数学分析(2)期末试题集(计算题第二部分).doc

广义积分问题 1. 计算. 解 被积函数有奇点,因而问题属暇积分,但易知,该暇积分收敛2. 求的最大、最小值.解 因为为偶函数,故只需求函数在上的最大、最小值.令,得为唯一驻点,且当时,当时,.因此为极大值点,即最大值点,函数的最大值为,又,因此最小值为0. 3. 讨论的收敛性(为常数) 解 当时, ,发散. 当时, ,所以,当时,广义积分收敛;当时,广义积分发散(极限不存在).4. 讨论广义积分的收敛性.解 因为为暇点,于是,广义积分是混合型,应分别进行讨论.由于,而收敛,故收敛,由于,而收敛,故收敛,所以广义积分收敛.5. 设为任意实数,讨论的收敛性.解 因为为暇点,该广义积分为混合型, .对于第一个积分,当时,与为同阶无穷大量,因此,当时,收敛(注意:当时,此积分为普通定积分)对于第二个积分,取比较对象.考虑极限,该极限只有在时才存在(等于零或),因此,当,即时,第二个积分收敛,而时,第二个积分显然发散.综上分析,原广义积分在时收敛,当或时发散.6. 计算广义积分.解 该广义积分为混合型积分,需分成两个积分进行计算.7. 计算.解,所以,原积分.8.计算.解 因为所以原式.9. 求.解 令,所以,故10. 求.解 令,则原式.11.求.解 .12. 求.解 ,令,则,所以,令,则.13. 判别下列反常积分的收敛性:(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ;(6) ; (7) .解 (1) 根据,即可知,反常积分收敛;(2) 注意当适当大时有,所以,反常积分收敛;(3) 注意到,可知,被积函数在可延拓成为连续函数.而,所以,反常积分收敛;(4) 只需注意到,可知反常积分收敛;(5) 因为,故反常积分收敛;(6) 因为,故,反常积分发散;(7) 注意到,以及,所以,因而,当时,反常积分收敛,而当时,反常积分发散;14. 判别下列积分的收敛性:(1) ; (2) ; (3) .解 (1) 由于,所以.注意到上式中的第二项对应的反常积分是绝对收敛的,第一项在是收敛的,故收敛;(2) 因为被积函数是负值,所以,只需看反常积分的收敛性,而从而,即当时,反常积分收敛,时发散.(3) 取,则,由Cauchy收敛准则知,反常积分发散.15. 计算下列反常积分:(1); (2) . (3). ; (4) ; (5) .解 (1)因为所以原式.(2) 令,所以,故(3)令,则原式.(4) .(5) ,令,则,所以,令,则.16. 判别下列反常积分的收敛性:(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ;(6) ; (7) .解 (1) 根据,即可知,反常积分收敛;(2) 注意当适当大时有,所以,反常积分收敛;(3) 注意到,可知,被积函数在可延拓成为连续函数.而,所以,反常积分收敛;(4) 只需注意到,可知反常积分收敛;(5)因为,故反常积分收敛;(6)因为,故,反常积分发散;(7)注意到,以及,所以,因而,当时,反常积分收敛,而当时,反常积分发散;17. 判别下列积分的收敛性:(1) ; (2) ; (3) .解 (1) 由于,所以.注意到上式中的第二项对应的反常积分是绝对收敛的,第一项在是收敛的,故收敛;(2) 因为被积函数是负值,所以,只需看反常积分的收敛性,而从而,即当时,反常积分收敛,时发散.(3) 取,则,由Cauchy收敛准则知,反常积分发散.18. 试判别下列积分的绝对收敛性:(1); (2) ;(3) ; (4) 解 (1) 注意到不等式,根据比较判别法知,绝对收敛.(2) 由,根据比较判别法知,绝对收敛.(3) 应用变量替换以及分部积分法,可得,注意到是绝对收敛的(用比较判别法易知),故绝对收敛.(4) 因为,所以绝对收敛.19. 试判别下列积分的收敛性:(1) . (2) .(3) . (4) . (5) .