第二模块 图形与几何(定).doc

模块二 图形与几何一、图形的认识（一）学习内容梳理对图形及其性质的认识是“图形与几何”领域中的重要内容。学生将在现实生活积累的有关图形经验的基础上，认识常见的立体图形和平面图形；探索常见图形的性质，并运用它们解决实际问题；在立体图形和平面图形转化等活动中，建立空间观念。在小学阶段，学生在这方面的学习内容主要有以下一些。1、初步认识立体图形这里包括初步认识长方体、正方体、圆柱、圆锥和球等立体图形。由于学生在日常生活中最先接触的是各种各样的物体，从这些熟悉的物体中，学生完全可以抽象出正方体、长方体、圆柱和球等立体图形，并直观地认识它们。所以学生学习这部分内容应该不会遇到太大的疑难。2、初步认识平面图形（1）初步认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形。整体感知每种图形的形状，能识别各种图形，在常见物体上找到这些形状的面，形成初步的表象。学生第一次利用三维的体认识二维的面，体会图形的变换，在头脑中形成这些图形的空间表象。由于学生积累了较为丰富的经验，因此初步认识这些平面图形难度不大。（2）初步认识三角形、平行四边形、四边形、五边形、六边形。学生在前面学习的基础上再认识这些多边形，难度不大。（3）初步认识角和直角角是一种最基本的几何图形，初步认识角是进一步深入认识角与其他几何图形的基础，是学习的一个重点。3、线的相关内容包括认识线段、射线和直线；认识平行、相交和垂直；再次认识角。其中让学生充分感知平面上两条直线的位置关系，认识平行线和垂线，是后续学习平行四边形和梯形特征的基础，是学习的重点。正确理解点到直线的距离，是学生理解上的一个难点。4、探索平面图形的基本特征（1）长方形和正方形的基本特征这是学生第一次真正深入探索平面图形的性质，所以是学习的重点。图形的特征既包括边的特征、角的特征，也包括图形的对称性等方面特征。如何把握这部分内容，引导学生掌握探索平面图形特征的方法，是学生学习中的难点。（2）三角形的认识内容包括：学习三角形及其分类，探索三角形内角和及三边关系。对小学生来说，如何理解三角形的三边关系并进行实际的判断，存在着一定的困难。（3）平行四边形、梯形的认识学生在学习了长方形和正方形的特征后，已经掌握了一些探索平面图形特征的方法，积累了一些学习的经验，所以学习这部分内容难度不大。（4）圆的认识学生在第一学段初步认识圆后，再次认识圆并探索其性质。学生从直边图形开始进入到曲边图形的学习，在观察操作中初步感受“以直代曲”的思想，是认识上的一个飞跃，也是理解上的一个难点。5、探索立体图形的特征（1）长方体、正方体的认识及展开图 “长方体和正方体”这部分内容是学生由二维的平面图形向三维的立体图形发展的重要阶段，对发展学生的数学思考与空间观念有着十分重要的意义，同时也是学生进一步学习其他立体图形的重要基础，是学习的重点。其中探索长、正方体的展开图，通过动态的空间想象判断出某个平面图形能不能折叠成长方体或正方体，想象展开图与立体图面的对应关系，对学生来说存在一定的困难。（2）圆柱、圆锥的认识学生在学习了长、正方体的特征后，已经积累了一些学习的经验，所以学习这部分内容难度不大。纵观“图形的认识”这部分内容，呈现出“从立体到平面再到立体”的线索。这也体现了学生认识的“从整体到局部再到整体”的学习路线。作为教者，在把握教材时需抓住主线，这样才能很好地把握学生的学习路线。（二）疑难分析与解决1、角的相关知识疑难分析【案例一】认识角（人教版二年级上册）教学片断通过创设情境，选取剪刀、三角形纸片、钟面这三个实物抽象出三个角的基本图形，并告诉学生这些图形都是角，让学生初步体会角的基本特征；接着介绍角的各部分名称，让学生初步明确构成角的基本要素：一个顶点、两条直直的边，同时教者示范正确的指角方法。在此基础上，引导学生开展“找角”的活动，并指一指、说一说：哪些物体的面上有角？在学生指角的过程中，发现大部分学生都指着角的顶点，说“这就是角”。在学生建立起角的表象后，开始探讨角的大小。提供了活动角，让学生通过操作、观察、讨论、交流等方式发现角的大小与边叉开的大小有关。在这之后为加强学生对这个知识的掌握，设计了一道判断题，就是一个角的边很长但角略小一些，一个角的边比较短但角比较大。 师出示一大一小两个角，问：仔细观察，这两个角谁大？谁小？生1：（指着更大的那个角）这个角大，另一个角小。生2：（指着边长的那个角）我认为这个角大。 师：（指着更大的角）你们为什么说这个角更大呢？ 生：这个角的两边张开得大（他同时还用手比划），这样角就大。 师：你觉得角的大小和边的长短有没有关系？ 生：没关系。 生：要看两条边张开得大不大。 但在后来练习的表述中，还有学生说角的大小和边的长短有关。 在生活情境图中，学生能很快找出生活中的角和平面图形中的角，通过观察、操作，也了解了角的各部分名称，知道了角有大小之分。但由于学生受生活经验和思维定势的影响，在指角时往往指着一个顶点就说这是角；比较角的大小时还会受到边的长短的影响。学生在这两个问题上存在疑难或错误的原因，主要有以下几方面：第一，受思维特点的影响。