浙江大学2001常微分期终试卷.doc

浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷系_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六七八总分复核得 分评卷人得分一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中1.设，其中，互不相等，且 ，则的值等于（ ）. （A）. （B）. （C）. （D）.2.曲线，当时，它有斜渐进线（ ）.（A）. （B）. （C）. （D）.3.下面的四个论述中正确的是（ ）.（A）.“函数在上有界”是“在上可积”的必要条件；（B）.函数在区间内可导，那末是 在处取到极值的充分条件；（C）.“函数在点处可导”对于“函数在点处可微”而言既非充分也非必要；（D）.“函数在区间上连续”是“在区间上原函数存在”的充要条件.4.下面四个论述中正确的是（ ）.（A）.若 ，且单调递减，设，则；（B）. 若 ，且极限存在，设，则；（C）. 若，则；（D）. 若，则存在正整数，当时，都有.得分二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案1. =_；=_.2.函数可导，则=_.3. =_.4. =_；=_.得分三、求极限：（每小题7分，共14分）1.数列通项，求.2.求.得分得分四、求导数：（每小题7分，共21分）1. ，求.2. 求，.3.函数由确定，求得分五、求积分：（每小题7分，共28分）1.求.2.求.3.求.4.计算.得分六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微分方程的专业做第2题.1.求解常微分方程：2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？得分七、（6分）在平面上将连结原点与点的线段（即区间）作等分，分点记作，对，过作抛物线的切线，切点为.1.设的面积为，求；2.求极限.得分八、证明题（5分）设在上连续，且，.证明：对任意，且，必有.浙江大学2001级微积分（下）期终考试试卷系_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六总分复核得 分评卷人得分一、填空题：（每小题3分，共15分）只填答案1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面的方程是_。2.设，可微，则=_。3. 曲面在点的法线方程是_。4. 函数关于的幂级数展开式是_，且展开式的收敛区间为_。5.设则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_。得分二、选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中1.设直线，设平面，则直线（ ）（A）平行于 （B）在上 （C）垂直于 （D）与斜交2.考虑二元函数的下面4条性质：在点处连续；在点处的两个偏导数连续；在点处可微；在点处的两个偏导数存在，若用“”表示可由性质推出性质，则有（ ）（A） （B） （C） （D）3.已知：为某函数的全微分，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）4.设为常数，则级数（ ）（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与有关5.设则div(grad )为（ ）（A） （B） （C） （D）得分三、（每小题8分，共24分）1.设，其中具有二阶连续的偏导数，具有二阶导数，求，通项.2.设由方程所确定，其中为可微函数，求，.3.在第一卦限内作球面的切平面，使得该切平面与三坐标平面所围成的区域的体积最小，求切点坐标.得分得分四、（每小题8分，共16分）1. 求二重积分，其中是由曲线，直线，所围成的平面区域.2.求三重积分，其中是由曲线绕轴旋转所成的曲面与平面所围成的空间区域.得分五、（每小题8分，共16分）1.求曲线积分，其中是抛物线上自点到点的一段有向弧.2.求曲面积分，其中是曲面介于平面与平面之间的部分，法线朝上，为连续函数.得分六、（第1小题8分，第2小题6分，共14分）1.求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数.2.证明级数当时收敛，当，且时发散.浙江大学2002级微积分（上）期终考试试卷学院_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六七八总分复核得 分评卷人得分一、填空题：（每题4分，共12分）只填答案1.举出符合各题要求的一例，并将其填入空格内。（1）在点不连续，但当时极限存在的函数有_；（2）属“”或“”未定型，且其极限存在，但极限不能用洛必达法则求得的极限有_；（3）原函数不存在，但其原函数不能用初等函数表示的函数有_;（4）有界，但不可积的函数有_；2.已知抛物线过点，且在该点的曲率圆方程是：.则=_，=_，=_,曲线在（1，2）处的曲率k_.3. 设.