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6 数学教学研究第3 3 卷第4 期2 0 1 4 年4 月 例谈高中数学教学中的铺垫艺术 范习昱 江苏省镇江市丹徒高级中学2 1 2 1 2 1 经常有数学教师抱怨 某个概念 某个公 式或者某个类型的习题讲解了多少遍 学生 还是不明其理 不会运用 不会解题 究其原 因 抛开学生因素从教师方面考虑 应该是研 究此题之初没有做好预设铺垫 一个数学问 题或是一道数学题之所以让学生为难 一定 是存在某个思维高地 学生难以企及 倘若垂 直攀登 学生会出现失重的感觉 很不适应 这时 教师需要具有铺垫意识 做好原题的铺 垫工作就显得十分重要 铺垫犹如凿山开路 学生沿着这些山路终究是会走到山顶的 所谓铺垫 百度百科这样解释 指事物发 展过程中的前期准备工作 通过铺垫 可以渲 染气氛 对行将来临的事物进行恰到好处的 衬托 文艺创作中的铺垫是一种常见而必要 写作手法 是指在一个人物出场前或者一个 事件发生前 预先布置局势 安排一些情节场 景作为征兆 制造气氛 使后续故事情节自然 顺理成章地发展 前后照应 读者也不会感到 过于突然 同样 数学教学也需要铺垫 其实 高中数学的很多问题都有一定难 度 盲目直接抛给学生 是缺乏思考 鲁莽的 行为 问题过难 不能使学生体会到成功的乐 趣 通常以中等学生经过思考后能回答的难 易程度为主 应掌握 跳一跳 摘得到 的原 则 这实际上是教育心理学所倡导的 最近发 展区 的理论 而教师的铺垫工作恰好就起到 了上述作用 下面结合高中数学课堂教学的不同类 型 以案例的形式探讨教学中的铺垫艺术 1 概念教学创设情景铺垫 概念教学是高中数学中尤为重要的一个 环节 是基础知识和基本技能教学的核心 正 确理解概念是运用数学解决问题的先决条 件 概念学习是否到位关乎数学基础扎实与 否 然而一些学生在解题中出现的错误或思 维活动中遇到的障碍 概念不清往往是最直 接的原因 出现这种情况固然与数学概念本 身过于抽象有关 更深的原因估计与我们教 师给出概念过于突兀不无关系 我们若在概 念教学时 注重创设情境 自然铺垫一下 在 激发学生的学习兴趣的同时 也就深刻理解 了数学概念 案例l 异面直线所成角的概念教学 教师与学生一起以熟悉的正方体为例 请学 生观察 试着找出几对异面直线 师 从位置关系看 同为异面直线 但它 们的相对位置 是否就没有区别 既然有区 别 说明仅用 异面 来描述异面直线间的相 对位置显然是不够的 在生产实际与数学问 题中 有时还需要进一步精确化 这就提出了 一个新问题 怎样刻画异面直线问的这种相 对位置 或者说 引进一些什么数量来刻画这 种相对位置 生1 角度 生2 距离 师 同学们说的都对 那怎样具体刻画 作者简介 范习昱 1 9 8 0 一 男 湖北洪湖人 中学一级教师 主要研究方向为高中数学教育教学 B m a i l 6 6 3 8 3 8 3 2 7 q q c o m 万方数据 第3 3 卷第4 期2 0 1 4 年4 月数学教学研究 7 呢 平面几何中用 距离 来刻画两平行直线 间的相对位置 用 角 来刻画两相交直线间 的相对位置 那么用什么来刻画两异面直线 的相对位置呢 我们还知道两异面直线不相 交 但它们又确实存在倾斜程度不同 这就需 要我们找到一个角 用它的大小来度量异面 直线的相对倾斜程度 为了解决这个问题 我 们研究一道实验题 一张纸上画有两条能相 交的直线口 6 但交点在纸外 现给你一副 三角板和量角器 限定不许拼接纸片 不许延 长纸上的线段 问如何能量出口 6 所成的角 的大小 生3 在纸上任取一点 过该点分别作口 6 的平行线 所作两条平行线的夹角就是直 线n 6 所成的角 师 说的很好 那该方法能否迁移到两异 面直线的倾斜程度呢 学生研讨 生4 异面直线的倾斜程度可转化为平 面内两条相交直线的角 即在空间过一点分 别作口 6 的平行线 这两条平行线所成的角 可以视为n 6 所成的角 