小学低年级的学生以形象思维为主，抽象思维相对较弱，他们所掌握的概念大部分是具体的、可以直接感知的，难以指出概念中最主要的本质的东西，思维活动在很大程度上还与眼前的具体事物或其生动的表象联系着。角在生活中随处可见，在学生头脑中已经有了一个模糊的概念，但学生有可能混淆生活中的角和数学意义上的角，因此，才会出现学生指着一个顶点就认为是角的错误表象。 第二，学生对“角”的概念没有正确的理解。他们认为角就是两条边和一个顶点（外显的现象），其实角除了两条边和一个顶点外，还包括两条边之间的部分（隐含的本质）。学生对角的特点不理解，角的两边是两条射线，可以无限延长，我们只画出这个射线的一部分，而且只能画出有限的部分（对于二年级的学生，射线的特点他们是不知道的）。因此让学生理解角的大小与什么有关，就比较困难。第三，学生不清楚角的大小到底指的是什么？一般来说，平面图形的大小指的是面积的大小，而对于角的大小，学生也会错误的认为指的是角的面积，那么角有没有面积呢？从角的定义来判断，角不是一种封闭的平面图形，因此它没有面积。在很多时候，学生可能把“角”看作“三角形”来估量它的面积的大小，所以就固执的认为两边越长角就越大。 解决策略【案例二】认识角（人教版二年级上册）教学片断在从三个实物图上抽象出三个角的基本图形，告诉了学生角的名称后，组织学生观察这三个角：“它们有什么共同的特征？”引导学生自己发现角的基本要素：一个顶点、两条直直的边。接着让学生在三角板上找出角，这时难免有学生依旧禁锢于日常经验之中，指出的是一个点。教者不急于否定，再次引导学生仔细看看屏幕上好朋友的样子，和你指的一样吗？将你指的这个地方在手心上按一下，发现了什么？原来是一个点。接着让学生将三角板上找到的角画下来，学生都会用“拓”的方法画出了“角”。再组织学生进行“指角”的练习，用手在实物上画出这个角：从角的顶点分别画出角的两边，指出这是一个角。在此基础上，引导学生开展“找角”的活动，并指一指、说一说：哪些物体的面上有角？这时，学生都能正确地指出一个角，而不是一个点了。动手操作，比较角的大小。（一） 玩一玩师：看来你们已经和角交上了朋友，接下来我们来玩游戏吧！（教者出示活动的角）师：这是一个可以活动的角，让我们来玩一玩。在玩的过程，看看能不能找到与角有关的发现。（学生活动，教者指导。）师：谁来说说你的发现？生：角是有大小的。生：角的两条边张口越大，角就越大；角的两条边张口越小，角就越小。（二）变一变(出示扇子、剪刀)教者依次打开纸扇、剪刀。请学生找一找纸扇、剪刀上的角。接着教者逐渐打开纸扇、剪刀。师：仔细观察纸扇、剪刀上的角有什么变化？生：纸扇、剪刀上的角越来越大。师：（逐渐合拢剪刀、纸扇）现在，纸扇和剪刀上的角有什么变化？生：纸扇、剪刀上的角越来越小。师：你发现角的大小与什么有关？ 引导学生意识到角的大小与角的两条边张开的大小有关，和边的长短无关。（三）比一比 师：既然角是有大小的，怎么比较呢？下面，请同学们将自已手中的角固定好，然后同桌比一比，说说你是怎样比的。 生：顶点对顶点，一条边对一条边，看另一条边，张开得大，这个角就大。师：真会思考！的确是这样。角的两边张开得越大，角也越大。数学学习的成功与否在很大程度上取决于学生的数学能力，而数学能力的强弱在很大程度上又表现为学生能否应用所学知识去解决实际问题。案例二中的教者，充分预设到了学生在学习中的疑难问题，从根本上改变了学生“接受学习、机械记忆、被动模仿”的状况，遵循“以学生发展为本”的理念，提供机会，让学生在观察、比较中，发现角的特征，逐步引导学生在头脑中建立角的完整表象有一个顶点和两条边，把“生活经验中的角”逐步提升为“数学上的角”，把学生对角的认识自然地从生活实际过渡到数学知识，逐步构建正确的表象。通过“指角”，使学生逐步建立了正确的“角”的表象，渗透了“角是由一点引发的两条射线组成的”这一知识，为学生继续学习角的有关知识做好了铺垫。心理学家皮亚杰认为：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生数学学习的重要方式。因此，在学习过程中要十分重视对学生的实践操作训练，让学生在实践中感知，通过自己的努力获取知识、解决问题。探索角的大小与什么有关是本节课的难点，为了突破难点，教者做了如下设计：让学生做一个活动角，张合活动角，感受从静态的角过渡到动态的角的过程。通过活动角的张合学生不仅能感受到角有大小，而且还感受到了角的大小与角两边张开的大小有关。接着，教者通过演示生活中常见的纸扇、剪刀的打开和合拢，让学生又一次在动态变化中，感受到了角的大小和两条边张开的大小有关。最后通过组织同桌比较活动角的大小，既让学生在动手实践中学会了重叠比较的方法，又自然而然地再次验证了角的大小与边的长短无关，而与角两边张开的大小有关的这一知识点。“学习不仅仅是一种告诉，更多的是学生的一种体验、探究和感悟。”新课程标准强调：学习活动是师生的双方活动。课堂上，教者的作用在于组织、引导、点拨。学生要通过自己的活动去获取知识。在数学课堂学习中，教者应给学生留下一片空间来，让学生去看、去想、去说，动手操作、讨论、质疑问难，在自学过程中暴露自我，以取得更好的学习效果。