第二章_可靠性的数学基础及系统可靠性.pdf

第一章第一章 可靠性的数学基础及可靠性的数学基础及 系统可靠性系统可靠性 第一节 可靠性的基本概念及其主要寿命 特征 可靠性 维修性 第二节第二节 产品寿命规律与常用分布产品寿命规律与常用分布 第三节第三节 系统可靠性模型系统可靠性模型 第一节第一节 可靠性及主要寿命特征可靠性及主要寿命特征 一一 可靠性的定义可靠性的定义 可靠性的定义是 产品在规定的条件下和在规定的时产品在规定的条件下和在规定的时 间内间内 完成规定功能的能力完成规定功能的能力 可靠性的定义包含了四个要点 1 定义的对象定义的对象 产品产品 的具体含义的具体含义 范围范围 零件零件 元器元器 件件 部件部件 设备或系统设备或系统 2 规定的条件规定的条件 规定的条件是指 规定的条件是指 使用和维护条件使用和维护条件 动力动力 负载条件负载条件 使用方法使用方法 使使 用频次用频次 操作人员的技术水平操作人员的技术水平 维修方法 维修方法 环境条件 环境条件 贮存条件包括运输贮存条件包括运输 保管条件等保管条件等 3 规定的时间 规定的时间是以时间为尺度度量产品的可靠性 特性 它是可靠性区别于产品其他特性的重要 特征 寿命是可靠性的基本概念 对不可修复的产品 指失效前的工作时间 而对可修复的产品而言 指相邻两故障间的工作时间 4 规定的功能 规定的功能是指表征产品能完成任务的各种技 术指标 若对 产品完成规定的功能 只注意 性能 和 结构 两方面 认为产品性能不超过规定 的范围 要求 性能可靠 使结构不产生破 损 要求 结构可靠 只表示产品在某一规 定时间内不发生故障的可能性 则这种可靠性 称为狭义可靠性 产品不能实现规定功能时 即称为功能失效 如果是可修复产品则称为 故障 二 固有可靠性与使用可靠性二 固有可靠性与使用可靠性 固有可靠性是在产品设计和制造过程中已经确 定并最终在产品上得到实现的可靠性 使用可靠性是产品在规定的条件下保证固有可 靠性发挥的程度 固有可靠性 使用可靠性 固有可靠性和使用可靠性的综合 形成产品的 工作可靠性 在质量管理中 只有通过提高质 量与制造质量 提高固有可靠性 改善使用条 件 加强使用中的保养和维修 提高操作者的 技术水平 以提高使用可靠性之后 才能提高 工作可靠性 三 可靠性特征量三 可靠性特征量 用来表示产品总体可靠性高低的各种可靠性数量指标 称为可靠性特征量 其真值是理论上的数值 实际上 是未知的 根据样本的观测数据 经一定的统计计算 所得到的是特征量真值的估计 估计值可以是点估计 也可以是单边或双边的区间估计 按可靠性标准的具体定义而计算出来的特征量的估计 值称为特征量的观测值 特征量的观测值是较易计算 的 但从统计意义上讲 未必是最优的 可靠性特征量 概率指标 寿命指标 可靠度 累计失效概率 失效率 平均寿命 可靠寿命 中位寿命 特征寿命 三 可靠性特征量三 可靠性特征量 产品的寿命产品的寿命T大于时间大于时间t 产品在时间产品在时间t内完成规定的功能 内完成规定的功能 产品在实践产品在实践t内不失效 无故障 内不失效 无故障 产品的可靠度产品的可靠度 概率可以通过频率来近似表示 设产品总数N 在规定 时间t内累积失效数为nf t 仍正常工作的产品数为ns t 或N nf t 则产品可靠度为 R t P T t N nf t N 三 可靠性特征量三 可靠性特征量 可靠度可靠度 可靠度是指产品在规定的条件下和规定的时间内 完成 规定功能的概率 一般记为R 它是时间的函数 故也 记作R t R t 称为可靠度函数 1 1 可靠度 可靠度 产品的可靠度是时间的函数 随着时间的增长 产品的可靠度是时间的函数 随着时间的增长 产品的可靠度会越来越低 它介于产品的可靠度会越来越低 它介于1与与0之间 即之间 即0 R t 1 1 t R t 三 可靠性特征量三 可靠性特征量 0 式中 n 开始投入工作产品总数 ns t 到t时刻完成规定功能的产品数 即残存数 nf t 到t时刻未完成规定功能的产品数 即失效 数 对于可修复的产品 