第五章 相似矩阵及二次型.doc

班级 姓名 学号第五章 相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把向量组正交化.解：根据施密特正交化方法:令，, ，故正交化后得 2. 判断下列矩阵是不是正交阵，并说明理由:(1) (2)解： (1)第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵143. 设为n维列向量, , 令, 求证: H是对称的正交阵.证明 因为 HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T =E-2(xT)TxT=E-2xxT, 所以H是对称矩阵. 因为 HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT) =E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT) =E-4xxT+4x(xTx)xT =E-4xxT+4xxT =E, 所以H是正交矩阵.4. 设与都是阶正交矩阵, 证明：（1）也是正交阵；（2）也是正交阵.证明（1）因为是阶正交阵，故， 所以 故也是正交阵正交. 正交.（2） 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1) (2).并问它们的特征向量是否两两正交?解：(1) . 故的特征值为当时,解方程,由 , 得基础解系所以是对应于的全部特征值向量当时,解方程,由, 得基础解系所以是对应于的全部特征向量,故不正交(2).故的特征值为当时，解方程，由, 得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由, 得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由 , 得基础解系故是对应于的全部特征值向量， ， 所以两两正交6. 设为阶矩阵, 证明与的特征值相同. 证明: 因为|AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同. 7. 设, 证明的特征值只能取1或2. 证明: 设l是A的任意一个特征值, x是A的对应于l的特征向量, 则 (A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因为x0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是说l=1或l=2.8.设是阶矩阵的特征值, 证明也是阶矩阵的特征值. 证明: 设x是AB的对应于l0的特征向量, 则有 (AB)x=lx, 于是 B(AB)x=B(lx), 或 BA(B x)=l(Bx), 从而l是BA的特征值, 且Bx是BA的对应于l的特征向量. 9. 已知3阶矩阵的特征值为1, 2, 3, 求. 解: 令j(l)=l3-5l2+7l, 则j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值, 故 |A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)j(2)j(3)=323=18. 10. 设方阵与相似, 求x , y.解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即 11. 设A与B都是n阶方阵,且,证明AB与BA相似.证明: 则可逆 则与相似12. 设矩阵可相似对角化, 求.解 由,得A的特征值为l1=6, l2=l3=1. 因为A可相似对角化, 所以对于l2=l3=1, 齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解, 因此R(A-E)=1. 由知当x=3时R(A-E)=1, 即x=3为所求. 13. 设3阶方阵A的特征值为;对应的特征向量依次为求A.解：因为，又，所以，.14. 已知是矩阵的一个特征向量， 试求参数及特征向量所对应的特征值.解： 设l是特征向量p所对应的特征值, 则 (A-lE)p=0, 即, 解之得l=-1, a=-3, b=0. 15. 设3阶实对称阵A的特征值为6,3,3, 与特征值6对应的特征向量为，求A.解： 设. 由， 知 3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用 可推出 秩为1.则存在实的使得成立由解得得 16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1); 解：故得特征值为当时，由. 解得 . 单位特征向量可取:当时,由. 解得. 单位特征向量可取: 当时,由.解得 单位特征向量可取: , 得正交阵. . (2) 解：，故得特征值为当时，由. 解得 此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量; ， 单位化得 当时,由. 解得. 单位化得.得正交阵. 17. 设, 求解 由 , 得A的特征值为l1=1, l2=5, l3=-5. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)T. 对于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1, -2, 1)T. 令P=(p1, p2, p3), 则 P-1AP=diag(1, 5, -5)=L, A=PLP-1, A100=PL100P-1. 因为 L100=diag(1, 5100, 5100), , 所以 . 18. 用矩阵记号表示下列二次型:(1);解： (2).解：19. 求一个正交矩阵化下列二次型成标准形:(1) ;解：二次型的矩阵为, 故的特征值为当时, 解方程，由. 得基础解系 . 取 当时，解方程，由，得基础解系 . 取当时，解方程，由 得基础解系 . 取 ，于是正交变换为. 且有 (2) .解：二次型矩阵为 ，故的特征值为当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，于是正交变换为 且有20. 证明:二次型在时的最大值为方阵A的最大特征值.证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得成立其中为的特征值，不妨设最大，为正交矩阵，则且，故则 其中当时，即即 故得证21.用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵：(1)；解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3; =(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化为规范形f=y12-y22+y32,所用的变换矩阵为 (2).解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. . 令 , 即, 二次型化为规范形f=y12+y22+y32,所用的变换矩阵为22.判别下列二次型的正定性:(1) ;解：, ， 故为负定 (2) .解：，, , 故为正定23.设U为可逆矩阵, 证明为正定二次型.证明：因为所以A 对称. 对于由于U 为可逆矩阵，有否则，若则必有矛盾. 所以当所以为正定二次型。24.设对称阵A为正定阵, 证明存在可逆矩阵U, 使.证明：正定，则矩阵满秩，且其特征值全为正不妨设为其特征值，存在一正交矩阵使又因为正交矩阵，则可逆，所以令，可逆,则25. 试证:（1）A正定,则与也正定;（2）A与B均为n阶正定阵, 则A+B为正定阵.证明：（1），（2）26. 选择题：（1）设=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ b ）(a) (b) (c) (d) （2）设A为n阶可逆阵，为A的一个特征值，则A的伴随阵的一个特征值是（ b ）(a) (b) (c) (d) （3）设A为n阶可逆阵，且（k为正整数）, 则（ c ）(a) A=