2、长方形和正方形基本特征疑难分析【案例一】长方形、正方形的基本特征（苏教版三年级上册）教学片断 同学们，我们已经初步认识了长方形和正方形，在我们生活中，长方形和正方形到处能见到，出示教室场景图，你能找出它们吗？学生交流，课件相应显示，之后揭题：这节课我们就进一步来认识长方形和正方形的特征。（板书课题）长方形和正方形有什么特点呢？请你通过操作学具发现特点，再来交流，教者帮助归纳并一一板书，组织学生读一读，记一记，背一背，随后提供一组练习加以巩固与应用。认识长方形、正方形的基本特征是在一年级下册直观认识长方形、正方形以及二年级上册认识直角的基础上进行学习的，学生对由线段围成的直线图形的形状，已经建立了初步的表象，能识别各种图形，并能在常见物体上找到这些形状的面，知道了这些图形可按边的多少进行分类。在这些图形中，学生对长方形、正方形的认识，较其他多边形则更为充分，一方面在日常生活中含有长方形、正方形面的物体很容易找到，另一方面，学生的生活经验也比较丰富，学生对它们的特征已经有了初步的感知，知道长方形、正方形各有4条边、4个角。另外，学生已经有了长度观念，形成了一定的测量技能，会估计一些物体的长度，积累了一定的有关图形折、拼、摆等操作的经验，本课的学习为今后进一步探索其他平面图形的特征以及学习长方形和正方形的周长和面积奠定扎实的基础，是认识图形特征的起始关键一课。在学习此内容时教者对教材的把握与对学生认知规律的理解与把握是提升学习效果的关键一环。上述案例中，教者将学习目标仅仅定位于知识与技能，对空间与几何领域中的一些核心概念的认识和理解还不到位，怎么理解这些概念，怎么样在课堂中体现出来还需不断地学习思考与实践。在以上课堂观察中还发现学生似乎会表达长方、正方形特征了，但真的内化了长、正方形的特征吗？到综合应用环节显然学生就出现了阻碍与问题，致错源于学生被动机械地习得了它们的特征，而未在学习的过程中去体会、发展和提升。解决策略【案例二】长方形、正方形的基本特征（苏教版三年级上册）教学片断谈话引入，一年级的时候，我们就初步认识了长方形和正方形。看书本的封面是？课前同学们动手做了长方形和正方形，学生上台展示（钉子板上围、用小棒摆、用三角形拼）。将其中用小棒摆的不太标准的正方形展示出来，问：这摆的是正方形吗？你是怎么看的？此时教室里的学生窃窃私语，有的认为是，有的认为不是，由矛盾引发思考，那长方形、正方形到底具有怎样的基本特征呢？这节课我们就一起来研究研究，揭题：长方形和正方形的基本特征。接着教者和学生初步交流：你觉得长方形、正方形具有哪些特征呢？学生凭着经验尝试交流，教者适当归纳：刚才同学们不仅说到了边，还说到了角。是很有价值的两个研究角度。（板书 边 角）“长方形、正方形的边和角真的具有这些特点吗？你能想办法来证明你的想法吗？”当学生认识归纳了长方形、正方形特征后，教者引导：如果把这张长方形纸、正方形纸画在黑板上，就得到一个长方形和一个正方形，看着这两个图形，再想想它们的特征。（手势轻轻地）闭上眼睛，在脑子里想象一个长方形，它的边有什么特征呢？（ ） 角呢？（ ） 想象一个正方形，它的特征呢？在练习环节教者出示方格图上的长方形，你能介绍这个长方形的长、宽分别是多少？如果要把这个长方形变成一个正方形？你会怎么办？学生交流，教者归纳：不管是将长缩到和宽一样长，还是将宽增到和长那么长，当长方形的长和宽长度相等，那就成了一个正方形。这一案例中，显然地，教者眼中不仅有教材，更有学生，教者将学习的目标不仅仅定位于双基，更关注了帮助学生积累数学活动经验，感悟归纳、演绎、转化等数学思想方法，即提升到了“四基”的高度。学生积累并获得数学活动经验，本质上是获得数学直观，这不仅是小学数学学习的重要目标，也是数学课程生成和发展的基础。重视思想方法有利于学生更好地理解和掌握相关的学习内容，有助于学生形成良好的认知结构，有助于提高学生的数学素养并使他们终身受益。小学阶段的几何学习内容属于直观几何，儿童从早期与周围世界的接触就已经开始获得形状与空间结构的体验，学习中应诉诸于儿童的直观感受，引领学生通过观察、操作、想象、推理、比较、表达之间的结合，将抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，帮助学生积累几何活动经验，增强空间观念，发展几何直观。如何在学习的过程中让学生的思维不肤浅，认识不被动，就需要教者致力改善学生学习的方式，创造思维的阶梯。一是教者在研读教材时，不能只局限在单一“知识点”的思考，否则学生的学习就将被动和呆板，必需把每一知识点放回到知识的整体结构中去理解，准确把握教材的知识背景，编排体系和编排特点。二是儿童有着自己的经验和思维方式，研读教材的同时更要研读学生，摒弃主观臆断的“应然”想像，转向对儿童的年龄特点和认知规律、学习需求与方法等的实然研究，对之进行认真的分析，瞄准学生的认知障碍，真正站在学生的思维角度和认知生长点。三是提供有价值的学习活动，促进学生主动积极地构建数学知识，锻炼数学思维，内化思想方法，培养初步的推理能力，发展数学素养，为学生后续学习奠定扎实的基础，积累丰富的活动经验，生成灵动的数学思想。3、线的相关知识疑难分析 【案例一】平行与相交（苏教版四年级上册）教学片断平行和相交这节课的学习过程可分为两个部分：先认识平行线，再学习画平行线。