这样 经过分析平面几何中两直线的相 对位置关系 实验观察 启发迁移 层层铺垫 两异面直线所成角的概念就非常自然而全面 地建立了 无疑 这种概念构建的方法比直接 给出留给学生的印象要深刻的多 更为重要 的是在这个铺垫过程中渗透了一种重要的数 学化归思想 即空间问题平面化 这类数学概 念形成的情景创设一定要抓住新 旧数学概 念间的本质属性 为新概念的产生适当铺垫 这对学生理解新的概念是大有帮助 创设情境进行铺垫开展数学概念教学的 具体方法还有很多 比如动手实验引入数学 概念 让学生亲身体验概念的形成过程 往往 能给学生在脑海中留下深刻的印象 再比如 用类比法创设情境铺垫 我们知道 数学中的 许多概念 知识点之间有类似的地方 在新概 念的讲授过程中 利用旧概念铺垫 加以类比 引出新概念 可使学生更好地理解新概念的 内涵与外延 2 公式 定理教学拆分内涵作铺垫 高中数学的每个公式 定理 都是思维高 度抽象化的产物 简单对称的结果并不代表 内涵简单 前人几百年的思索结果 在一节课 里让学生理解并掌握 显然并非易事 但是 如果我们仔细研究公式 定理的内涵 加以拆 分提问 层层铺垫 效果就会大有改观 案例2 等差数列前 z 项和公式的推导 教学 师 高斯 德国著名数学家 被誉为 数学 王子 2 0 0 多年前 高斯的算术教师提出了 下面的问题 投影展示 1 2 3 1 0 0 一 据说 当其他同学忙于把1 0 0 个数逐项 相加时 1 0 岁的高斯却用下面的方法迅速算 出了正确答案 投影展示 1 1 0 0 2 9 9 5 0 5 1 一1 0 1 5 0 5 0 5 0 师 你知道这种方法的原理吗 生l 首尾配对相加的方法 对称位置的 前一项和后一项的和都是1 0 1 师 很好 倘若是奇数个数呢 比如 1 2 3 1 0 0 1 0 1 生2 方法1 原式 1 2 3 1 0 0 1 0 1 生3 方法2 原式 O 1 2 3 1 0 0 1 0 l 一 生4 方法3 原式 一 1 2 5 0 5 2 1 0 1 5 1 师 同学们真聪明 这些方法实际上是将 奇数个项问题转化为偶数个项求解 运用了 一种重要的数学思想即 化归思想 师 那又如何求 l 2 3 竹 呢 万方数据 8 数学教学研究第3 3 卷第4 期2 0 1 4 年4 月 学生激烈的讨论 生5 发现咒为奇数时不能配对 分n 为 奇数 偶数的情况分别求解 师 嗯 能避免讨论吗 多媒体演示 三角形图案右侧倒放一个 全等的三角形与原图补成平行四边形 生6 不需要讨论 对 首尾配对求和 这 一算法改进下即可 学生板演 因为 S 一1 2 3 十 竹一1 豫 S 九 玎一1 竹一2 2 1 2 S 7 z 竹 1 所以 S t l 一1 2 3 z 一巫掣 厶 师 在公差为d 的等差数列 n 中 定义 前n 项和S 一口 口z 口 l 如何利用上 述方法求S 高斯问题的计算方法 变化后的高斯问 题求解的探讨 三角形补性成平行四边形等 等 前面所做的大量铺垫 层层引导 为等差 数列前竹项和公式的推导扫清障碍 学生推 导公式就变得容易而顺利了 学生 倒序相加 法 思路的获得就水到渠成 公式定理的教学切忌将公式定理硬塞给 学生 那样只能僵化学生思维 对学生数学学 习的兴趣是一种无情的摧残 即使记住公式 定理也只是暂时的 下课之后又全部还给教 师了 不要担心这会浪费课堂时间 细致无痕 的铺垫是化解难点的有力武器 从课堂效益 上讲 适当铺垫其实是节约了你的课堂时间 你的课堂其实是高效的1 3 解题教学中的铺垫艺术 解题教学中 特别是非基础题的教学 教 师若没有做好铺垫工作 很多学生是很难掌 握本质 很难理解其中奥妙的 依据学生的认 知规律 遵循循序渐进的原则 由易到难 由 简人繁 由浅人深 无声无息的铺垫 必会使 教学层层推进 步步深入 这种铺垫使学生做 好心理准备 为学生搭桥铺路帮助学生起跳 无疑要比直奔主题要高明的多 案例3已知S 是数列 n 的前咒项 和 且S 靠2 一咒 1 求数列 