（1）=_；（2）=_；（3）=_；得分二、选择题：（每题3分，共12分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中1.设，且在内二阶可导，又，则在内的单调性和图形的凹向是（ ）. A.单调增，向下凹 B.单调减，向下凹 C.单调增，向上凹 D.单调减，向上凹2.函数在点的以下结论正确的是（ ）A.若，则必是一极值；B.若，则点必是曲线的拐点；C.若极限存在（为正整数），则在点可导，且有；D.若在处可微，则在的某领域内有界。3.设当时，都是无穷小（），则当时，下列表达式中不一定为无穷小的是（ ）.A.； B.； C.； D. .4.设函数在处（ ）.A.不连续； B.连续，但不可导； C.可导，但导数不连续； D.可导，且导数连续。得分三、求极限：（每小题7分，共14分）1. .2. .得分得分四、求导数：（每小题6分，共18分）1. 设.求.2. 求，.3.函数由所确定，求，.得分五、求积分：（每小题6分，共24分）1. .2. .3. .4. .得分六、（10分）下面两题做一题，其中学微积分（甲）的专业做第甲题，学微积分（乙）的专业做第乙题。（甲）：（1）在抛物线上找一点，过点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的区域面积最小，求点坐标。 （2）设函数在区间内连续，极限，存在，且两者异号，证明方程在内至少有一个实根。（乙）：设有一边界有两条抛物线与所围成的平板。 （1）画出平板的图形，并计算其面积； （2）将此平板铅直置于水中，水平面在处，试求平板一侧所受到的水的静压力。得分七、（5分）设数列由下式给出：，证明数列极限存在，并求得分八、证明题（5分）设在内二阶可导，且，证明：对于任意的，且及，恒有.浙江大学2002级微积分（下）期终考试试卷系_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六总分复核得 分评卷人得分一、选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中。1.二元函数在点处可微是在该点两个偏导数都存在的（ ）（A）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件2.二元函数，在点处（ ）（A）连续、偏导数存在 （B）连续、偏导数不存在（C）不连续、偏导数存在 （D）不连续、偏导数不存在3.设直线与，则与的夹角为（ ）（A） （B） （C） （D）4.下列级数中收敛的级数是（ ）（A） （B） （C） （D）5.设力作用在一质点上，该质点从点沿直线移动到点，则此力所作的功为（ ）（A） （B） （C） （D）得分二、填空题：（每小题3分，共24分）只填答案1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面的方程是_。2.与矢量，矢量都垂直的单位矢量是_。3.设方程确定，则_。4.曲面在点处的切平面方程是_。5._。6.设曲线，则=_。7.设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为_。8.设，则的麦克劳林级数展开式为_。得分三、计算（每小题8分，共16分）1.设，具有连续的二阶偏导数，求，。2.设函数，（1）在点处沿哪个方向的方向导数最大；（2）求在点处的最大方向导数。得分得分四、计算（每小题8分，共16分）1. 计算三重积分，其中是由与所围成的区域。2.求平面含在椭圆柱面内的面积。得分五、计算（每小题8分，共16分）1.计算，其中沿上半圆周从点到点。2.求曲面积分，其中为球面的外侧。得分六、（第1小题7分，第2小题6分，共13分）1.求幂级数的和函数，并指出收敛域。2.就的不同取值，讨论级数的收敛性。浙江大学20032004学年第一学期期末考试微积分试卷开课学院： 理学院 任课教师：_姓名：_专业：_学号：_考试时间：120分钟题序一二三四五六总分得分评卷人复评人得分评阅人一、填空题（本大题24分，每个空格4分）、1.设若在处可导，则_，_；2.函数的图形有铅直渐近线_和斜渐近线_；3. _；4.设在连续，且，则=_.得分评阅人二、（本大题9分）、设，.求常数，使，. 得分评阅人三、计算题（本大题40分，每小题5分）、1. 2. 3. 4. 设，求5. 6. 设满足，求曲线在处的切线方程.7. ，求8. 得分评阅人四、（本大题12分）设为曲线在点处的切线，为曲线的另一条切线，且与直线垂直.（1）求直线和的交点坐标；（2）求曲线与切线和所围成的平面图形的面积，试问当为何值时，该面积最小？得分评阅人五、（本大题8分）、设在上连续，、分别是在上的最大值和最小值.证明：存在，使得.得分评阅人六、（本大题7分）、设，. 证明：在中有唯一的零点，即存在唯一的，使.浙江大学20032004学年第二学期期末考试微积分课程试卷开课学院： 理学院 任课教师：_姓名：_专业：_学号：_考试时间：120分钟题序一二三四五六总分评卷人得分一、填空题（每个空格5分，满分30分）（1）点到直线的距离_.（2）设，则_.（3）幂级数的收敛范围是_.（4）设一矢量场，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比（比例常数为），方向指向原点，则=_.（5）设，且是的傅里叶级数，则系数_，