1.1.2四种命题

第四讲：命题形式及其等价关系知识点1命题的判定及证明命题的有关概念:判断真假的语句叫命题,命题常用陈述句表述.正确的命题叫真命题.错误的命题叫假命题.若这件事成立可以推出这件事成立,那么就说由可推出,记作,读作“推出”.要证明一个命题是假命题，只要举出满足条件而不满足命题结论的例子就可以了，也就是说，通常使用举一反例的方法来证明一个命题是假命题。例1判断下列命题的真假,并给出证明（1）两个三角形两边一对角对应相等,则这两个三角形全等.（2）如果一元二次方程ax2+bx+c=0满足ac0，那么这个方程有两个不相等的实根.（3）如果集合A、B、C满足AB=AC,那么B=C.（4）已知集合A、B、C,如果AB,那么ACBC.练习1.下列语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（6）你是高一学生吗？（7）；（8）.练习2.将下列命题改写为“如果，那么”的形式.（1）个位是5的整数能被5整除；_.（2）空集是任何集合的真子集；_.（3）凡直角三角形都相似. _.知识点2 推出关系1.定义:一般地,如果事件成立可以推出事件也成立,那么就称推出,记作.2.性质:(1)推出关系具有传递性.即若,就有.(2)如果命题的条件、结论有推出关系,则这个命题是真命题.例2用符号“、”连接事件与.(1):x2=4,:x=2,则.(2):实数x适合x1,:x0,则.(3)A、B是两集合,:AB,:AB=A,则.(4)a、b是两整数,:a与b奇偶性相同,:a+b是偶数,则.(5):x+23y,:x-3y-10,则.知识点3 命题的四种形式及其相互关系1四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若，则逆否命题若，则2四种命题间的逆否关系3四种命题的真假关系来源:Z+xx+k.Com(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；来源:Z|xx|k.Com(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法真命题的证明方法:从已知的条件出发,根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系,得出要证明的结论.反证法用反证法证明命题的一般步骤：假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.例3设原命题为“已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则ac=bd”,请分别写出它的逆命题、否命题和逆否命题.逆命题：否命题：逆否命题：练习3列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除;逆命题： （ ）否命题： （ ）逆否命题： （ ）等腰三角形的底角相等.逆命题： （ ）否命题： （ ）逆否命题： （ ）练习4命题的构成形式名 称形 式原 命 题逆 命 题否 命 题逆否命题名 称形 式原 命 题如果两个三角形全等，那么它们的面积相等逆 命 题否 命 题逆否命题5 出下列常用词语的否定词语：正面词语等于大于小于是都是一定至多有一个至少有一个否定正面词语至少有个至多有个对所有的成立存在某成立且或否定知识点4等价命题如果两个命题A、B,AB且BA,那么A、B叫等价命题.注意 等价命题同真同假.原命题与其逆否命题,逆命题与否命题分别互为逆否命题,为等价命题,同真同假,所以有时在证明一个命题有困难,可以证其等价命题,通常证明其逆否命题来代替证明原命题.例4列各组中两个命题是否互为等价命题.（1）“AB”与“AB=B”.（2）“xA”与“xAB”.（3）“aAB”与“aB”.（4）“mAB”与“mAB”.例5知AB,BC,证明AC.例6证:对角线不互相平分的四边形不是平行四边形.练习1在原命题“若ABB，则ABA”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是.命题“A”为真，那么下列命题中真命题是（ ）（A）AB （B） （C）A （D）B2写出命题“若A=或B=，则AB=”的逆命题、否命题、逆否命题.逆命题：否命题：逆否命题：3已知命题：“如果两个数同为有理数或同为无理数，那么这两个数之和是有理数.”写出它的否命题，判断否命题的真假，并说明理由.4判断命题“如果ABC为锐角三角形，则A+B90”的真假，并证明.5判断下列命题的真假，并给出证明（1）对顶角相等；（2）两个无理数的和一定是无理数；（3）如果集合、满足，那么；（4）如果一元二次方程满足，那么这个方程有两个不相等的实数根.6出下列语句的否定形式（1）、都是正数；（2）、中至少有两个是负数；（3）、中至多有两个是负数；（4）或；（5）对任意实数，都有.7写出“存在实数，使得”的否定形式.8.列命题中，用符号“”、“”，或“”把、这两件事联系起来（1）：实数满足，_： 或；（2）：，_：或； （3）：，_：；（4）：，_：；（5）：是偶数，：是偶数.9.推出符号“”、“”，或“”把、这两件事联系起来：（1）：_：；（2）：_：或；（3）：四边形是平行四边形_：四边形是矩形；（4）：_：方程有实数解.10断下列命题的真假：（1）互为子集的两个集合相等；（ ）（2）曲线与轴至少有一个交点；（ ）（3）若且，则或；（ ）（4）无理数不都是无限小数.（ ）作业1 写出下列语句的否定： （1）_；（2）、不都是无理数_.2 命题：如果，那么抛物线的图像过原点的逆否命题是_.3 命题“设、，如果是的倍数，那么、中至少有一个是的倍数”是_命题（填“真”或“假”），理由是_.4.与命题“、不全是负数”等价的命题（ ）A、中至少有一个是正数； B、全不是负数；C、中只有一个负数； D、中至少有一个是非负数.5.有下列命题： 不是方程； 若，则，； 若，则； 关于的不等式的解集是，其中假命题的个数是（ ）A1；B2；C3；D4.6. 命题：“如果，那么”的逆否命题是（ ）A如果，那么；B如果，那么；C如果，那么；D如果，那么.7. 命题，命题，则命题与的推出关系是（ ）A；B；C；D以上都不对.8. 判断命题“两个奇数的平方差是8的倍数”的真假，并给出证明.9. 写出命题“非空集合、是全集的子集，若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出是真命题还是假命题.10. 写出命题：“如果一元二次方程有一正根和一负根，那么”的逆命题，判断真假并给出证明.11 证明：若，则.12. “在中，若，则”的等价命题是_ _.13. 有四组命题：“”与“”；“”与“”；“”与“”；“”与“”，其中等价命题的有_（填序号）.14. 命题为真，则下列命题中的真命题是（ ）A；B；C；D.15.命题“”的等价命题是（ ）A且；B或；C、中至少有一个