2010年中考数学压轴题(六)及解答.doc

2010年中考数学压轴题（六）及解答136、（2010年四川省成都市）27（本题满分10分）已知：如图，内接于，为直径，弦于，是的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、 （1）求证：是的外心； （2）若,求的长； （3）求证：【解答】27. （1）证明：C是的中点，CAD=ABCAB是O的直径，ACB=90。CAD+AQC=90又CEAB，ABC+PCQ=90，AQC=PCQ，在PCQ中，PC=PQ，CE直径AB，CAD=ACE。在APC中，有PA=PC，PA=PC=PQ，P是ACQ的外心。（2）解：CE直径AB于F，在RtBCF中，由tanABC=，CF=8，得。由勾股定理，得，AB是O的直径，在RtACB中，由tanABC=，得。易知RtACBRtQCA，。（3）证明：AB是O的直径，ACB=90DAB+ABD=90又CFAB，ABG+G=90，DAB=G；RtAFPRtGFB，即易知RtACFRtCBF，（或由摄影定理得），由（1），知PC=PQ，FP+PQ=FP+PC=FC。137、（2010年四川省成都市）28（本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，Q与两坐轴同时相切？【解答】28. （1）解：（1）沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ，。 将 代入，得。解得。 直线AC的函数表达式为。 抛物线的对称轴是直线解得抛物线的函数表达式为。（2）如图，过点B作BDAC于点D。 ， 。过点P作PEx轴于点E，PECO，APEACO， ，解得x= ，点P的坐标为（3）（）假设Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为。 当Q与y轴相切时，有，即。当时，得，当时，得， 当Q与x轴相切时，有，即当时，得，即，解得，当时，得，即，解得，。综上所述，存在符合条件的Q，其圆心Q的坐标分别为，。（）设点Q的坐标为。当Q与两坐标轴同时相切时，有。由，得，即，=此方程无解。由，得，即，解得当Q的半径时，Q与两坐标轴同时相切。图12138、（2010年四川省达州市）22.(6分)已知：如图12，在锐角MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交MAN的角平分线于E，过点E作EDAM，垂足为D，反向延长ED交AN于F.(1)猜想ED与O的位置关系，并说明理由；(2)若cosMAN=，AE=，求阴影部分的面积.【解答】22.证明：（1）DE与O相切. 1分理由如下：连结OE.AE平分MAN,1=2.OA=OE,2=3.1=3,OEAD.OEF=ADF=90,2分即OEDE，垂足为E.又点E在半圆O上，ED与O相切. 3分（2）cosMAN=,MAN=60，2=MAN=60=30,AFD=90-MAN=90-60=30.2=AFD，EF=AE=. 4分在RtOEF中，tanOFE=，tan30=，OE=1. 5分4=MAN=60，S阴=.6分139、（2010年四川省达州市）23.(9分)如图13，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；图13(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0S18时，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.【解答】23.解：（1）点B与O（0，0）关于x=3对称,点B坐标为（6，0）.将点B坐标代入得：36+12=0, =.抛物线解析式为.2分当=3时，,顶点A坐标为（3，3）. 3分（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）（2）设直线AB解析式为y=kx+b.A(3,3),B(6,0), 解得, .直线AB且过点O, 直线解析式为.点是上一动点且横坐标为, 点坐标为（）.4分当在第四象限时（t0），=1263+6=9+3.0S18, 09+318, -33.又0, 03.5分当在第二象限时（0）,作PM轴于M，设对称轴与轴交点为N. 则=-3+9.0S18,0-3+918,-33.又0,-30.6分t的取值范围是-30或03.(3)存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分（说明：点Q坐标答对一个给1分）l140、（2010年四川省乐山市）25. （本题满分12分）在ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3.（1）如图（12.1），当直线lAD时（此时点G与点O重合）.求证：h2+h3= 2h1；（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直.如图（12.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；如图（12.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）【答案】25.（1）证明：BEl，GFl，四边形BCFE是梯形.又GDl，D是BC的中点，DG是梯形的中位线，BE+CF=2DG.又O为AD的中点，AG=DG，BE+CF=2AG.即h2+h3= 2h1.（2）成立.证明：过点D作DHl，垂足为H，AGO=DHO=Rt，AOG=DOH，OA=OD，AGODHO，DH=AG.又D为BC的中点，由梯形的中位线性质，得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF，h2+h3= 2h1成立.（3）h1、h2、h3满足关系：h2h3= 2h1.