上课时，学生在对几组直线进行分类，由于画在黑板上或纸上的直线都是有限长的，因此有的画出来两条直线看上去并不相交，学生自然将这中情况分类为不相交，教者就问：“直线有什么特点呢？”学生答：“可以向两边无限延长。”教者接着引导：“延长后就怎样了呢？你们想象一下。”学生说“相交了。”为了让学生理解“在同一平面内”的含义，教者在教室里就地取材，随手指着墙上的边说：“这条边与这条边就在同一个平面内，这条边和那条边不在同一个平面内。”接着问：“你能说出教室里哪些边在同一个平面内，哪些边不在同一个平面内吗？”学生站起来也和教者一样，随手边指边说。由于教者之前的示范并不规范，所以学生的回答和指认也很随意，大多数学生比较茫然。在最后学习画平行线时，教者让学生先看书，再按照书上的示意图自己动手画一画，教者再示范一次，随后学生练习。尽管教者也放手让学生探索了，教者也归纳了画图方法，但让学生独立作图时，效果并不理想。平行和相交是苏教版国标本四年级上册第四单元的内容，这部分内容是在前面学过直线、射线、线段的基础上再学习的。这一单元主要是要学生掌握同一平面内两条直线的位置关系，学习平行线与垂线的有关概念。本节课是这一单元的第一课时，在学习内容上起着承上启下的作用，学生要掌握平行线的概念，认识生活中存在的平行线，能判断两条直线的平行关系；并学会用直尺、三角板等工具画已知直线的平行线。平行的定义是：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。这是高度凝练、比较抽象的数学概念。四年级的学生由于受年龄和认知水平的制约，学习本课存在三点困难：一是理解“相交和不相交”。因为画在纸上的直线都是有限长的，有的画出来两条直线看起来不相交，但从直线概念的本质上来理解就是相交的（延长这两条直线就能看出），只有加深对相交的认识，才能体会不相交的含义。二是理解“在同一平面内”。三是画平行线是本课的难点，教材是通过示意图来介绍平行线的画法，没有说明为什么要这样画，学生虽然会模仿书上的画法，但是并不真正理解为什么要这样画，所以只要线条换了个方向，学生就无从下手了。其根源是对学生用直尺、三角板画平行线这一操作的能力起点判断不准确。而要画好平行线，关键就在平移，所以要通过平移来突破难点。解决策略 【案例二】平行与相交（苏教版四年级上册）教学片断 一、充分感知，认识平行1、师演示：两枝铅笔从手里掉到了桌面上，（课件出示由两枝笔抽象成两条直线相交图），两条直线也就形成了这样一种位置关系。（图略）师：还可能是什么样子，请你摆一摆，然后也像教者一样，用两条直线代替，把铅笔的位置关系画在纸上。要求：一张纸上画一种，尽可能的不一样。（生活动）2、展示学生操作结果：（图略）请你把这几张图进行一下分类。生初步分类。 师小结：第一组的这两条直线有一个点是重合在一起的，我们把两条直线的这种位置关系称作相交。（板书：相交）3、（课件演示，充分发挥媒体的优势）如果我们把第二组的两条直线延长，你有发现什么？师小结：在同一张纸上的两条直线或者相交或者不相交。重新分类：相交、不相交4、出示长方体，你能上来指一指，在这个长方体上，哪些直线在同一平面内，哪些直线不在同一平面内？哪些直线相交？哪些直线不相交呢？5、师：这两条直线为什么不会相交？请你们再尝试画一画，并谈谈体会。师顺势引导：那么在数学上，在同一平面内不相交的两条直线叫做什么呢？请你们看看书。补充出示：（在同一平面内，）不相交的两条直线互相平行。二、创设情境，突破难点1、一面小旗沿着旗杆运动，你能在运动前后的图形中找到互相平行的边吗？ 课件出示：三角小旗沿着旗杆升起。观察：这面小旗做的是什么运动？ 2、引导学生发现：平移前后的图形中，有些相对应的边互相平行。三、观察感悟，画出“平行”1、学生试画。提问并交流：你是怎样画的？和同桌交流一下。你画的时候有什么感受？2、电脑演示画图过程。第一步：沿着三角尺的一条直角边画出一条直线。（出示：画）第二步：直尺靠上三角板的另一条直角边。（出示：靠）第三步：沿着直尺平移三角板。（出示：移）第四步：沿着直角边画一条直线。（出示：画）3、让学生尝试用以上方法画出一组平行线根据学生体验，师总结画图的技巧：找到直角边，我们一般沿着直角边画一条直线，直尺不能移动，三角板平移时要靠紧直尺。 学习从“掉在桌上的两支铅笔”这一情境入手，教者收集生活中两条直线的位置情况，让学生自主探究分类，充分发挥了学生的主观能动性，这里不仅仅阐述数学来源于生活的理念，更重要的是通过这样的问题情境以及学生的操作，调用起学生的经验储备，让学生利用具体的生活事理支撑起对抽象数学的理解。生活化、活动化的问题情境容易引发学生的兴趣和问题意识，使学生产生自主探索和解决问题的积极心态。本节课的媒体运用恰到好处：学生通过对直观教具的观察，学习课件的展示，对平行与相交形成了比较明显的印象，概念明确，思维清晰，能从不同平面到同一平面、从有限平面到无限平面，准确地判断平行与相交。在这样的几何知识概念课上，引导学生归纳概念和帮助学生建构空间观念是两大重要任务。在学习中还需注意以下以点：一是引领学生经历概念形成的整个过程，通过实践、观察、体验感知概念，归纳概念。