可靠度的观测值是指一个或多个 产品的无故障工作时间 达到或超过规定时间的次数 与观察时间内无故障工作的总次数之比 即 n tn tR s n 观察时间内无故障工作的总次数 每个产品的最后 一次无故障工作时间若不超过规定的时间则不予计入 ns t 无障工作时间达到或超过规定时间的次数 n tn n tn tR 1 fs 对于不可修复的产品 可靠度的观测值的计算 例例2 2 1 1 在规定条件下对10件某不可修复产品进行无替 换试验 试验结果如图2 3 a 所示 在某观测时间内 对3件某可修复产品进行试验 试验结果如图2 3 b 所 示 两图中 均为产品出现故障时的时间 t为规 定时间 500h 求以上两种情况的产品可靠度的观 测值 解 解 不可修复产品试验由图2 3 a 统计可得nf t 7 n 10 由式 2 2 有 3 0 10 7 11 fs n n n tn tR 可修复产品试验由图2 3 b 统计可得ns t 3 n 9 由式 2 3 有 3333 0 9 3 s n tn tR 从时刻t1工作到时刻t1 t2的条件可靠度称为任务可 靠度 记为R t1 t2 t1 由条件概率可得 121121121 tRttRtTttTPtttR 三 可靠性特征量三 可靠性特征量 上述可靠度的时间t是由0算起的 实际使用中常需知 道工作过程中某一段执行任务时间的可靠度 即需要知道 已经工作t1后再继续工作t2的可靠度 产品的累积失效概率示随着时间的增长而增大的 产品的累积失效概率示随着时间的增长而增大的 它是介于它是介于1与与0之间的数 之间的数 1 t F t 可靠性特征量 2 累积失效概率失效概率 产品在规定的条件下和规产品在规定的条件下和规 定的时间内定的时间内不能不能完成规定功能的概率 称为累积失效完成规定功能的概率 称为累积失效 概率 一般用概率 一般用F t 表示失效概率分布函数 可以表示表示失效概率分布函数 可以表示 为 为 F t P T t nf t N 可靠性特征量 失效密度失效密度 失效密度函数是累积失效概率对时间失效密度函数是累积失效概率对时间 的变化率 记为的变化率 记为f t f t 是产品寿命落在包含是产品寿命落在包含t的单位时间内的失效概率 的单位时间内的失效概率 也就是产品在单位时间内的失效概率 表达式为 也就是产品在单位时间内的失效概率 表达式为 tN tn tf f t dttftF 0 t dttftR dt tdR tf 0 t dt tdF Ndt tdn tf f 可靠度 累积失效概率和失效分布密度之间的关系如 图2 4所示 可靠性特征量 3 失效率失效率 失效率是工作到某一时刻尚未失效的产品 在该时刻 后单位时间内发生失效的概率 记为 或 t 称为失 效率函数 有时也称为故障率函数或风险函数 失效 率的单位用单位时间的失效数表示 如1 h 1 km 1 次等 对高可靠性则用菲特 Fit 为单位 1 Fit 10 9 h 按上述定义 失效率是在时刻t尚未失效的产品在 t t t的单位时间内发生失效的概率 1 lim 0 tTttTtP t t t 2 6 它反映t时刻失效的速率 也称为瞬时失效率 瞬时失效率表达式 瞬时失效率表达式 dt tdn tnttnn tn t f sf f t 1 lim 0 可靠性特征量 n tn tR s n tn tF f dt tdR dt tdF tf tR tf dt tdF tRndt tdn tn n t f s 1 不难证明 00 00 0 limlim limlim lim tt tt t P tTtt Tt tt t t P tTtt TtP tTtt P TttP Ttt F ttF tF t tR tR t 进一步可推得 1 F tF tR t t F tR tR t 由 得 R t t R t d d R t tt R t 将上式积分 0 dln t ttR t 即 2 8 e t dxt tR 0 失效率的观测值是在某时刻后单位时间内发生失效的 产品数与到该时刻尚未失效的产品数之比 