贵州省遵义县第六中学九年级数学上学期能力提升专题四 动态几何之定值问题探讨 新人教版.doc

能力提升专题四：动态几何之定值问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。本专题结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点e是矩形abcd的对角线bd上的一点，且be=bc，ab=3，bc=4，点p为直线ec上的一点，且pqbc于点q，prbd于点r（1）如图1，当点p为线段ec中点时，易证：pr+pq= （不需证明）（2）如图2，当点p为线段ec上的任意一点（不与点e、点c重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）如图3，当点p为线段ec延长线上的任意一点时，其它条件不变，则pr与pq之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想【答案】解：（2）图2中结论prpq=仍成立。证明如下：连接bp，过c点作ckbd于点k。四边形abcd为矩形，bcd=90。又cd=ab=3，bc=4，。sbcd=bccd=bdck，34=5ck，ck=。sbce=beck，sbep=prbe，sbcp=pqbc，且sbce=sbepsbcp，beck=prbepqbc。又be=bc，ck=prpq。ck=prpq。又ck=，prpq=。（3）图3中的结论是prpq=【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。【分析】（2）连接bp，过c点作ckbd于点k根据矩形的性质及勾股定理求出bd的长，根据三角形面积相等可求出ck的长，最后通过等量代换即可证明。（3）图3中的结论是prpq=125 。连接bp，sbpesbcp=sbec，sbec 是固定值，be=bc 为两个底，pr，pq 分别为高，从而prpq=。例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数l1：y=x24x+3与x轴交于ab两点（点a在点b左边），与y轴交于点c（1）写出二次函数l1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数l2：y=kx24kx+3k（k0）写出二次函数l2与二次函数l1有关图象的两条相同的性质；是否存在实数k，使abp为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；若直线y=8k与抛物线l2交于e、f两点，问线段ef的长度是否发生变化？如果不会，请求出ef的长度；如果会，请说明理由【答案】解：（1）抛物线，二次函数l1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，1）。（2）二次函数l2与l1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过a（1，0），b（3，0）两点。存在实数k，使abp为等边三角形，顶点p（2，k）a（1，0），b（3，0），ab=2要使abp为等边三角形，必满足|k|=，k=。线段ef的长度不会发生变化。直线y=8k与抛物线l2交于e、f两点，kx24kx+3k=8k，k0，x24x+3=8。解得：x1=1，x2=5。ef=x2x1=6。线段ef的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a0时，抛物线的开口向上；a0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。（2）新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。 当abp为等边三角形时，p点必为函数的顶点，首先表示出p点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的倍，由此确定k的值。联立直线和抛物线l2的解析式，先求出点e、f的坐标，从而可表示出ef的长，若该长度为定值，则线段ef的长不会发生变化。例3：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片abcd，点p为正方形ad边上的一点（不与点a、点d重合）将正方形纸片折叠，使点b落在p处，点c落在g处，pg交dc于h，折痕为ef，连接bp、bh（1）求证：apb=bph；（2）当点p在边ad上移动时，pdh的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设ap为x，四边形efgp的面积为s，求出s与x的函数关系式，试问s是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）如图1，pe=be，ebp=epb又eph=ebc=90，ephepb=ebcebp，即pbc=bph。又adbc，apb=pbc。apb=bph。（2）phd的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过b作bqph，垂足为q。由（1）知apb=bph，又a=bqp=90，bp=bp，abpqbp（aas）。ap=qp，ab=bq。又ab=bc，bc=bq。又c=bqh=90，bh=bh，bchbqh（hl）。ch=qh。phd的周长为：pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8。（3）如图3，过f作fmab，垂足为m，则fm=bc=ab。又ef为折痕，efbp。efm+mef=abp+bef=90。efm=abp。又a=emf=90，ab=me，efmbpa（asa）。em=ap=x在rtape中，（4be）2+x2=be2，即。又四边形pefg与四边形befc全等，。，当x=2时，s有最小值6。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出pbc=bph，进而利用平行线的性质得出apb=pbc即可得出答案。（2）先由aas证明abpqbp，从而由hl得出bchbqh，即可得ch=qh。