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立体几何知识点整理一 直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行：符号表示： 2. 线面相交：符号表示： 3. 线在面内：符号表示： 二平行关系：1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 方法四：用向量方法： 若，则。 若向量和向量共线且l、m不重合，则。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法三：用平面法向量实现。若为平面的一个法向量，且,则。1. 面面平行：方法一：用线线平行实现。 方法二：用线面平行实现。 三垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：三垂线定理及其逆定理。 方法三：用向量方法： 方法四：计算，利用勾股定理或等腰三角形三线合一。 若向量和向量的数量积为0，则。四 夹角问题。(一) 异面直线所成的角：(1) 范围： （2）求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：(二) 线面角(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，(图中)为直线l与面所成的角。(2)范围： 当时，或，时，(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法(为平面的一个法向量)。(三) 二面角及其平面角(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角l的平面角。(2)范围： (3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。步骤一：计算步骤二：判断与的关系，可能相等或者互补。五 距离问题。1点面距。方法一：几何法。步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)方法二：坐标法。2线面距、面面距均可转化为点面距。六体积问题1.柱体体积公式：2.锥体体积公式：方法：通常采用等体积法，换底立体几何常见类型题题型一、空间几何体三视图与直观图(1)由实物图画三视图1.如图甲所示，在正方体中，E、F分别是、的中点，G是正方形的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的_ 。(2)三视图还原实物图2.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A. B. C. D. (3)斜二测画法有关的计算问题（）3.等腰梯形，上底，腰，下底以下底所在直线为轴，则由斜二侧画法画出的直观图的面积是 _题型二、空间几何体的表面积与侧面积(1)空间几何体的表面积与体积4.已知某几何体的俯视图如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6,高为4的等腰三角形。（1）画出几何体的直观图 （2）求该几何体的侧面积S。（3）求该几何体的体积V； (2)空间几何体展开图及面积计算5.已知圆锥的侧面展开图是右图所示的扇形，半径为1，圆心角为， 则圆锥的表面积和体积分别是多少？(3)割补法和等体积法求体积6.如图，正方体的棱长为2，是的中点， 求:(1)三棱锥的体积. (2)求点到平面的距离。类型三.证明线面平行A1ED1C1B1DCBA1.在正方体中，是的中点，求证： 平面。（利用三角形中位线）2.正方体，是底对角线的交点.求证： C1O面； 考点：法1：利用平行四边形 法2：利用面面平行的性质A1AB1BC1CD1DGEF类型四.证明面面平行1. 正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD2.在正方体中，、分别是、的中点.求证：平面平面.类型五.证明线面垂直1. 正方体中，求证：（1）；（2）.（考点：线面垂直的判定定理）2. ,在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直3. 已知中,面,求证：面4. 四面体中，分别为的中点，且，求证：平面 5.如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面 为的中点，求证：平面；（考点：利用面面垂直性质定理）类型六.证明面面垂直1. 如图，在正方体中，是的中点.求证：平面平面.（考点：面面垂直的判定）2.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面ABC平面BSC考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）类型七.证明线线垂直1. 在正方体ABCD-ABCD中，M为DD的中点，O为AC的中点，AB=2证明：BOAC考点：法1：线面垂直线线垂直 法2：勾股定理法3：等腰三角形三线合一。 类型八.求异面直线所成角例1.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，求所成角的余弦值。考点：转化为相交直线所成的角或用向量法。类型九.求线面所成角例1. 如图，在正方体中，分别是，的中点，则直线与平面所成的角的正切值为考点：转化为直线与射影所成的角或用向量法类型十.求二面角的大小（）证明：；（考点：作出二面角平面角）2. 在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面求二面角P-BD-A的大小.考点：利用定义或向量法求二面角大小立体几何期末试题汇总1.（2005-2006高一学年）如图，P为正方形ABCD所在平面外一点，且P点到正方形ABCD四个顶点的距离相等，E为PC中点（1）求证：PA平面BDE；（2）求证：平面PAC平面BDE（3）若正方形ABCD的边长为2，PA=，求 三棱锥E-BCD的体积。2（2006-2007高一学年）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，E为AD的中点，N是PB的中点，过A，N，D三点的平面交PC于M。（） 求证：ADMN（） 求证：AD平面PEB；（） 求四棱锥PABCD的体积。3.（2007-2008高一年度）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1中点，O为AC的中点，AB=2.（1）求证：BD1平面ACM;（2）求证：B1OAC；（3）求三棱锥O-ADM的体积。 4.（2009-2010高一第一学期）如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2,点P为DD1中点。（1）求证：直线BD1平面PAC；（2）求证：平面PAC平面BDD1B1；（3）求三棱锥B1-PAC的体积。5.（2010-2011高一学年）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中（1）求证：AC平面A1C1B；（2）求三棱锥B1-A1C1B的体积；（3）求证：B1D平面A1C1B。6.（2006-2007高二第一学期理）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1上。（1）求证：A1EBD；（2）是否存在点E，使二面角A1-BD-E为直二面角？若存在，请确定点E的位置，若不存在，请说明理由。7.（2007-2008高二第一学期理）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC，E,F分别是AB,PB的中点。（1）求证：EFCD；（2）在AD上是否存在一点G，使得FG平面 PCB？并说明你的结论；（3）求BD与平面DEF所成角的正弦值。8.（2008-2009高二学年文科）如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2，底面ABCD是菱形，ABC=60，E为CD的中点。（1）证明：SACD；（2）求四棱锥S-ABCD的体积；（3）侧棱SB上是否存在点F，使得CF平面SAE？并证明你的结论。9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上运动。（1）若点E为AB的中点，求三棱锥C- D1DE的体积；（2）求证：D1EDA1；（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角D1-EC-D的大小为，若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由。10.（2009-2010第一学期理）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（1）求证：PB平面EFD；（2）求二面角C-PB-D的大小；（3）求直线PA与平面PBC所成角的大小。11.（2009-2010高二学年文）如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABC=45，DC=1，AB=2，PA=1，PA平面ABCD。（1）求证：AB平面PCD；（2）求证：BC平面PAC；（3）若M点是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积。12.（2009-2010高二学年理）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知BC=1，BB1=2，E是CC1的中点，AB侧面BB1CC1.（1）求证：EAEB1；（2）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；（3）若AB=，求二面角A-EB1-A1的大小。13.（2010-2011高二学年第一学期理）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD平面ABCD, 底面ABCD是矩形，BC=2CD=2，又PA=PD，APD=90，E、G分别是BC、PE的中点。（1）求证：ADPE；（2）求二面角E-AD-G的大小。14.（2010-2011高二学年文）如图，四边形ABCD是直角梯形，ABC=90，ADBC，AD=2，AB=BC=1，PA平面 ABCD，PA=1。（1）求三棱锥P-ACD的体积；（2）证明：CD平面PAC；（3）在AD上是否存在一点E，使得BE平面PCD？若存在，找出点E,并证明，若不存在，请说明理由。15.（2011-2012高二学年文）如图，在