解 (1)应用Dirichlet判别法,因为的原函数有界,而在上单调递减趋于零,故收敛.(2) 因为的原函数是为有界函数,而在上单调递减趋于零,故收敛.(3) 令,则,我们有,而在上单调递减趋于零,且由,故的原函数是有界的,从而收敛. (4) 用Taylor公式把被积函数写成 根据Dirichlet判别法,积分,都收敛,而积分在即时是收敛的;在是发散的.综上所述,反常积分在时收敛,在时发散. (5) 对用Taylor公式,得注意到,而且及的原函数是有界的,因此积分都收敛,而是绝对收敛的,故反常积分收敛.数项级数问题1. 设,判断级数的收敛性.解 (1) 当时,记,且,因此,当时,原级数绝对收敛,当时,原级数发散.当时,因为序列为单调递增趋于,所以,于是,所以,原级数必然发散.当时,原级数显然绝对收敛.综上分析,当时,原级数绝对收敛,当时,原级数发散.2. 设参数,讨论级数的收敛性.解 因为,所以,当,即为整数)时,级数绝对收敛;当,即时,级数发散;当,即时,级数条件收敛.3. 设单调递减,且发散,试问是否收敛?解 因为数列非负单调递减,所以极限存在,记,由极限的保序性,则.由于交错级数发散,根据莱布尼茨判敛法知,故.由极限的性质,存在正整数,使当时,有,故当时,有,由于几何级数收敛,由比较判别法知,级数收敛.4. 讨论级数的收敛性.解 记级数的一般项且,极限故原级数收敛.(注:比值判别法因极限不存在,故失效)5. 讨论级数的收敛性.解 因为,因此,该级数收敛.6. 讨论级数的收敛性.解 因为,因此,该级数发散.7. 讨论级数的收敛性.解 因为,因此,该级数收敛.8. 设参数,且,就参数的取值情况讨论的收敛性.解 因为,因此,只有当时,收敛.9. 设,求.解 因为所以,令,则,所以.10. 设两条抛物线和,记它们的交点横坐标的绝对值为,求(1) 这两条抛物线所围成的平面图形的面积; (2) 级数的和.解 (1) 交点坐标的绝对值为,因图形关于轴对称,于是. (2) ,.函数项级数问题1. 求下列级数的收敛域.(1); (2) ; (3) ;解 (1)设,它们的公共定义区域为.()对于,因为,由比式判别法知,级数绝对收敛.()对于满足的任意一点,因为,所以,级数发散.综上所述,的收敛区域是.(2) ()当时,因为,所以,级数绝对收敛;()因为,所以,令,可知,当,即时,级数也绝对收敛,而当时,有,因而级数发散.综上所述,的收敛区域是.(3) ()因为当时,所以,此时发散;()当时,有,故当时,收敛.综上所述,的收敛域为.2. 求函数项级数的敛散性区域:解 ()当时,因为,所以在内收敛;当时,所以发散;当时,由比较判别法可知,级数发散;当时,用Abel判别法可知,级数收敛,故的收敛域为.()当时,所以,当时,由比较判别法知,绝对收敛;当时,所以,级数发散;当时,由知, 级数发散.故级数的收敛域为.3. 试判别下列函数列在指定区间上的一致收敛性:(1); (2);(3).解 (1),而,因为,令,得是函数在上的最大值点,所以 ,从而在上一致收敛于零.(2) ,而,因为,令,得是函数在上的最大值点,所以 ,从而在上一致收敛于零. (3)令,可知在处达到最大值:,所以,当时,在上一致收敛于零.4. 试判定下列函数列在指定区间上的一致收敛性:(1); (2); (3); (4).(5); (6); (7); (8). (9)(注:为了证明,我们可适当放大成为,并保证有即可,本题就是这类题目)解 (1),又因为,所以, ,故在上一致收敛于.(2) ,又因为,所以, ,故在上一致收敛于.(3) ,又因为,所以, ,故在上一致收敛于.(4) ,又因为函数严格单调递增有上界,故有不等式,所以, ,故在上一致收敛于. (5), ,所以,故在上一致收敛于.(6), 所以,故在上一致收敛于.(7), 故在上一致收敛于.(8),由于是偶函数,故只讨论时的情况.当时,有 ,所以, ,故在上一致收敛.(9)从而有,而且,所以,故在上一致收敛.5. 