即 ttn tnttn ttn tn t s ff s f 2 9 平均失效率是指在某一规定的时间内失效率的平均 值 在 t1 t2 内失效率的平均值 2 1 d 1 12 t t tt tt t 2 10 平均失效率的观测值 对于不可修复的产品是指在一 个规定时期内失效数与累积工作时间之比 对于可修 复的产品是指它的使用寿命期内的某个观察期间一个 或多个产品的故障发生次数与累积工作时间之比 即 t r t 2 11 例例2 2 设有100件不可修复的产品投入试验 试验至 500h时有3件失效 继续试验至600h又有2件失效 至 试验结束时所有产品失效 并有累积工作时间800 000h 试求500h时的失效率和该产品的平均失效率 解 解 由题意可知 n 100 ns 500 97 r 2 t 100h 800 000h r 100 且所求值均为观测值 根据公式 2 9 和 2 11 可得 t h10 062 2 10097 2 500 4 h10 250 1 000800 100 4 失效率与失效概率的区别失效率与失效概率的区别 失效率是产品工作到失效率是产品工作到t时刻 在还有时刻 在还有ns t 个产品尚未个产品尚未 失效的条件下 发生失效的条件概率密度 更直观地反失效的条件下 发生失效的条件概率密度 更直观地反 应产品在应产品在t时刻的失效情况 时刻的失效情况 失效概率是产品总体在失效概率是产品总体在t时刻发生失效的概率与尚未时刻发生失效的概率与尚未 失效的产品数无关 失效密度主要反映产品总体在全部失效的产品数无关 失效密度主要反映产品总体在全部 工作时间内的失效概率密度变化情况 工作时间内的失效概率密度变化情况 可靠性特征量 4 寿命特征量寿命特征量 在可靠性工程中 规定了一系列与寿命有关的指标如 平均寿命 可靠寿命 特征寿命和中位寿命等等 这 些指标统称为寿命特征量 它们是直接用时间度量产 品可靠性的尺度 1 平均寿命 平均寿命是最常用的寿命特征量 平均寿命 对不可 修复的产品是指从开始使用到发生故障的平均时间 记为 MTTF Mean Time To Failures 对可修复的 产品是指平均失效间隔时间 即两次相邻故障之间的 平均工作时间 又称平均无故障工作时间 记为MTBF Mean Time Between Failures 它一般可表示为寿 命的数学期望E T 记作 可靠性特征量 寿命特征量 不可修复产品不可修复产品 n i i t N MTTFt 1 1 设设N个不可维修产品在同样条件下试验 测得全部寿命数个不可维修产品在同样条件下试验 测得全部寿命数 据 每次失效时间 为据 每次失效时间 为t1 t2 tn 则平均寿命为 则平均寿命为 若子样比较大 即若子样比较大 即N很大 则将数据分成很大 则将数据分成ti为中值的为中值的 m组 每组的失效数为组 每组的失效数为 则 则 i r m i ii rt N t 1 1 每组的频率为每组的频率为 Nrp ii m i ii ptt 1 4 寿命特征量寿命特征量 可靠性特征量 令m 则 dttfdt dt dr NN r ii 1 积分积分 dttf tt 0 由由 dt tdR tf 00 dttRdt dt tdR tt m m 产品的平均寿命等于产品可靠度在所有时间段上的积分 产品的平均寿命等于产品可靠度在所有时间段上的积分 tR t 1 t 当失效密度函数f t 已知 且连续分布 那么 总体的 平均寿命 可按下式计算 ttRttftd d 00 2 12 平均寿命的观测值的表达式为 r T 总失效数 所有产品的总工作时间 2 13 2 寿命方差和寿命标准差 寿命方差和寿命标准差反映产品寿命分布的离 散程度 ttftTDd 2 0 2 2 14 寿命标准差为 2 15 TD 当t为连续型随机变量 分布已知时 总体的寿命方差为 在可靠性工程中 一般用样本方差和样本标准差作为总 体寿命方差和标准差的估计值 即 n i i n i i tt n tt n 1 2 1 22 1 1 1 1 2 