数学术语、数学定义只是数学概念外在的表现形式，要在教者的引领下，学生经历了从具体到概括，又从概括到具体的认识过程，才能建立完整的概念，也只有这样，学生才能水到渠地描述数学概念。 二是确立学生的主体地位，让学生在理解中学习。学生理解知识的心理过程是复杂的，学习要在学生心理上组织起与数学本质相通的生活体验或相关旧知，并在与所学数学概念或原理的相互作用中彼此沟通，形成融会贯通的整体，方能有效地促进学生对知识的理解。三是把握知识的外延，于再创造的过程中发展空间观念。很多时候，数学技能的学习总是遵循“讲解示范模仿训练”的模式，重在技能的形成而漠视了其中的智慧性。作为教者，不能满足于学生的机械操作，而是通过学生的探索引导他们不断发现知识间的联系，把握知识的外延，使学习过程成为理解的触角不断扩展的过程，于再创造中发展学生的空间观念。4、探索平面图形的基本特征（1）三角形的认识疑难分析 【案例一】三角形的三边关系（人教版四年级下册）教学片断在“三角形两边之和大于第三边”学习中，教者给学生提供了一些长短不同的小棒，鼓励学生尝试用它们拼三角形。教者希望学生在此过程中能发现：当两边之和等于第三边，或者小于第三边的时候，拼不成三角形，意识到三角形两边之和应该大于第三边。学习过程中，对于两边之和小于第三边的情形，学生毫无疑义地认为不能拼成三角形。但当两边之和等于第三边的情况，比如4，5，9，学生们却产生了分歧，一部分学生确实利用小棒“拼成”了三角形，也就是学生通过操作，认为“当两边之和等于第三边时，能拼成一个三角形。”并且很多同学都表示赞同。还有一些学生认为，要判断三根小棒能不能拼成三角形，只要把最短的两根加起来和最长的去比就可以了，因为三角形中两条短边之和一定大于长边。这时，教者直接进行了电脑演示，揭示了结论。有些学生茫然地点着头。在学生学习过程中，教者鼓励学生经历操作、观察的过程，在探索过程中认识图形和图形特征，这是非常可取的。但是在动手操作中，不可忽视推理的作用。学生虽然知道了三角形是由三条线段围成的封闭图形，但是对于“任意的三条线段不一定都能围成三角形”这一知识却没有任何经验。学生对三角形任意两边的和大于第三边的规律只是停留在模糊的生活经验之上，要从不清晰的实际经验之中分析、归纳、总结出三角形三条边之间蕴藏的本质规律，还是有一定难度的。理由如下：一是操作或视觉上的误差，有些学生会误认为用9厘米、4厘米和5厘米这样的三根小棒也能围成三角形；二是借助直观进行归纳时，学生容易得出“三角形中两条短边长度的和一定大于最长的边”这一结论，而教材给出的结论是“三角形任意两边长度的和大于第三边”。从两个结论中不难看出：前者是一个特殊结论，后者是一个一般结论；要疏通这两种结论之间的关系往往比较困难。上面的案例中，学生就出现上述两种现象，导致认识及理解上出现分歧，最好的解决方法是引导学生借助推理来理解。比如，有的学生说得十分“形象”：4+5=9，9与9都平行（重合）了，拼不成了。有的学生可能会根据“两点之间线段最短”来说明“等于”的时候是拼不成的。其实学生也有一定的推理意识，关键要看教者能否给与学生充分交流的时间，并引导学生进行推理。解决策略【案例二】三角形的三边关系（人教版四年级下册）教学片断师：是不是任意3根小棒都能围成一个三角形呢？请大家从这4根小棒中任选3根围三角形，每人围两次，看是不是都能围成三角形，并将结果记录在表格中。次数选择的小棒能否围成三角形10厘米6厘米5厘米4厘米12学生独立操作后，教者让学生拿着记录单和小棒到投影仪前进行相应的演示和说明。当学生交流到10厘米、5厘米和4厘米这3根小棒不能围成三角形时，让其他的学生也用这3根小棒围一围，强调在这3根小棒中有两根长度的和比第三根还短，不能使3根小棒首尾相接。交流10厘米、6厘米和4厘米这三根小棒也不能围成（或能围成）三角形时，提问：其他同学中也有选择这3根小棒来围的吗？是不是得到了与他相同的结果？如果有不同的意见，则让不同意见的学生分别进行演示说明或通过推理来证明。通过课件演示围的过程和学生通过推理来证明，学生明确了：这三根小棒中有两根的长度正好等于第三根小棒，这样6厘米和4厘米的小棒正好与10厘米的小棒重合，不能围成三角形。师：任选3根小棒有时能围成三角形，有时不能围成三角形。而能不能围成三角形是由它们的长短决定的。那么，怎样的3根小棒才能围成三角形呢？请大家把每次3根小棒中任意两根的长度和与第三根进行比较，看能发现什么？根据学生的回答板书，明确：只有当3根小棒中任意两根长度之和大于第三根时，这3根小棒才能围成一个三角形。师：如果用a、b、c分别表示三角形的三条边，它们之间的关系可以用怎样的式子来表示？（根据学生的回答板书：a+bc, b+ca, a+cb。让学生讨论三角形的三条边有什么关系，揭示：三角形任意两边之和大于第三边。） 这位教者与案例一中那位教者的相同之处是：都很重视通过具体的操作活动去感知、发现，建构正确的空间形式和关系。不同的是：这位教者的引导更为细致。她设计有层次的操作活动，给与学生充分的交流时间，并重视了推理在学习中的运用。本案例中，教者对探索三角形三边关系的学习环节做了细致的安排。