因此，pdh的周长=pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8为定值。（3）利用已知得出efmbpa，从而利用在rtape中，（4be）2+x2=be2，利用二次函数的最值求出即可。练习题：1. （2011湖南岳阳8分）如图，将菱形纸片ab（e）cd（f）沿对角线bd（ef）剪开，得到abd和ecf，固定abd，并把abd与ecf叠放在一起（1）操作：如图，将ecf的顶点f固定在abd的bd边上的中点处，ecf绕点f在bd边上方左右旋转，设旋转时fc交ba于点h（h点不与b点重合），fe交da于点g（g点不与d点重合）求证：bhgd=bf2（2）操作：如图，ecf的顶点f在abd的bd边上滑动（f点不与b、d点重合），且cf始终经过点a，过点a作agce，交fe于点g，连接dg探究：fd+dg= 请予证明2. （2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点a（0，1），b（4，4），将点b绕点a顺时针方向旋转90得到点c；顶点在坐标原点的拋物线经过点b（1）求抛物线的解析式和点c的坐标；（2）抛物线上一动点p，设点p到x轴的距离为d1，点p到点a的距离为d2，试说明d2=d11；（3）在（2）的条件下，请探究当点p位于何处时，pac的周长有最小值，并求出pac的周长的最小值3. （2011湖南郴州10分）如图，rtabc中，a=30，bc=10cm，点q在线段bc上从b向c运动，点p在线段ba上从b向a运动q、p两点同时出发，运动的速度相同，当点q到达点c时，两点都停止运动作pmpq交ca于点m，过点p分别作bc、ca的垂线，垂足分别为e、f（1）求证：pqepmf；（2）当点p、q运动时，请猜想线段pm与ma的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设bp=，pem的面积为，求y关于的函数关系式，当为何值时，有最大值，并将这个值求出来4. （2011辽宁营口14分）已知正方形abcd，点p是对角线ac所在直线上的动点，点e在dc边所在直线上，且随着点p的运动而运动，pepd总成立(1)如图(1)，当点p在对角线ac上时，请你通过测量、观察，猜想pe与pb有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点p运动到ca的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点p运动到ca的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时pe与pb有怎样的关系？(直接写出结论不必证明) (1) (2) 5. （2011贵州遵义12分）如图，梯形abcd中，adbc，bc20cm，ad10cm，现有两个动点p、q分别从b、d两点同时出发，点p以每秒2cm的速度沿bc向终点c移动，点q以每秒1cm的速度沿da向终点a移动，线段pq与bd相交于点e，过e作efbc交cd于点f，射线qf交bc的延长线于点h，设动点p、q移动的时间为t（单位：秒，0t10）（1）当t为何值时，四边形pcdq为平行四边形？（2）在p、q移动的过程中，线段ph的长是否发生改变？如果不变，求出线段ph的长；如果改变，请说明理由二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例1：（2012湖北十堰3分）如图，o是正abc内一点，oa=3，ob=4，oc=5，将线段bo以点b为旋转中心逆时针旋转60得到线段bo，下列结论：boa可以由boc绕点b逆时针旋转60得到；点o与o的距离为4；aob=150；其中正确的结论是【 】a b c d 【答案】a。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】正abc，ab=cb，abc=600。线段bo以点b为旋转中心逆时针旋转60得到线段bo，bo=bo，oao=600。oba=600abo=oba。boaboc。boa可以由boc绕点b逆时针旋转60得到。故结论正确。 连接oo，bo=bo，oao=600，obo是等边三角形。oo=ob=4。故结论正确。在aoo中，三边长为oa=oc=5，oo=ob=4，oa=3，是一组勾股数，aoo是直角三角形。aob=aoooob =900600=150。故结论正确。故结论错误。如图所示，将aob绕点a逆时针旋转60，使得ab与ac重合，点o旋转至o点易知aoo是边长为3的等边三角形，coo是边长为3、4、5的直角三角形。则。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选a。例2：（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系o中，矩形aocd的顶点a的坐标是（0,4），现有两动点p、q，点p从点o出发沿线段oc（不包括端点o，c）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点c运动，点q从点c出发沿线段cd（不包括端点c，d）以每秒1个单位长度的速度匀速向点d运动.点p，q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时pq=.（1）求点d的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接aq并延长交轴于点e,把ae沿ad翻折交cd延长线于点f,连接ef，则aef的面积s是否随t的变化而变化？若变化，求出s与t的函数关系式；若不变化，求出s的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形apqf是梯形？【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，op=4，cq=2，在rtpcq中，由勾股定理得：pc=4，oc=op+pc=4+4=8。又矩形aocd，a（0，4），d（8，4）。t的取值范围为：0t4。（2）结论：aef的面积s不变化。aocd是矩形，adoe，aqdeqc。，即，解得ce=。由翻折变换的性质可知：df=dq=4t，则cf=cd+df=8t。s=s梯形aocfsfcesaoe=（oa+cf）oc+cfceoaoe= 4（8t）8+（8t）4（8）。