnn nnt aaaL L 1 21 2 1 n nn L 证明证明证明证明第一式是显然的第一式是显然的 下面证第二式下面证第二式 若记若记 1 inii a 则依行列式定义则依行列式定义 1 1 2 1 n n n a a a N 证毕证毕 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 例例例例5 5 5 5设设 nnnn n n aaa aaa aaa D L LLLLLLL L L 21 22221 11211 1 nn n n n n n n n n ababa baaba babaa D L LLLLLLL L L 2 2 1 1 2 22221 1 1 1 1211 2 21 DD 证证证由行列式定义有证由行列式定义有 证明证明 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 n n n nppp ppp pppt nnnn n n aaa aaa aaa aaa DL L LLLLLLL L L L L 21 21 21 21 21 22221 11211 1 1 nn n n n n n n n n ababa baaba babaa D L LLLLLLL L L 2 2 1 1 2 22221 1 1 1 1211 2 n n n n pppn nppp ppp pppt baaa LL L L L 21 21 21 21 21 21 1 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 由于由于 21 21 nppp n LL 所以所以 1 2211 21 21 21 DaaaD n n n nppp ppp pppt L L L n n n n pppn nppp ppp pppt baaaD LL L L L 21 21 21 21 21 212 1 n n n nppp ppp pppt aaaL L L 21 21 21 21 1 故故 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的 行列式是一种特定的算式 它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的 2 阶行列式共有项 每项都是位于不同 行 不同列 的 个元素的乘积 阶行列式共有项 每项都是位于不同 行 不同列 的 个元素的乘积 正负号由下标排 列的逆序数决定 正负号由下标排 列的逆序数决定 n n n 三 小结三 小结三 小结三 小结 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 思考题思考题思考题思考题 已知已知 1211 123 111 211 x x x x xf 3 的系数求的系数求 x 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 思