（说明：（3）问中，只要是正确的等量关系都得分）141、（2010年四川省乐山市）26（本题满分13分）如图(13.1)，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tanOAC2(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使APC90，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线ll，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t当t为何值时，BCN的面积最大？最大面积为多少？【答案】解：（1）抛物线y=x2bxc过点C(0,2). x=2又tanOAC=2, OA=1,即A(1,0).又点A在抛物线y=x2bx2上. 0=12b12,b=3抛物线对应的二次函数的解析式为y=x23x2（2）存在过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,x=.AE=OE-OA=-1=,APC=90,tanPAE= tanCPD,即，解得PE=或PE=，点P的坐标为（，）或（，）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x2，点M是直线l和线段BC的交点，M点的坐标为（t，-t+2）(0t2)MN=-t+2-(t23t2)=- t22tSBCM= SMNC+SMNB=MNt+MN(2-t)=MN(t+2-t)=MN=- t22t(0t2),SBCN=- t22t=-(t-1)2+1当t=1时，SBCN的最大值为1。备注：如果没有考虑的取值范围，可以不扣分）142、（2010年四川省凉山市）26（本题满分9分）如图，B为线段AD上一点，ABC和BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，ABC的外接圆O交CF于点M （1）求证：BE是O的切线； （2）求证：； （3）若过点D作DG/BE交EF于G，过G作GH/DE交DF于H，则易知DHG是等边三角形设ABC、BDE、DHG的面积分别为、，试探究、之间的数量关系，并说明理由【解答】26、（1）证明：连结OB， ABC和BDE都是等边三角形 ABC=EBD=60 1分 CBE=60，OBC=30 OBE=90 2分BE是O的切线 3分 （2）证明：连结MB,则CMB=180-A=1204分 CBF=60+60=120CMB=CBFBCM=FCBCMBCBF 5分即AC=CB， 6分 （3）解：作DG/BE，GH/DE 7分 ACBEDG BCDEHG 8分 ，, 即9分（第27题）143、（2010年四川省凉山市）27（本题满分11分）已知：抛物线，顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0） （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于E，依次连接A、D、B、E，点Q为AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QFAE于F，QGDB于G，请判断是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MNEQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由【解答】27、解：（1）设抛物线解析式为 1分 将A（-1，0）带入 得 2分即3分 （2） 是定值14分 AB是直径 AEB=90 QFAEQFBE 同理可得 5分 为固定值1.6分 （3） 成立7分直线EC为抛物线对称轴 ， EC垂直平分AB AE=EB ， FAQ=45 AF=FQ8分QFBE 9分MNEQ ，QEF=MNE ，又QFE=MEN=90 QEFMNE 10分 11分144、（2010年四川省泸州市B卷）7.(本题满分l0分) 如图9，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分BAD和ADC。 (1)求证：AEDE； (2)设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD=5，AE=8，求值。【解答】7.(本题满分l0分) （1）证明略 （2）DE=6，AFGAED， 145、（2010年四川省泸州市B卷）8(本题满分l2分) 已二次函数及一次函数. (l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标； (2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值： (3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围【解答】8(本题满分l2分)解：（1）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为 (2)当直线位于时，此时过点, ，即。当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点。方程有一根，即当时，满足，由知，或。（3）当时，函数的图象与x轴有两个不同交点，应同时满足下列三方面的条件：方程的判别式=，抛物线的对称轴满足，当时，函数值，当时，函数值即，解得。