16 式中 n 试验总数 ti 第i个失效时间 t 平均寿命 3 可靠寿命 中位寿命和特征寿命 可靠度等于给定值R时的产品寿命称为可靠寿命 记作 tR 即R tR R 可靠寿命的表达式为 1 RRt R 2 17 式中 R的反函数 当R 0 5时 可靠寿命t0 5称为中位寿命 当R 0 368时 可靠寿命te 1称为特征寿命 1 RR 1 e 4 更换寿命 如果对产品预先给定允许的失效率值 0 则满足方程 0 t 2 18 的解 称为更换寿命 0 tt 0 t 针对 是随时间而递增的函数来讲 更换 的意思是 产品工作到 时必须加以更换 否则失效率会高于 而对于 是随时间而递减的函数来讲 只要在 前进 行筛选 在 后不失效的产品投入使用 其失效率低 于 故此时又称 为筛选寿命 t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 0 t 五 维 修 性 维修性与可靠性并不是同时发展起来的 详细的和定量的维修性 研究 直到50年代才开始 直至80年代后 维修性才被视为设计 过程的要素和一个固有的设计特性 被写入产品规范 并可以进 行验证 且同诸如可靠性和后勤保障特性一起作权衡分析 一一 维修性概念维修性概念 维修性的定义为 产品在规定的条件下 按照规定的程序和方法 进行维修 产品保持或恢复到规定的能力 由于设备的维修费用不断上升 维修性作为一个单独的系统特性 越来越重要 维修性被定义为一种设计和安装特性 是一项已完 成的设计所固有的特性 该特性反映使产品设计保持或恢复到一 个规定的状态所需要的维修类型和工作量 维修的定义为 为保持或恢复产品处于能执行规定功能的状态所 进行的所有技术和管理 它包括诊断 修理和检验 因此 维修活动总是与设计固有的维修性联系在一起 也就是说 它必须保持维修性的现有水平 而不可能 提高维修性水平 维修分为预防维修和修复性维修 又称事后维修 维修性与维修非常相似 区别在于 维修性是一种设 计考虑 它是以总停机时间为基础 这个时间包括有 效的修理时间 后勤时间和行征时间 维修性的要求 可以规定 测定和验证 而维修则是设计的结果 它 仅限于有效的修理时间 二 二 维修度维修度 2 维修度的定义为 在规定条件下使用的产品 在规 定的时间内 按照规定的程序和方法进行维修时 保 持或恢复到能完成规定功能的概率 一般记为M 它 是维修时间t的函数 故也记为M M 称为维修度 函数 若用随机变量T表示维修时间 表示某一时刻 则M 的数学表达式为 MP T 2 19 维修度的观测值为 时间内产品被修复的次数与产品发生故障的 总次数之比 如果 M 是连续可微 则它的导函数即为维修密度函数 记 为m 则有 m d M d 2 20 2 修复率修复率 修复率是指维修时间已达到某个时刻 但尚未修复的产品 在刻时刻后的单位时间内被修复的概率 记为 有 1 m M 2 21 平均修复率 是在某一规定时间间隔 1 2 内修复 率的平均值 即 2 22 2 1 21 1 dtt 平均修复率的观测值是指在维修的某个观测期间产品修 复数与累积修复时间之比 即 r N 2 23 式中 Nr 在规定修复时间内完成修复的产品数 在规定修复时间内累积修复时间 3 3 平均修复时间平均修复时间 平均修复时间MTTR Mean Time To Repairs 是产品修 复时间的平均值 理论上 有 0 MTTR dEm 2 24 平均修复时间的观测值是修复时间的总和与修复次数之 比 即 1 MTTR N i i t N 2 25 式中 N 修复的次数 ti 第i次故障的维修时间 可靠性和维修性特征量之间的类似关系如表2 1所示 m 0 d t F tf uu 0 dMm uu 1 f t t F t 1 m M 0 MTTF dt f tt 0 MTTR m d 可靠性特征量 维修性特征量 失效密度 f t 维修密度 不可靠度 维修度 失效率 修复率 平均寿命 平均修复时间 例例2 2 3 3 今有24台测量仪器发生故障 其修复完毕时间 分别为 