特别是在讨论用10厘米、6厘米和4厘米这三根小棒能否围成三角形时，一方面让不同意见的学生展示自己的操作过程，使他们在交流与碰撞中逐步形成正确的认识；另一方面通过多媒体的精确演示，明确这3根小棒不能围成三角形的道理。在学生完成了操作和交流后，教者没有就此归纳三角形的三边关系，而是引导学生把3根小棒中任意两根的长度和第三根进行比较，并由此发现围成三角形的3根小棒的必要条件，概括出三角形的三边关系。教者为学生提供了足够的探索空间，促使学生展开了有效的数学思考，从而较好地发展了空间观念。学生在学习这部分内容时，教者在“活动参与、自主建构，联系生活、运用数学”的设计理念指导下，运用“问题引领、动手操作、探究规律”的学习策略与方法，并在解决生活实际问题中促使每一位学生获得不同的发展。（1）创设问题情景，激发学生学习兴趣。（2）动手操作、合作探究、自主建构数学规律。新课标强调要从学生已有的生活经验出发，在设计课程方案时，充分发挥学生的主体精神，留有足够的时间和空间激发他们主动探索。让学生动起来，活起来，让他们在猜想、质疑、验证、探究、测量、实践操作、问题解决等过程中，经历想一想，猜一猜，画一画，比一比等活动，努力营造协作互动、自主探究、议论纷纷的课堂学习氛围，将课堂真正还给学生，让学生在自主活动中得以发展。（3）联系生活，体会数学应用价值。现实生活中存在着大量的数学问题，学生学习数学已不仅仅局限于教材之内，而是扩大到了生活的每个角落。因此，教者要有意识地引导学生从数学的角度，应用所学的知识“三角形任意两边的和大于第三边”去解决生活中实际问题，让学生学有价值的数学。通过解决生活中的问题，让学生感受到数学源于生活，更要服务于生活。（2）圆的认识疑难分析【案例一】圆的认识（人教版六年级上册）重难点分析 “圆的认识”是在学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等平面图形和初步认识圆的基础上进行学习的。“圆的认识”是学生研究曲线图形的开始，是学生认识发展的又一次飞跃。教材通过实物画圆和用圆规画圆的活动，使学生认识圆心、半径和直径，再通过画不同大小、不同位置的圆，认识圆心的位置决定圆的位置、半径的长短决定圆的大小。然后再通过画一画、量一量、折一折等活动，使学生了解半径与直径的关系，在活动中加深对“圆心到圆上各点的距离都相等”这一圆特征的了解。学习重点：探索圆的各部分名称、特征和关系，体会圆的各点均匀性：到定点的距离等于定长。学习难点：通过实际的动手操作体会圆的特征及各点均匀性。有关圆的引入，教材中采取了从实物抽象到图形的过程。正像我们所看到的，表面是圆形的实物在日常生活中随处可见。学生对于圆的广泛存在性已有了一定的感知，但缺乏对于圆的应用性的感知。因此，在学习时首先不能仅仅满足于学生可以正确的列举出生活中有关圆形物体的例子，还要让学生更多的感知到圆在我们实际的生活中应用的例子。其次在教材的编排中，我们看到了对于圆的半径、直径进行的简单描述。然而想要准确地认识圆的话，就不能孤立地认识圆的圆心、半径和直径，这不利于学生体会到圆的形成与圆心、半径和直径之间的关系（圆是到定点的距离等于定长的点的集合）。学习中更应设计合理有效的活动使学生在这一活动中进一步体会圆各点均匀性和广泛的对称性。尽管学生在低年级的学习中已经初步认识过圆，他们能够体会到圆广泛的存在于我们的生活之中，并能举出生活中圆的例子。但却不能很准确地对于生活中圆的例子进行准确性描述。举例说出生活中见到过的圆，学生回答：笔筒、胶条不能正确认识到这个物体上的某个面是圆形的。也有的同学将各类球体列入到所谓“圆”的行列之中，看来学生对“圆”与“球”的概念不清，需在学习环节中加以正确引导。此外要让学生做到真正深入认识圆是由之上的若干个点连接而成，以及在学生头脑中充分体会到圆的各点分布均匀性和广泛的对称性还是比较困难的。所以无论是学习内容本身，还是学生学习基础，生活经验等方面，都造成了学生学习的困难。解决策略【案例二】圆的认识（人教版数学六年级上册）教学片断一、导入师：（出示圆形纸片）这是什么图形？想想看，生活中你们都在哪见到过圆形？如果说篮球也是圆，那么什么样的图形是球呢？（启发学生理解“球是立体图形，圆是平面图形”）师：在这些球体中我们能不能同样找到圆呢？ 出示图片：一些古代、现代的图标、交通标志、实物，自然现象师：在这些图片中，你们都找到圆了吗？看了这些图片给你们什么感受？二、自主探究1、画圆（1）以小组为单位，利用手中学具看看在规定时间内哪组想到的画圆方法最多？ （2）让学生上前演示画圆方法，在对学生进行询问的同时为“圆心和半径”的学习埋下伏笔。（3）试着用圆规来画一画圆？2、认识和体会圆的特征请生把 “圆心”、“半径”和“直径”名字标在圆中。用语言来描述什么是直径，什么是半径。师：看着你们画出的直径和半径，同学们有没有想要进一步研究和解决的问题？三、动手验证组织学生动手验证，方法汇总：1、学生画出半径和直径动手量出关系2、直接动手对折、再对折找出关系思考一下，如何在一张正方形纸中画出一个最大的圆？师：归纳d=2r或r=d2 任何圆中，直径都是半径的2倍吗？（对比同圆或不同圆的半、直径）引导学生补充在“同圆或等圆” 中。