第三讲 行列式按行按列展开.doc

教 学 内 容 课堂组织单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室批准： 日期： 年 月 日 任课教员：刘 静班 次上课日期节次上课时数累计时数教学场所06级电子信息3班07. 09.21342620#B10206级合训7、8班07.11.193426236课程名称：线 性 代 数章节名称：第一章 行列式课 题：第三讲 行列式按行按列展开目的、要求：1. 行列式的按行按列展开法则；2. 掌握行列式的计算方法。难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。器材设备：多媒体设备课 前 检 查序号题 目学员姓名成绩1行列式的定义2行列式的6条重要性质- 8 -教学内容、方法、步骤教学内容：本讲主要介绍：1. 行列式的按行（列）展开法则；2. 掌握行列式的计算方法。教学方法与思路：1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念；2. 对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？3. 给出一个特殊的n阶行列式的计算方法，从而给出一个引理； 4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。教学步骤：1. 介绍余子式和代数余子式的概念；2. 引理；3. 行列式的按行（列）展开法则；4. 应用举例。5. 小结并布置作业。6 行列式按行按列展开一、行列式的按行按列展开法则以三阶行列式为例，容易验证：问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？对于高阶行列式也有同样的结论。 1余子式：在阶行列式中，将元素所在的行与列的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作 2代数余子式：元素的代数余子式3. 引理： 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即这里首先举一个实例说明其含义。(见多媒体)给出证明(见多媒体)。 定理3 证明：1）假定行列式D的第一行除外都是 0，即由行列式定义，D 中仅含下面形式的项其中恰是的一般项，所以2）设 D 的第 i 行除了外都是0，即把 D 的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第2行，第1行进行交换；再将第列与第列，第列，第2列，第1列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤。由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，得3）一般情形证毕。定理：行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之各为零，即。证明：由定理知，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。在中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，譬如第 k 行的元素，则右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。综上，得公式二、应用举例例5: 计算行列式。解：例6 计算n阶行列式解：将按第一行展开，得递推公式改写为 而 ，于是有 ，整理得将上述等式两端分别乘以，然后再相加，得到即得，整理得例7 证明范得蒙行列式证明：用数学归纳法证。 (1) 当n=2时, (2) 设n1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。上式右端的行列式是一阶范得蒙行列式，故原式 证毕。例8 计算Dn=det(aij),其中。解：例9 ，求第一行各元素的代数余子式之和 解：第一行各元素的代数余子式之和可以表示成板书标题于中央12min一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，行列式的按行（按列）展开则可以实现将高阶行列式转化为低阶行列式，这正是研究该问题的主要目的。注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。25min此定理叫做行列式的按行按列展开定理在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。把D转化为1)的情形利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。8min课间休息6mi