当时，函数图象（）的图象与轴有两个不同公共点146、（2010年四川省眉山市）25（9分）如图，RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由【解答】25（1）证明：RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的， AC=AC ，AB=AB ，CAB=C AB （1分） CAC =BAB ACC =ABB （3分）又AEC=FEBACEFBE （4分） （2）解：当时，ACEFBE （5分） 在ACC中，AC=AC ， （6分） 在RtABC中， ACC+BCE=90，即， BCE= ABC=， ABC=BCE （8分） CE=BE 由（1）知：ACEFBE， ACEFBE（9分）147、（2010年四川省眉山市）26（12分）如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N设点M的横坐标为t，MN的长度为l求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标【解答】26解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 （1分） （3分） 所求函数关系式为： （4分） （2）在RtABO中，OA=3，OB=4，四边形ABCD是菱形BC=CD=DA=AB=5 （5分）C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0） （6分）当时，当时，点C和点D在所求抛物线上 （7分）（3）设直线CD对应的函数关系式为，则解得： （9分）MNy轴，M点的横坐标为t，N点的横坐标也为t则， ，（10分）， 当时，此时点M的坐标为（，） （12分）148、（2010年四川省绵阳市）24如图，ABC内接于O，且B = 60过点C作圆的切线l与BDFAOGECl直径AD的延长线交于点E，AFl，垂足为F，CGAD，垂足为G（1）求证：ACFACG；（2）若AF = 4，求图中阴影部分的面积【解答】24（1）如图，连结CD，OC，则ADC =B = 60 ACCD，CGAD， ACG =ADC = 60BDFAOGECl由于 ODC = 60，OC = OD， OCD为正三角形，得 DCO = 60由OCl，得 ECD = 30， ECG = 30 + 30 = 60进而 ACF = 180260 = 60， ACFACG（2）在RtACF中，ACF = 60，AF = 4，得 CF = 4在RtOCG中，COG = 60，CG = CF = 4，得 OC =在RtCEO中，OE =于是 S阴影 = SCEOS扇形COD =CEDGAxyOBF149、（2010年四川省绵阳市）25如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积【解答】25（1）由题意，得 解得，b =1所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（1，）（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周长最小值为CD + DR + CH =设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3所以直线BD的解析式为y =x + 3由于BC = 2，CE = BC2 =，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5）同理可求得直线EF的解析式为y =x +联立直线BD与EF的方程，解得使CDH的周长最小的点H（，）（3）设K（t，），xFtxE过K作x轴的垂线交EF于N则 KN = yKyN =（t +）=所以 SEFK = SKFN + SKNE =KN（t + 3）+KN（1t）= 2KN = t23t + 5 =（t +）2 +即当t =时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K（，）150、（2010年四川省南充市）21、（8分）如图，ABC内接于O，ADBC，OEBC， OEBC（1）求BAC的度数（2）将ACD沿AC折叠为ACF，将ABD沿AB折叠为ABG，延长FC和GB相交于点H求证：四边形AFHG是正方形（3）若BD6，CD4，求AD的长【解答】21.（1）解：连结OB和OCOEBC，BECEOEBC，BOC90，BAC45（2分）（2）证明：ADBC，ADBADC90由折叠可知，AGAFAD，AGHAFH90，BAGBAD，CAFCAD，（3分）BAGCAFBADCADBAC45GAFBAGCAFBAC90四边形AFHG是正方形（5分）（3）解：由（2）得，BHC90，GHHFAD，GBBD6，CFCD4设AD的长为x，则BHGHGBx6，CHHFCFx4（7分）在RtBCH中，BH2CH2BC2，（x6）2（x4）2102解得，x1=12，x22（不合题意，舍去）AD12（8分）151、（2010年四川省南充市）22、（8分）已知抛物线上有不同的两点E和F（1）求抛物线的解析式（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且PMQ45，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D设AD的长为m（m0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式（3）当m，n为何值时，PMQ的边过点F【解答】22、解：（1）抛物线的对称轴为.（1分）抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k2抛物线的解析式为.（2分）（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），AB，AMBM.（3分）在PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，MBCDAMPMQ45，在BCM中，BMCBCMMBC180，即BMCBCM135，在直线AB上，BMCPMQAMD180，即BMCAMD135BCMAMD故BCMAMD.（4分），即，故n和m之间的函数关系式为（m0）.（5分）（3）F在上， ，化简得，k11，k23即F1（2，0）或F2（4，8）.（6分）MF过M（2，2）和F1（2，0），设MF为， 则解得，直线MF的解析式为直线MF与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1）若MP过点F（2，0），则n413，m；若MQ过点F（2，0），则m4（2）6，n.