师：认真观察圆中的每一条直径在这里他有没有什么特殊的用途？四、解决问题 情景一：公路上行驶的所有汽车的车轮为什么都采用圆形的？车轴为什么都装在车轮的中心？情景二：当有人在表演时，观看的人群自然的围成一个圆，这是为什么？五、拓展提高1、动画：点动成线，形成圆。（渗透极限思想）2、补充相关课外知识：如圆规的历史；古代对圆的相关记载及发展历史等。圆心、半径和直径是圆的概念中非常重要的几个要素，理解它们的特征及其关系是建构圆的概念的基础。案例二中，教者注意放手让学生在小组里自主探索，经历自主发现数学知识和结论的过程，突破了学习中的重难点，提高了学习的有效性。学习圆的认识时具体可分成四个环节展开：第一环节，在探索半径和直径有无数条的过程中，学生采用了对折、画一画和利用概念进行推理的方法，虽然这些方法所体现的思维水平和层次略有差异，但都是有效探索数学结论的方法；第二环节，学生借助测量、反复对折、利用半径的概念进行推理等方法，清楚地认识到同一个圆里的半径和直径都分别相等；第三环节，学生通过测量、对折以及直径与半径的内在关联，发现了同一个圆里直径的长度是半径的2倍；第四环节，由于学生真正经历了自主探索活动，因此还发现了圆心决定圆的位置等结论，甚至感受到圆是最美的图形，感受到了圆是由之上的若干个点连接而成，以及在头脑中充分体会到圆的各点分布均匀性和广泛的对称性。概括地说，教者在引导学生学习“圆”这个由曲线围成的平面图形时，一方面，通过剪圆、想圆、画圆、说圆等手段拓展空间，把学生置身于探索者、发现者的角色，引导学生在认识完圆的一些基本概念后，自主展开对圆的特征的发现研究，并在交流对话中完善相应的认知结构；另一方面，又可借助多媒体，把自然、社会、数学等各个领域中的圆数学化，充分放大圆所内涵的文化特性，使数学学习更贴近生活。总而言之，在探索图形性质的过程中，要留给学生实践、思考与讨论的时间，这不仅能使他们对探索到的特征有更加深刻地理解；更重要的是，学生将积累丰富的直观经验和活动经验，发展有条理的思考能力和解决问题的能力。5、长方体、正方体的认识疑难分析 【案例一】长方体、正方体的认识（人教版五年级下册）教学片断教完长方体面、棱、顶点的特征，在认识长方体的长、宽、高时，教者拿出一个长方体盒子指着其中的一个顶点问学生：“这个顶点是由哪几条棱相交得到的？”接着又问：“另一个顶点呢？”学生们通过观察实物，很快的说出是由三条不同方向的棱相交得到的。教者接着追问：“那你们知道把相交于同一个顶点的三条棱叫什么吗？”学生回答后教者总结：“像这样从一个顶点出发的三条棱，它们的长度在数学上还有专用的名称。通常把水平方向的叫做长、宽，竖直方向的叫做高。”接着教者不断变换长方体盒子的摆放位置，让学生说出它的长宽高。教完长方体的长、宽、高后，教者随即出了这样一道题目：已知相交于一点的三条棱的长度，你能想象一下原来长方体的样子吗？（屏幕上出示相交于一点的三条棱的图形）大多数的学生找不到长、宽、高这三条棱与各个面甚至与长方体之间的联系，所以无从着手，只有少数几个学生尝试着在纸上画图或者直接在脑子里想象，花费了较长的时间仍有部分同学没有做出来。在这个案例中，教者通过实物，直观的让学生感受到长方体的顶点是三条不同方向的棱的交点；通过把长方体横放、竖放、侧放等不同位置摆放来说明长、宽、高，引导学生逐步抽象得出长、宽、高的概念，防止了死记硬背，学生对长方体的长、宽、高理解较清晰，似乎学习的任务完成的很好。但从后面习题中暴露出来的问题中可以看出：学生虽然掌握了在图形与实物中找出长方体的长、宽、高，但是由抽象的长、宽、高具体到实物或立体图形还是有一定的难度的。所以让学生掌握长、宽、高概念的同时，还要让学生建立长方体每个面的长、宽与长方体长、宽、高之间的联系，以及长、宽、高与整个立体图形的大小之间的关系，这两点是学生难以理解的地方，是学习中的难点。这就有必要在学习过程中让学生理解、体会、想象出边与面、面与体的相互关系。对于一节立体图形知识的课来讲，光学会相应的概念是远远不够的，建构平面图形到立体图形，使学生的认识由二维空间发展到三维空间，沟通线、面、体的知识间的联系，为以后学习其它立体图形做好迁移和铺垫。解决策略【案例二】长方体、正方体的认识（人教版五年级下册）教学片断 进一步认识了长方体面、棱、顶点的特征后，教者让学生拿出学具袋中的小棒，小组合作制作一个长方体框架。在制作前先考虑一下，怎样选小棒制作的速度会更快。学生制作完并交流后，教者出示一个长方体框架，拿掉其中的一条棱，让学生想象出这条棱的长度。学生根据相对的棱长度相等可以想象拿掉的棱的长度。教者再遮掉一些棱问学生是否能想象原来长方体框架的大小。让学生思考至少剩下哪几条棱，才能保证能想象出这个长方体的大小。经过讨论和交流后教者展示学生拼搭的相交于一点的三条棱的框架问学生还能拿掉一条棱吗？为什么？学生总结：再拿掉一条就想象不出它的长、宽、高中的一条了。教者总结：看来，这样相交于一点的三条棱很重要，缺一不可，它们直接决定长方体的形状和大小。随后教者在屏幕上投影出示另一个相交于一点的三条棱，让学生想象长方体原来的样子以及说出每个面的大小（课件动态平移得出隐藏的长、宽、高）。教者总结：“像这样从一个顶点出发的三条棱，它们的长度在数学上还有专用的名称。