2010年湖南省高三数学新高考解析几何题型与方法专题分析.doc

解析几何问题的题型与方法 考试要求：（1）能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线与圆的方程，并能利用直线和圆的方程来研究有关的问题. (2) 了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.（3）掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念。能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程并画出方程所表示的曲线。(4)掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质。了解圆锥曲线的一此实际应用。(5)了解用坐标法及向量法研究几何问题的思想，掌握利用方程研究曲线性质的方法高考解析几何试题一般占35分左右，命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线与方程的关系和轨迹，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得注意。教学过程：一、基础训练：1若过原点的直线与圆+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ C ）A B C D2椭圆 (ab0)离心率为,则双曲线的离心率为 （ B ）A B C D3若动点(x,y) 抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( B ) A . B . C. D . 04已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|PB|=3，则|PA|的最小值是（C ）A.B.C.D.55. 若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是6已知直线与椭圆相交于两点，若弦中点的横坐标为，则双曲线的两条渐近线夹角的正切值是二、例题分析：例1、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 解：（1）原点到直线AB：的距离. 故所求双曲线方程为 （2）把中消去y，整理得 . 设的中点是，则 即 故所求k=.说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用0来处理但有时用0来判断圆锥曲线相交问题是不可靠的解决这类问题：方法1，由“0”与直观图形相结合；方法2，由“0”与根与系数关系相结合。 例2、直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.（1）求证：; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线. 解: （1）易求得抛物线的焦点. 若lx轴，则l的方程为.若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 .（2）设，则CD的垂直平分线的方程为假设过F，则整理得 ，. 这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。解本题时，不要忽略对lx轴这一特殊情形的讨论。例3、已知过动点M（，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B（）若的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交轴于点N，试求的面积解：（）直线的方程为：，将 ， 得 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，则 又， ， 解得 （）设，由中点坐标公式，得 ， 又 为等腰直角三角形， 说明：弦长求法是圆锥曲线的典型问题，设圆锥曲线Cf(x，y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|例4、已知圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1，圆(x4)2+y2=1的圆心为M2，一动圆与这两个圆都外切. （1）求动圆圆心P的轨迹方程； （2）若过点M2的直线与（1）中所求轨迹有两个交点A、B，求|AM1|BM1|的取值范围.解：（1）|PM1|-5=|PM2|-1，|PM1| - |PM2|=4动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支。c=4，a=2，b2=12，故所求轨迹方程为=1（x2）。 （2）当过M2的直线倾斜角不等于时，设其斜率为k，直线方程为y=k(x-4)， 与双曲线3x2-y2-12=0联立， 消去y化简得 (3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10，x20由解得 k23。由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有|AM1|BM1|=e|x1+1|e|x2+1|=4x1x2+(x1+x2)+1=4(+1)=100+ k2-30，|AM1|BM1|100又当直线倾斜角等于时，A(4，y1)，B(4，y2)，|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10|AM1|BM1|=100 故 |AM1|BM1|100。说明：与圆锥曲线有关问题的解决要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质例5、 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。 (1) 求双曲线C的方程； (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（）设双曲线方程为 由已知得 故双曲线C的方程为（）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得即 设，则而于是 由、得 故k的取值范围为说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。例6、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求 的取值范围；解：（1），。是共线向量，b=c,故。（2）设当且仅当时，cos=0，。说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。例7、 已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点。（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ， 故， 所以直线MQ方程是 （2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得 由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在；求轨迹方程时，要注意检验结论的纯粹性与完备性。例8、点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。解:（1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点P(,),则=（+6, ）,=（4, ）,由已知可得 则2+918=0, =或=6. 由于0,只能=,于是=. 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又66,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ,由于66, 当=时,d取得最小值说明：在解析几何中求最值：一是建立函数关系，利用代数方法求出相应的最值；再是利用圆锥曲线的几何性质或者曲线的参数方程求最值。例9、在RtABC中，CAB90，AB2，AC，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值解:（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系，动点轨迹为椭圆，且，c1，从而b1方程为（2）将yxt代入，得设M（，）、N（，），由得3 t0时，例10、在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由xyOAB 解：（I）设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立。所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1。说明：求轨迹方程是近几年高考的热门问题，直接法、定义法、转移法、参数法（交轨问题）是最常见的方法。例11、已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. （）求椭圆C的方程； （）是否存在过点E（2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cotMON0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.（I）解：直线， 过原点垂直的直线方程为， 解得椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上， 直线过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. 故椭圆C的方程为 （II）设M（），N（）.当直线m不垂直轴时，直线代入，整理得点O到直线MN的距离即 即整理得 当直线m垂直x轴时，也满足.故直线m的方程为或或经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为或或说明：存在性问题是解析几何中常见的问题，一般是以假设存在为条件，进而获得结论。例12、设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 设的两个不同的根， 是线段AB的中点， 得解得k=-1，代入得，12，即的取值范围是（12，+）.于是，直