（7分）MF过M（2，2）和F1（4，8），设MF为， 则解得，直线MF的解析式为直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）若MP过点F（4，8），则n4（），m；若MQ过点F（4，8），则m4，n.（8分）故当或时，PMQ的边过点F152、（2010年四川省自贡市）27（11分）如图，O是ABC的外接圆，A30，AB是O的直径，过点C作O的切线，交AB延长线于D，CD3cm，（1）求O的直径。（2）若动点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动。同时点N以1.5cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动。设运动的时间为t(0t2)，连结MN，当t为何值时BMN为Rt？并求此时该三角形的面积？【解答】27（1）解：AB是O的直径.ACB90 （0.5）又A30ABC60 （1）连接OC，因CD切O于C，则OCD90（2）在OBC中OBOC，ABC60OCB60BCD30（2.5）又OBCBCDDD30 （3）ACCD3（3.5）在RtABC中，cosAAB6（cm）（5）（2）BMN中，当BNM90时，cosMBC即cos60t1 （6）此时BM3 BN1.5 MN （7）SBMNBNMN （cm2） （8）当NMB90时，cosMBC即cos60 t1.6 （9）此时BMBN MN （10）SBMNBMMN（cm2） （11）153、（2010年四川省自贡市）28（12分）如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点A的右侧，ABOA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数yx2的图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H。记C、D的横坐标分别为xC，xD，点H的纵坐标yH。（1）证明：SCMDS梯形ABMC23xCxDyH（2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0），t0，其他条件不变，结论SCMD：S梯形ABMC23是否仍成立？请说明理由。（3）若A的坐标（t，0）（t0），又将条件yx2改为yax2（a0），其他条件不变，那么XC、XD和yH又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明。【解答】28解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0）点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），且直线OC的函数解析式为yx。点M的坐标为（2，2），易得SCMD1，S梯形ABMC（1.5）SCMDS梯形ABMC23，即结论成立。设直线CD的函数解析式为ykxb，则 即 直线CD的解析式为y3x2。由上述可得点H的坐标为（0，2），即yH2 （2.5）xCxDyH.即结论成立 （3）（2）结论SCMD：S梯形ABMC2:3仍成立. （4）理由如下：点A的坐标为（t，0），（t0）.则点B的坐标为（2t，0）从而点C的坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2）.设直线OC的解析式为ykx，则t2kt得kt直线OC的解析式为ytx（5）又设M的坐标为（2t，y）点M在直线OC上，当x2t时，y2t2点M的坐标为（2t，2t2） （6）SCMD：S梯形ABMC2t2t（t22t2）tt3（t3） （7）（3）xC，xD和yH有关数量关系xCxDyH. （8）由题意，当二次函数的解析式为yax2（a0），且点A的坐标为（t，0）时，点C的坐标为（t，at2），点D的坐标为（2t，4at2）（9）设直线CD的解析式为ykxb则得CD的解析式为y3atx2at2（11）则H的坐标为（0，2at2）即yH2at2（11.5）xCxDt2t2t2 （12）xCxDyH.154、（2010年四川省宜宾市）23(本题满分8分)小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案?请说明理由大笔记本小笔记本价格（元/本）65页数（页/本）10060【解答】23解：设购买大笔记本为x本，则购买小笔记本为(5x)本，1分依题意，得 3分解得，1 x 3 4分x为整数,x的取值为1，2，3；当x =1时，购买笔记本的总金额为61+54=26(元)；当x =2时，购买笔记本的总金额为62+53=27(元)；当x =3时，购买笔记本的总金额为63+52=28(元) 7分应购买大笔记本l本，小笔记本4本，花钱最少8分24题图155、（2010年四川省宜宾市）24(本题满分l2分)将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【解答】24解：(1)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a 0)的图象经过点A(0，6)，c=61分抛物线的图象又经过点(3，0)和(6，0)， 2分解之，得 3分 故此抛物线的解析式为：y= x2+x+64分 (2)设点P的坐标为(m，0)，则PC=6m，SABC = BCAO = 96=275分PEAB，CEPCAB6分 = ()2,即 = ( ) 2 SCEP = (6m)2.7分 SAPC = PCAO = (6m)6=3 (6m)SAPE = SAPCSCEP =3 (6m) (6m)2 = (m )2+.