化简得：s=32为定值。所以aef的面积s不变化，s=32。（3）若四边形apqf是梯形，因为ap与cf不平行，所以只有pqaf。由pqaf可得：cpqdaf。cp：ad=cq：df，即82t：8= t：4t，化简得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合题意，舍去。当t=秒时，四边形apqf是梯形。【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由勾股定理可求pc而得点c的坐标，根据矩形的性质可得点d的坐标。点p到达终点所需时间为82=4秒，点q到达终点所需时间为41=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0t4。（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出s关于t的函数关系式，由于关系式为常数，所以aef的面积s不变化，s=32。（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。例3：（2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形abcd中，e、f分别是bc和cd边上的两点，aebf于点g，且be=1（1）求证：abebcf；（2）求出abe和bcf重叠部分（即beg）的面积；（3）现将abe绕点a逆时针方向旋转到abe（如图2），使点e落在cd边上的点e处，问abe在旋转前后与bcf重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由【答案】（1）证明：四边形abcd是正方形，abe=bcf=90，ab=bc。abf+cbf=90。aebf，abf+bae=90。bae=cbf。在abe和bcf中，abe=bcf，ab=bc，bae=cbf，abebcf（asa）。 （2）解：正方形面积为3，ab=。在bge与abe中，gbe=bae，egb=eba=90，bgeabe。又be=1，ae2=ab2+be2=3+1=4。练习题：1. （2011山东东营12分）如图所示，四边形oabc是矩形点a、c的坐标分别为()，(0，1)，点d是线段bc上的动点(与端点b、c不重含)，过点d作直线交折线oab于点e。 (1) 记ode的面积为s求s与b的函数关系式： (2) 当点e在线段oa上时，且tandeo=。若矩形oabc关于直线de的对称图形为四边形试探究四边形与矩形oabc的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重叠部分妁面积；若改变请说明理由。2. （2011浙江舟山、嘉兴12分）已知直线（0）分别交轴、轴于a、b两点，线段oa上有一动点p由原点o向点a运动，速度为每秒1个单位长度，过点p作轴的垂线交直线ab于点c，设运动时间为秒（1）当时，线段oa上另有一动点q由点a向点o运动，它与点p以相同速度同时出发，当点p到达点a时两点同时停止运动（如图1） 直接写出1秒时c、q两点的坐标； 若以q、c、a为顶点的三角形与aob相似，求的值（2）当时，设以c为顶点的抛物线与直线ab的另一交点为d（如图2）， 求cd的长； 设cod的oc边上的高为，当为何值时，的值最大？ 三、其它定值问题：典型例题：例1：（2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点a（3，6）（1）求直线y=kx的解析式和线段oa的长度；（2）点p为抛物线第一象限内的动点，过点p作直线pm，交x轴于点m（点m、o不重合），交直线oa于点q，再过点q作直线pm的垂线，交y轴于点n试探究：线段qm与线段qn的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点b为抛物线上对称轴右侧的点，点e在线段oa上（与点o、a不重合），点d（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足bae=bed=aod继续探究：m在什么范围时，符合条件的e点的个数分别是1个、2个？【答案】解：（1）把点a（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。 y=2x。（2）线段qm与线段qn的长度之比是一个定值，理由如下：如图1，过点q作qgy轴于点g，qhx轴于点h当qh与qm重合时，显然qg与qn重合，此时。当qh与qm不重合时，qnqm，qgqh不妨设点h，g分别在x、y轴的正半轴上，mqh=gqn。又qhm=qgn=90，qhmqgn。当点p、q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得。线段qm与线段qn的长度之比是一个定值。（3）如图2，延长ab交x轴于点f，过点f作fcoa于点c，过点a作arx轴于点r。aod=bae，af=of。oc=ac=。aro=fco=90，aor=foc，aorfoc。of=。点f（，0）。设点b（x，），过点b作bkar于点k，则akbarf。，即。解得x1=6，x2=3（舍去）。点b（6，2）。bk=63=3，ak=62=4。ab=5。在abe与oed中，bae=bed，abe+aeb=deo+aeb。abe=deo。bae=eod，abeoed。设oe=x，则ae=x （），由abeoed得，即。顶点为。如图3，当时，oe=x=，此时e点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时e点有2个当时，e点只有1个，当时，e点有2个。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据a点坐标用勾股定理求出线段oa的长度。（2）如图1，过点q作qgy轴于点g，qhx轴于点h，构造相似三角形qhm与qgn，将线段qm与线段qn的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系bae=bed=aod，可以得到abeoed。在相似三角形abe与oed中，运用线段比例关系之前需要首先求出ab的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数