试判定下列函数列的一致收敛性:(1); (2); 解 (1) 因为?() 在区间上,由可知,故在内不一致收敛.()而在区间上,由,可得,从而在上不一致收敛.?(2),() 在区间上,因为,所以,取,则,故在区间上不一致收敛.() 在区间上,因为,即知在区间上一致收敛.6. 判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:(1); (2);(3); (4);(5); (6); 解 (1) 因为,所以在上一致收敛.(2) 因为 ,所以在上一致收敛.(3)令,则,令可得是的最大值点,而且,所以,得,即在上一致收敛.另解 因,而级数收敛,故由M-判别法知,级数在上一致收敛.又解 因为在区间上渔场一致收敛的,而对任意的,即是单调减少的,又,即在上一致有界,由阿贝尔判别法,知级数一致收敛.(4)令,令,可得是的最大值点,且有,因此,我们有,即在上一致收敛.(5) 令,令,可得是的最大值点,且有,因此,我们有,即在上一致收敛.(6) 令,令,可得是的最大值点,且有,因此,我们有,即在上一致收敛.7. 判别级数在指定区间上的一致收敛性。解(1)令得的最大值点为,所以,故,取,对,都存在,使得,由Cauchy准则知,在区间上不一致收敛.8. 判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:(1); (2); (3); (4).解 (1)因为在闭区间上连续,且,所以不一致收敛.(2) 因为在闭区间上连续,且,所以不一致收敛.(3) 因为在闭区间上连续,且,所以不一致收敛.(4) 补充定义,则在闭区间上连续,且,所以不一致收敛.9. 判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:(1); (2); (3); (4).(5);(6).解 (1)级数的部分和数列在闭区间上一致有界,而且,对,随增大而递减,且有,由Dirichlet判别法,知一致收敛.(2) 改写为,则因收敛,所以,其部分和数列在区间上一致有界,而且,对,随增大而递减,且有,由Dirichlet判别法,知一致收敛.(3) 因为,也就是说, 级数的部分和在闭区间上一致有界,而数列随增大而递减,且有由Dirichlet判别法,知一致收敛.(4) 因为,也就是说, 级数的部分和在区间上一致有界,而数列单调递减,且有由Dirichlet判别法,知一致收敛.(5) ()记,则有,对任意的,存在正整数,当时,有,所以,即是递减的.()级数的部分和在上一致有界,而且,对,随增大而递减,且有,由Dirichlet判别法,知一致收敛.(6) 因为,而数列单调递减一致趋于零,由Dirichlet判别法,知一致收敛.10. 判别级数在指定区间上的一致收敛性解 对任意给定的,是单调数列,且一致有界.又因为,所以在上一致收敛,由Abel判别法知,一致收敛.11. 判别下列级数在指定区间上的连续性:(1); (2); (3); (4).解 (1)显然,级数在区间上一致收敛,而在区间上连续,故和函数在上连续.(2) 因为,而对任意给定的,是单调递增数列,且在上一致有界,而级数和级在区间上都是一致收敛,有Abel判别法可知,原级数一致收敛,因此和函数在上连续.(3) 因为在区间上有不等式,由M判别法知,级数在区间上一致收敛,而在区间上连续,故和函数在上连续.(4) 对,使得,因此,只需证明该级数在上一致收敛即可.因为,又存在,当时,有,由M判别法知,级数在上一致收敛,故和函数在点处连续,又由的任意性,可知在内连续.12. 判别下列级数在指定区间上的一致收敛性: (1); (2); (3); (4).(5).解 (1) 因为而函数在区间上不连续,故级数不一致收敛.(2) 因为当时,而函数,故在区间上不连续,所以级数不一致收敛.(3) 显然,又,因而函数在区间上不连续,故级数不一致收敛.(4) 考察级数在区间上的情形,因为因而函数在区间上不连续,故级数不一致收敛.