通常把水平方向的叫做长、宽，竖直方向的叫做高。最后横着、竖着、侧着摆放长方体图形，让学生分别指出它的长、宽、高。上述案例中，教者为学生自主学习长方体的长、宽、高提供了动手操作、闭眼想象等多种途径，认识到长、宽、高随着长方体摆放的位置不同而不同，从而准确、全面的认识长方体长、宽、高的内涵，避免认知的僵化和片面。因为长方体、正方体的学习终极目标是建立空间观念，所以学习长方体长、宽、高时，通过交于一点的三条棱想象出长方体原来的样子，形成长方体的清晰表象。此时的“长、宽、高”已不是简单意义上的概念，还孕伏了其对长方体大小的决定作用，利于引导学生沟通棱长与长方体长、宽、高之间的联系，加强了线与面、面与体转化，实现了知识整体之间的连贯性，进一步巩固了学生对长方体的认识，同时又为学习长方体的表面积、体积和其它立体图形作良好的铺垫。原本“人为规定”的数学知识，在学生的主动参与和建构中获得了更为鲜活的意义，学生的观察与分析能力及空间观念等都得以有效的发展。学生在低年级已经直观认识了长、正方体等常见的立体图形，在生活中经常见到长、正方体等一些实物，积累一定的感性经验。“长方体和正方体的认识”包含掌握长方体和正方体面、棱、顶点的特征，认识其长、宽、高以及长方体和正方体之间的关系，为学生今后进一步学习长方体和正方体的表面积、体积，以及其他立体图形作准备。几何知识的学习中，空间观念的发展比知识本身的学习意义更为重大。长方体的认识，是学生空间观念由二维向三维发展的转折阶段，要把掌握“长方体和正方体的特征”作为学习的主要任务；把培养空间观念和发展数学思考作为学习的“核心目标”，实现基础知识和发展空间观念的充分交融。在这类知识的学习中，具体的策略大致可归结为：在细致观察中积淀空间观念。学习中，多次引领学生朝向一定学习目的，有顺序、有重点地去观察，让他们学会分析、比较，在细致观察的基础上，逐步积淀空间观念。在实践操作中建构空间观念。搭长方体框架这样的动手操作，多角度、全方位感知几何形体的特征、大小及其相互位置关系，进而探索规律，发现新知。这样的多种感官共同参与几何材料的操作，有利于空间观念的建构和巩固。在引导想象中发展空间观念。想象活动是空间观念培养的主要途径，引导学生进行想象来发展空间观念是立体图形知识的着力点。在转化沟通中深化空间观念。由长方体的棱的长度转化成面的大小，由面的位置感悟形体的构建。从而建立科学的认知结构，使得空间观念的建立由静态走向动态。6、展开图疑难分析 【案例一】长正方体展开图（苏教版六年级上册）教学片断师：刚才我们把正方体展开了，再还原回去，下面哪些图形折叠后能围成正方体？先想一想，再折一折。师：先请你想一想，哪些可以围成正方体，哪些不行？再请同学们动手折一折来验证一下。学生反馈。很多学生都选用了动手折一折的方法，只有少数学生选用直接判断的方法。这是课标教材新增加的内容，主要是通过本节课的学习进一步发展学生的空间观念。学生由平面几何图形跨越到初步系统的学习立体几何图形，由平面思维扩展到空间想象思维，是思想的一次转变。其中探索长、正方体的展开图，通过动态的空间想象判断出某个平面图形能不能折叠成长方体或正方体，想象展开图与立体图面的对应关系，对学生来说有一定的困难，教者在理解学习内容和实施过程中也具有一定的困难。这是因为：（1）学生动手操作得到一个正方体的展开图具有一定难度。 教材并没有对如何剪出展开图进行指导，学生在操作“序”上存在有一定的困难。如果让学生自由发挥，课堂操作时间定会变长，这是一组难以处理的矛盾。（2）教材的例题是让学生通过尝试操作得到长方体 、正方体的展开图；通过观察与比较发现一些较为简单的规律。而练习中却要求学生根据形式各异的图形判断是否能拼成长方体或正方体。从学生解决问题的角度来说，一个简单而又万无一失的方法就是直接让学生在纸上画出这个图形并折一折；然而练习题中的要求“先想一想”却让教者发出疑问：本节课的学习目标是什么？显然不只是为了培养学生的动手操作能力，而是为了借助于动手操作发展学生的空间想象力；但伴随而来的疑问是：怎样让学生的空间想象力得以发展呢？一直要借助动手操作吗？离开了动手操作，五年级的学生能否进行想象活动呢？如果过度地依赖动手操作，会不会导致学生想象能力的弱化呢？解决策略【案例二】长正方体展开图（苏教版六年级上册）教学片断教者让学生展示自己的展开图。1、归类：根据学生已有的展开图先进行整理归类。引导学生观察展开图，与同学交流自己的发现。2、发展想象、探索规律师：正方体的展开图只有这一种形状吗？你认为两只“耳朵”还可以长在哪儿？生：两只“耳朵”还可长在这上面或最下面（如图1） 师：可以吗？想象一下这两个图形沿虚线折叠能围成正方体吗？生：可以，因为四个连着的正方体看成前、后、上、下，这两只“耳朵”正好是左右两个面。师：那如果两只“耳朵”长得不对称可以围成正方体吗？（如图2）生：可以，因为这样两只“耳朵”还是在左面和右面。师：确定吗？动手沿着一下（演示）师：这图形跟人还真有点不一样，只要有四个连排的正方形，一左一右两只“耳朵”不对称也没关系。生：如果图形中有四个连排的正方形，另两个正方形在同一边可以吗？（如图3）师：我们一起来边想象边标注一下，你发现