n 的通项 铺垫l已知S 是数列 的前咒项 和 且S 犯2 7 2 求 1 口1 n 2 口3 2 数列 n 的通项 铺垫2已知S 是数列 吼 的前竹项 和 且S 竹2 一竹 1 求口1 n 2 口3 本题并不算难题 大部分学生都会利用 数列通项与前挖项和之间的桥梁公式盘 一 S S t 求解 但很多学生经常出错 不明白 为什么要检验口 此时 教师若作上述铺垫 将会非常自然地化解原题的难度 学生将会 较容易接受并理解其中关键所在 案例4 已知等差数列 n 中 n 8 口 2 设L In I I n zI In J 求L 铺垫l 已知等差数列 n 中 口 8 口 一2 设了j 一 盘 f I 应 l I 求丁4 T 1 0 铺垫2 已知等差数列 中 口 2 口 4 设T 一I n ln zI l 口 I 求一 铺垫3 已知等差数列 中 n 一 一2 铂 一4 设L n l In 2l I 口 I 求T 铺垫1 从特例出发 让学生体验求L T 1 0 的区别 发现 口 中项的正负对结论的影 响 铺垫2 和3 分别使 口 中的项全为正 负 数 使学生较容易处理绝对值 为学生处理 n 1 的项变号时悄然铺垫 这样 学生就会发 现案例4 需要对行进行讨论 本题的难点得 到化解 可见 在解题教学中 铺垫变式教学非常 重要 解题教学中的铺垫艺术具体而言 就是 下转第1 1 页 万方数据 第3 3 卷第4 期2 0 1 4 年4 月数学教学研究 5 设置巩固性问题 以加深知识理解 在讲完课后设置问题对学生提问 一方 面可使学生加深对所学知识的理解 弄清本 质属性及纵横联系 从感性认识上升到理性 认识 巩固所学知识 另一方面 可以了解教 学效果 以便及时调整教学方案 比如 学完 反比例函数 一节后 可以问 在一个函数关系中 如果自变量z 减小时 函数值y 反而增大 自变量z 增大时函数值 反而减小 这样的函数一定是反比例函数 吗 经过对问题的辨析 从而让学生抓住反 比例函数的本质 巩固对反比例函数的定义 的理解和掌握 6 设置迁移性问题 以培养数学能力 不少数学知识在内容和形式上有类似之 处 解决问题的依据以及思维方法有密切联 系 教学时可以在学生回顾旧知识的基础上 过渡到新知识方面的提问 将学生已掌握的 知识和思维方法迁移到新内容中去 从而达 到举一反三 触类旁通的效果 比如在讲完 两角和的正切公式 之后 做下面这道试题 试求 1 t a n1 1 t a n2 1 t a n3 1 t a n4 4 的值 对此 不少学生面露难色 感到无从下 手 这时 再给出以下两题 1 证明 t a n2 0 t a n4 0 3t a n2 0 t a n4 0 一捂 2 证明 t a n3 A t a n2 A t a nA t a n3 A t a n2 A t a nA 这时可以提示学生 这两题有何共同特 征 它们与变形后的公式t a nA t a nB t a n A B t a nA t a nB t a n A B 有 何联系 这里 教师的点拨 引导 好比一座 引桥 它变知识的 陡峭 为 缓坡 化繁难 为简单 通过学生对新旧知识的联系 比较 起到了承上启下的作用 实现了从具体到抽 象的过渡 起到了举一反三的作用 总之 问题的创设是课堂教学一个不可 缺少的组成部分 它直接影响着教学质量和 效果 合理的创设问题 有利于学生兴趣的激 发 知识的内化 思维的发展 问题的创设与 运用又是一门艺术 提问须确切明白 难度适 中 切中要害 这样才能收到良好的效果 成 功地使用这种艺术 要求教师具有渊博的知 识 深厚的功力和娴熟的技巧 这有待于老师 在教学实践中 不断学习 探索 总结和完善 收稿日期 2 0 1 3 1 2 2 8 上接第8 页 再现题中蕴含的本质情景 还原场景 或者简 化题中的若干条件 去枝去叶 暴露主干 或 者先行解决外围若干难点 扫清障碍 再回主 题 或者将所求结论由易到难层层细化 让学 生顺势而行 直至顶端 如此 学生便会洞悉 其中的奥