38 40 44 45 45 48 51 51 57 59 60 64 65 65 67 68 74 77 78 79 86 90 98 单位min 试求80min时的维修度 解 解 80min维修度为 21 80 10087 5 24 M 即需要修理的总数中 有87 5 估计在80min内修复完毕 六六 有有 效效 性性 可用性可用性 可用性是用来描述可靠性和维修性的综合特性 它可以回答这样 的问题 在某种工作条件下 当需要的时候 设备是否可用 显然 它正是考虑设备 产品 可以被利用的程度 一一 有效性有效性 可用性可用性 的定义的定义 可用性的定义为 可以维修的产品在某时刻具有或维 持规定功能的能力 可用性的概率度量称为可用度 又称为有效度 Availability 可用性与产品的可靠程序和维修难易程度有关 是描 述可修复产品的特性指标 例如 某种可修复产品 虽然可靠度较高 不易出故障 但如果一旦出现故障 维修时间要很长 该产品的可用性是不好的 但如果 该产品是模块性组装 易出故障的模块容易替换修复 则该产品的可用性会好些 可用性与时间是分不开的 当产品处于 不需求时间 如贮存和运输期间 时 不适用于可用性分析 而具体讨论可用性的时候 需把维修性划分为几个组 成部分 预防性维修 修复性维修 管理延误 补给 延误 以便确定各个组成部分对整个系统 产品 可靠性的影响 权衡分析可靠性和维修性 二二 可用性特征量可用性特征量 1 1 瞬时可用度瞬时可用度 瞬时可用度是产品在某一时间t具有或维持规定功能的 概率 记为A t 2 2 平均可用度平均可用度 平均可用度是在某一规定时间间隔 t1 t2 内可用度 的平均值 即 2 1 m1 2 21 1 d t t At tA tt tt 2 26 3 3 极限可用度极限可用度 稳态可用度稳态可用度 极限可用度是当时间趋于无限大时 瞬时可用度的极 限值 记为 简写为A A lim t AA t 2 27 式中 失效率 修复率 4 4 可用度的观测值可用度的观测值 可用度的观测值是指在某个观察时间内 产品能工作 时间对能工作时间与不能工作时间之和的比 记为 U A UD 2 28 式中 U 能工作时间 包括任务时间 起动时间及 待机时间 D 不能工作时间 包括停机维护时间 维修时间 延迟时间及改装时间 5 5 几种可用度计算公式几种可用度计算公式 1 固有可用度 仅针对工作时间和修复性维修来规定的系统可 用性称为固有可用度 Ai i MTBF MTBF MTTR A 在承制方的设备上或其他受控的试验环境下作试验 的条件下 固有可用度对确定系统 产品 的基本工作 特性有用 经常作为合同规定的要求 但是它对大多数 系统的使用潜力只是一种粗略的估计 2 29 2 使用可用度 针对设备预定处于能使用状态的所有时间段 图2 5中 的总时间 而规定的系统可用性 称为使用可用度 Au u OT ST OT ST TPM TCM ALDT A 2 30 使用可用度把系统设备 保障条件和环境条件综合成一个意义参数 是评估系统使用潜力的最理想的形式 是度量在工作环境下设备可用 性的一种实用方法 3 获得的可用度 这项可用度定义为 a OT OT TCM TPM A 2 31 Aa是在系统研制试验和试生产阶段经常使用的参数 它不 包括维修前后工作人员检查 备用 补给和管理性等待时 间 因此 Aa是与系统硬件有关的度量 例例2 2 4 4 有两台仪表 第一台仪表的MTBF为2 000h 第二 台为1 000h 又 第一台的MTTR为20 h 第二台为5 h 试 求它们的固有可用度 解 解 按式 2 29 计算 i1i2 20001000 0 990 995 20002010005 A A 可见 第二台的MTBF虽然较短 但可用 度反而较高 3 系统有效性 系统有效性 System Effectiveness 是综合了有效 度A 可靠度R和完成功能概率P或能力C或设计适用性D 等的一个综合尺度 是系统开始使用是的有效度 使 用期间的可靠度和功能的乘积 