当m = 时，SAPE有最大面积为；此时，点P的坐标为(,0)8分(3)如图，过G作GHBC于点H，设点G的坐标为G(a，b)，9分连接AG、GC， S梯形AOHG = a (b+6), SCHG = (6 a)b S四边形AOCG = a (b+6) + (6 a)b=3(a+b)10分 SAGC = S四边形AOCG SAOC =3(a+b)1811分点G(a，b)在抛物线y= x2+x+6的图象上， b= a2+a+6. = 3(a a2+a+6)18 化简，得4a224a+27=0 解之，得a1= ，a2= 故点G的坐标为(,)或(，) 12分156、（2010年辽宁省沈阳市）七、(本题12分)24. 如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧， BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN； (1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：BPMCPE；k 求证：PM = PN； (2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时 PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。aABCPMNABCMNaPABCPNMa圖1圖2圖3【解答】24. (1) 证明 j 如图2，BM直线a于点M，CN直线a于点N， BMN=CNM=90，BM/CN，MBP=ECP， 又P为BC边中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE， k BPMCPE，PM=PE，PM=ME，在RtMNE中，PN=ME， PM=PN； (2) 成立，如图3， 证明 延长MP与NC的延长线相交于点E，BM直线a于点M，CN直线a于点N， BMN=CNM=90，BMN+CNM=180，BM/CN，MBP=ECP， 又P为BC中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE，PM=PE， PM=ME，则在RtMNE中，PN=ME，PM=PN。 (3) 四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。157、（2010年辽宁省沈阳市）八、(本题14分)25. 如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半 轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重 合，顶点C与点F重合； (1) 求拋物线的函数表达式； (2) 如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合， 点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n) (m0)。 j 当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标； k 在j的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围； l 当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。xACDEFBOQPyBO(D)yxF(C)E(A)OyxFE圖1圖2備用圖【解答】25. 解 (1) 由拋物线y=ax2+c经过点E(0，16)、F(16，0)得：，解得a= -，c=16， y= -x2+16； (2) j 过点P做PGx轴于点G，PO=PF，OG=FG，F(16，0)，OF=16， OG=OF=16=8，即P点的横坐标为8，P点在拋物线上， y= -82+16=12，即P点的纵坐标为12，P(8，12)， P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，Q点的纵坐标为-4， Q点在拋物线上，-4= -x2+16，x1=8，x2= -8， m0，x2= -8(舍去)，x=8，Q(8，-4)； k 8-16m0，x2= -12(舍去)，x=12，P点坐标为(12，7)， P为AB中点，AP=AB=8，点A的坐标是(4，7)，m=4， 又正方形ABCD边长是16，点B的坐标是(20，7)， 点C的坐标是(20，-9)，点Q的纵坐标为-9，Q点在拋物线上， -9= -x2+16，x1=20，x2= -20，m0，x2= -20(舍去)，x=20， Q点坐标(20，-9)，点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾， 当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。158、（2010年辽宁省丹东市）七、（12分）25如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时， DMN也随之整体移动） （1）如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由 图图图第25题图ABCDEF【解答】25（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， 3分（说明：答对一个给2分）（2）成立4分证明：法一：连结DE，DF 5分ABC是等边三角形， AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线DE=DF=EF，FDE=60又MDF+FDN=60， NDE+FDN=60， MDF=NDE 7分在DMF和DNE中，DF=DE，DM=DN， MDF=NDE，DMFDNE 8分NCABFMDENCABFMDEMF=NE 9分法二：延长EN，则EN过点F 5分ABC是等边三角形， AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点， EF=DF=BF BDM+MDF=60， FDN+MDF=60，BDM=FDN7分又DM=DN， ABM=DFN=60，DBMDFN8分BM=FNBF