高中数学 专题1.7.1 定积分在几何中的应用教案 新人教A版选修22.doc

定积分在几何中的应用【教学目标】1会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积 【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积 本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积 【教学过程】探索新知探究点一求不分割型图形的面积思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可例1计算由曲线y2x，yx2所围图形的面积s.因此，所求图形的面积为ss曲边梯形oabcs曲边梯形oabddxx2dxx|x3|.反思与感悟求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果跟踪训练1求由抛物线yx24与直线yx2所围成图形的面积解由得或，所以直线yx2与抛物线yx24的交点为(3,5)和(2,0)，设所求图形面积为s，根据图形可得s(x2)dx(x24)dx(2xx2)|(x34x)|().探究点二分割型图形面积的求解思考由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2计算由直线yx4，曲线y以及x轴所围图形的面积s.解方法一作出直线yx4，曲线y的草图解方程组得直线yx4与曲线y交点的坐标为(8,4)直线yx4与x轴的交点为(4,0)因此，所求图形的面积为ss1s2dx|(x4)2|.方法二把y看成积分变量，则s(y4y2)dy(y24yy3)|.反思与感悟两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限跟踪训练2求由曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解画出图形，如图所示得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以s(x)dx(2x)(x)dx(x)dx(2xx)dx(xx2)|(2xx2x2)|(2xx2)|692.探究点三定积分的综合应用例3在曲线yx2(x0)上某一点a处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点a的坐标以及在切点a处的切线方程解如图，设切点a(x0，y0)，其中x00，由y2x，过点a的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx，令y0，得x，即c(，0)，(x0)xx.sxxx.x01，从而切点为a(1,1)，切线方程为2xy10.反思与感悟本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决跟踪训练3如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积s(xx2)dx|.又又知s，所以(1k)3，于是k1 1.课堂提高1用s表示图中阴影部分的面积，则s的值是()a.f(x)dx b.f(x)dxc.f(x)dx+f(x)dx d.f(x)dx-f(x)dx【答案】d【解析】 因为在区间a，b上f(x)0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积为|sinx|dx=2sinxdx.5求由抛物线yx24x3及其在点a(1,0)和点b(3,0)处的切线所围成图形的面积6求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得s=s1+s2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t3+-t2-t3+t3=