有效性E的表达式为 E ARP 2 32 作业 作业 第二节第二节 产品寿命规律与常用分布产品寿命规律与常用分布 一 一 失效率曲线和寿命期失效率曲线和寿命期 二 二 常用寿命分布及其背景常用寿命分布及其背景 指数分布指数分布 正态分布正态分布 威布尔分布威布尔分布 对数正态分布对数正态分布 混合分布混合分布 第二节第二节 产品寿命规律与常用分布产品寿命规律与常用分布 在可靠性工程中要用到许多种概率分布 这些分布可 分为两大类 一类是产品寿命的分布 所谓寿命分布 是指失效时间分布 反映产品失效的规律 研究寿命 分布是可靠性工程应用中的一项基础工作 另一种是 为了处理试验数据 进行各种假设检验等统计运算所 使用的分布 一 失效率曲线和寿命期 一 失效率函数有三种基本类型 早期失效型 耗 损失效型 二失效率曲线和寿命期二失效率曲线和寿命期 图3 1 a 中曲线适合计算机软件 软件不会磨损 也不 会因外部负载而失效 其大多数失效产由于一开始就 存在于软件内的 错误 或缺陷所致 图3 1 b 中曲线 适合经过筛选出厂的电子元器件 每个电子元器件的 失效是随机事件 偶然发生的 图3 1 c 中曲线适合机 械零件 机械零件基本的失效是疲劳 磨损 腐蚀及 其他累积效应所至 产品的寿命特征来分析 大量使用和试验结果表明 由零件 元器件组成的产品失效率曲线的典型特征是 两端高 中间低 呈浴盆状 习惯称之为 浴盆曲 线 其形状如图3 2所示 1 早期失效期 早期失效期出现在产品开始工作的初期 其特点是失效 率高 但随时间迅速下降 主要原因是材料缺陷 设计 制造工艺问题及管理不当 称为调整期或锻炼期 2 偶然失效期偶然失效期 偶然失效期其特点是失效率 t 变化缓慢基本恒定 随机性出现低于预期的随机应力 误用 操作失误等 难以预测及检查的因素 这个阶段 产品的寿命分布 服从指数分布 失效率近似为常数 3 耗损失效期耗损失效期 耗损失效期出现在产品使用的后期 其特征是失效 率逐渐上升 出现大批失效 耗损失效的 老化 磨 损 疲劳 腐蚀和各种机械的 电子 化学的 水力 的 气体动力学的不可逆变化等等 失效多用正态分 布或威尔分布等来描述 不断提高那些寿命短的零部 件的工作寿命 掌握寿命短的零部件耗损期的开始时 间 及时地更换可修复产中即将老化的元件 并对可 修复系统进行适时的翻修 1 电子产品的失效率曲线电子产品的失效率曲线 最为关心的是随机失效问题 2 机械产品的失效曲线机械产品的失效曲线 图3 4是典型的机零件失效曲线 失效率不等于常数 主要失效形式如疲劳 磨损 腐蚀及蠕变等 都属于 典型的损伤累积失效 而且影响失效的偶然因素很复 杂 随着时间的推移 失效率是递增的 人们关心的是估计其安全和经济的运行寿命以及制定 预防维修和更换零件的精确的时间进度表 二 二 常用寿命分布及其背景常用寿命分布及其背景 一一 指数分布指数分布 指数分布是电子产品的可靠性工程中最重要的分布 随机失效阶段 其寿命服从指数分布 在随机失效阶段 没有一种失效机理对失效起主导作 用 零件的失效纯属偶然 在单位时间内发生的次数X 服从参数为 t的泊松分布 而相邻两次失效发生之间的 时间也是一个随机变量 它服从于参数为 的指数分布 1 指数分布函数指数分布函数 指数分布的密度函数 0 0 0 0 e t t tf t 3 1 式中 为指数分布的参数 常数 指数分布的分布函数 即累积失效分布函数 和可靠度 数为 0 e1 ded 0 t xxxftF t tt x 0 e 1 t1 与已工作时的时间t0无关 用条件概率 来表示 1010 tTPtTttTP 3 10 根据条件概率 可以得到 1 0 10 e e e 0 10 0 010 010 t t tt tTP ttTP tTP tTttTP tTttTP 因此 式 3 10 成立 4 指数分布的应用指数分布的应用 电子 电器元件及系统及机电产品的偶然失效整机方 面均得到普遍应用 系统则工作在正常使用阶段的随 机失效期 例例3 2 设某一计算机的错误率是恒定的 即每连续工 作50