(5) 因为因而函数在区间上不连续,故级数不一致收敛.13. 试求下列极限值:(1); (2); (3); (4); (5).解 (1)考察区间上的情形,显然是递减趋于零的数列,且由可知,此数列是一致有界的.再注意到的一致收敛性,由Abel判别法,知,原级数一致收敛,所以在上连续,从而得.(2) 考察区间上的情形,由,由M判别法知,原级数一致收敛,所以在上连续,从而得,.(3) 考察区间上的情形,显然是递增且一致有界,且由可知,再注意到的一致收敛性,由Abel判别法,知,原级数一致收敛,所以从而得.(4) 考察区间上的情形,显然,该级数一致收敛,从而得.(5) 考察区间上的情形,改写此级数为,注意到级数是一致有界的,而随的增大而递减,又,可知,当时, 一致趋于零,由Dirichlet判别法,可知原级数一致收敛,从而得到. 14. 试讨论下列级数在指定区域上的可微性: (1); (2);(3) .解 (1)当时,随递增而递减趋于0,所以收敛.又由等式,以及在的邻域上一致收敛,级数的部分和一致有界,由Dirichlet判别法知,在上一致收敛,因此在处可微且.(2)()由可知,此级数在是点收敛的.()当时,因其导数级数一致收敛,又,所以,在处可导.()当时,有,从而可知,所以在处不可导.(3) 易知,在上收敛,且慢有,对任意的,可取,使,又存在,使得,从而可得,因而在上一致收敛,即在上可微.15. 试讨论下列级数在给定区间上的可微性:(1); (2);(3);(4) .解 (1)易知,级数在上收敛.因为,所以,导数级数在上一致收敛,因此,在上可微.(2) ()根据在上有不等式可知级数在上一致收敛,故在上连续.()由于,故知导数级数在上一致收敛,根据逐项求导定理可知, .(3) 因为在上一致收敛,而是单调一致有界的,所以,由Abel判别法知,级数一致收敛,又由等式可知,该级数一致收敛,故可微. (4)应用最值判别法易知级数绝对收敛.又由可知,导数级数在内任一闭区间上一致收敛,故可微. 幂级数问题1. 求实数,使在内发散,而在处收敛,并指出该级数的收敛域.解 因为,故收敛半径.又由不等式(级数收敛的条件),令,则得,但当时,由,必有收敛点,这与条件矛盾,所以只有成立.该级数的收敛域为.2. 设级数在点处条件收敛,判断级数是否收敛,若收敛,说明是条件收敛,还是绝对收敛?解 由幂级数的收敛性质,条件收敛点只能处于收敛区间的端点,而该级数收敛区间的中点为,由此得知其收敛半径.有,又序列单调增加,因此,所以,而是相应于幂级数在处的数项级数,且,所以绝对收敛.由正项级数的比较判别准则可知,级数绝对收敛.3. 级数收敛,求其和. 解 .4. 将在处展开成为幂级数,并指明收敛域.解法1 因为 ,两边求导得解法2 利用幂函数的基本展开式,有5. 将函数展开为的幂级数.解 ,所以,注意到,所以.（注: 上述展开的级数在处均收敛,但在处无定义,是可去间断点.从延拓的意义上讲,收敛域也可以认为是.）6. 设将展开成的幂级数,并求级数的和.解 因为,所以,当时,级数均条件收敛,最后得到.于是记上述的级数的和为,则,因此令,则.7. 将函数在处展开为幂级数,并写出收敛域.解 将拆分成部分分式形式,为,所以,收敛域为. 8. 设的麦克劳林级数为,又,求的麦克劳林级数.解 由得到,逐次微分一次得,于是.9. 求级数的和函数,并求的和.解 设,则.因此得到.10. 求级数的和.解 设,则只需求.又,而,所以故.(注:本题容易出错的地方是:级数是从开始求和的).11. 设满足为正整数),且,求函数项级数的和.解 求解已知方程得到.由解出,于是,收敛域为,记,当时,因此,当时,故当时,.12. 求级数之和.解 利用级数的运算法则,只需求下列级数的和,对第一个级数,考虑下列幂级数求二次导数:令,于是,令,得.另外有,所以.13. 求级数的和.解 所以.14. 求在处的幂级数展开式,指明收敛域.解 因为,所以.15 将展开为的幂级数.解 因为,当时,有16. 设参