最大公约数.doc

学科：数学教学内容：最大公约数呈现目标【知识要点归纳】1.公约数、最大公约数和互质数的意义（1）公约数的意义。几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。如：12和18的公约数有：1、2、3、6。（2）最大公约数的意义。几个数的公约数中最大的一个，叫这几个数的最大公约数。如：12和18的最大公约数是6。（3）互质数的意义。公约数只有1的两个数，叫做互质数。如：3和8是互质数，15和16也是互质数。成为互质数的两个数，不限定必须是质数。质数和互质数的意义不同。质数是就一个数说的，互质数是就两个数的关系说的。2.求两个数的最大公约数的方法（1）用短除法求两个数的最大公约数。一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。如：18和30的最大公约数是23=6。在除的时候，除数也可以是合数。如：36和54的最大公约数是63=92=18。（2）求两个数的最大公约数的两种特殊情况。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如：15和45的最大公约数是15。如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。如：8和15的最大公约数是1。名师点拨【典型范例剖析】例1 有 两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？分析：这里求每小段最长是多少米，就是求12和18的最大公约数。答：每小段最长6米，一共可以截235段。例2 用一个数去除39和33，都正好余3，这个数最大是几？分析：根据题目的条件，要求的这个数不能整除39和33，但如果把39和33都减少3，则能同时被这个数整除，要求这个数最大是几，就是求减少3后的两个数的最大公约数。解：39-336 33-33036和30的最大公约数是23=6。 答：这个数最大是6。【解题技巧指点】1.求几个数的最大公约数时，要正确地理解和运用“最大公约数乘半边”这一规律，即求最大公约数时，要把所有的除数都乘起来。2.用短除法求两个数的公约数时，不一定要用最小的质数去除，也可以用较大的合数甚至是最大的公约数去除。3.用短除法求两个数的最大公约数时，最后的两个商一定要是互质数，否则，求得的结果就不是最大公约数。【课本难题解答】练习十四第12题分析：根据“能被2整除，又有约数5”可知这个三位数的个位数是0。从“百位上的数是最小的质数”得出百位上的数是2。从“十位上的数是百位上的数的倍数”可知，十位上的数可能是2、4、6、8。解：这个三位数可能是220、240、260和280。练习十四第13题分析：根据已知条件，每根小棒的长度必须能整除12、44和56，否则就会有剩余。因为要求的小棒要最长，所以就要求12、44和56的最大公约数。12、44和56的最大公约数是4。(答案：4厘米)练习十四思考题(1)分析：将1001分解质因数，可得到三个质数。解：100171113，这三个质数是7、11、13。练习十四思考题(2)分析：切成的小正方体的棱长是45、50、70的最大公约数。解：45、50、70的最大公约数是5，切成的立方体棱长最大是5厘米。能力拓展【发散思维导训】导1 A除24和44，结果都余4，A最大是多少？分析：A能整除24-4和44-4，即A是24-4和44-4的最大公约数。解：24-420，44-4=40，20和40的最大公约数是20，所以A最大为20。导2 A、B、C三个数，A、B的最大公约数是18，B、C的最大公约数是15，A、B、C的最大公约数是多少？分析：显然，求A、B、C的最大公约数就是求18、15的最大公约数。解：因为18、5的最大公约数是3，所以A、B、C的最大公约数是3。训1 甲数是乙数的3倍，甲、乙的和是96，求甲、乙的最大公约数。训2 一个长方形，长0.8米，宽20分米。现在把长方形分成若干个正方形，要使正方形的边长尽可能长，并且长方形的长、宽没有剩余，可以分多少个正方形？训3 三张数字卡片1 2 3，从中任意抽2张组成两位数，去掉质数，还剩几个数？剩下的数中哪个数与3是互质数？【作业优化设计】1.填空。（1）甲=235，乙=237，甲和乙的最大公约数是( )。（2）36和60相同的质因数有（ ），它们的积是（ ），也就是36和60的( )。（3）（ ）的两个数，叫做互质数。（4）自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公约数是( )。（5）按要求，使填出的两个数成为互质数。质数( )和合数( )，质数( )和质数( )，合数( )和合数( )，奇数( )和奇数( )，奇数( )和偶数( )，（6）两个数为互质数，这两个数的最大公约数是( )。（7）所有自然数的公约数为( )。（8）18和24的公约数有( )，18和24的最大公约数是( )。2.判断。(对的打“”，错的打“”)（1）互质数是没有公约数的两个数。( )（2）成为互质数的两个数，一定是质数。( )（3）只要两个数是合数，那么这两个数就不能成为互质数。( )（4）两个自然数分别除以它们的最大公约数，商是互质数。( )（5）因为1535，所以15和3的最大公约数是5。( )（6）30、15和5的最大公约数是30。( )（7）最小的合数和最小的质数这两个数不是互质数。( )（8）相邻的两个自然数一定是互质数。( )3.选择题。（1）成为互质数的两个数( )。没有公约数只有公约数1两个数都是质数都是质因数（2）下列各数中与18互质的数是( )。21402518（3）下列各组数中，两个数互质的是( )。17和5152和9124和2511和22（4）甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，它们的最大公约数的质因数里应该( )。有1个7没有7不能确定（5）甲乙两数的最大公约数是 7，甲数的3倍与乙数的5倍的最大公约数( )。肯定是7肯定不是7不能肯定4.直接说出下列各组数的最大公约数。（1）8与9的最大公约数是( )。（2）48、12和16的最大公约数是( )。（3）6、30和45的最大公约数是( )。（4）150和25的最大公约数是( )5.用短除法求下列各组数的最大公约数。(1)56和42(2)225和15(3)84和105（4）54、72和90（5）60、90和1206.应用题有36个球，分装在13个盒子里，每个盒子只装单数，不准装双数。你能办到吗？为什么？快乐大本营在下面方框里填上合适的数字。参考答案1.（1）6 （2）2 2 3，12 最大公约数 （3）只有公约数1 （4）b （5）5和4 2和3 8和9 7和9 3和4 （6）1 （7）1 （8）1 2 3 6，62.（1） （2） （3） （4） （