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文档简介

几类非线性偏微分方程解法及解的性质的探讨 摘要 本硕士论文借助于计算机符号计算系统m a p l e 和m a t h e m a t i c a 以微分方程理论为基础 研究了非线性弦振动方程和一类变系数 b o u s s i n e s q 方程的p a i n l e v 6 检验 非线性弦振动方程和一类变系数 b o u s s i n e s q 方程的相似约化 一类反应扩散方程的首次积分解法等问 题 并取得了一些新颖而又有意义的成果 随着生产实践和科学技术的迅猛发展 非线性科学在各领域内得 到了广泛的应用 并取得了一系列可喜的成果 由于非线性问题常常 用非线性偏微分方程来描述 这使得非线性偏微分方程也越来越与 其它学科密切相连 因而非线性偏微分方程的求解和对其解的性质的 研究成为了理论和实践中一个备受关注的研究课题 由于非线性偏微分方程的复杂性 至今仍有大量的偏微分方程无 法求出精确解 虽然已经求出很多微分方程的精确解 但是求解方法 也是各有技巧 至今尚无一般的求解方法 因此为了给数值计算等方 法提供理论依据或讨论偏微分方程的解可能具有的性质 人们有时不 求解方程而直接研究偏微分方程解的特性 完全可积的非线性偏微分方程往往具有p a i n l e v 6 性质 b i c k l u n d 变换 d a r b o u x 变换 l a x 对等 些非常好的特性 一个偏微分方程 完全可积当且仅当它可以用反演散射法求解 然而却没有一个系统的 方法来确定一个微分方程是否可以用反演散射法求解 w e i s s t a b o r 和c a r n e v a l e 提出的w t c 算法是检验一个偏微分方程 组 是否具有 p a i n l e v 6 性质的方法 如果一个方程 组 通过p a i n l e v 6 检验 它将满 足完全可积的必要条件 反之 则方程 组 不是完全可积的 经典无穷小约化是求非线性偏微分方程解析解的一个重要的方 法 这种方法用单参数变换群使微分方程降阶 并求得其相似解 19 8 9 年 c l a r k s o n 与k r u s k a l 在研究b o u s s i n e s q 方程的相似解时提出了 c k 直接方法 这种方法不涉及群论的思想 它直接寻求方程形如u x i i 力 瞰 t w z x 力 形式的解 2 0 0 2 年 冯兆生在研究b u r g e r s k d v 方程的精确解时提出了首 次积分法 这是基于除法定理和h i l b e r t 零点定理的一种求方程精确 解的方法 基于上述理论和方法本文完成了以下三个方面的工作 一 应用 w t c 算法对非线性弦振动方程和描述顺流方向可变剪切流动的一类 变系数b o u s s i n e s q 方程作了p a i n l e v 6 分析 得到了弦振动方程具有 p a i n l e v 6 性质和变系数b o u s s i n e s q 方程在系数触 和g g 满足一定约束 条件的情况下具有p a i n l e v d 性质的结论 同时也得到了这两个方程的 b l i c k l u n d 变换 二 应用经典相似约化方法对弦振动方程作了相似约 化 得到了其相似解和相似约化 应用c k 直接方法对弦振动方程和 变系数b o u s s i n e s q 方程作了相似约化 分别得到了它们的相似解和相 似约化 并且得到了这两个方程的一些新的显式解 三 应用首次 积分法求解了一类反应扩散方程 得到了其新的精确解 以上述第二 部分内容为基础的学术论文 非线性弦振动方程的相似约化 已被 工 程数学学报 f e i 检索 核心期刊 录用 以上述第三部分内容为基础 的学术论文 一类反应扩散方程的精确解 已被 数学研究与评论 核心期刊 录用 正式录用通知见附录 关键词 p a i n l e v 6 性质相似约化首次积分弦振动方程变 系数b o u s s i n e s q 方程反应扩散方程 s t u d yo ns o l n gm e t h o d sa n d p r o p e r t i e so fs o l u t i o n sf o r s e v e r a l n d so fn o n l i n e a rp d e s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n b a s e do nt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d w i t ht h e a i do fc o m p u t e rs y m b o l i cc o m p u t i n gs y s t e mm a p l ea n d m a t h e m a t i c a w eh a v es t u d i e dt h ep a i n l e v 6p r o p e r t yf o rt h en o n l i n e a r v i b r a t i n gs t r i n ge q u a t i o na n dak i n do fv a r i a b l ec o e 伍c i e n tb o u s s i n e s q e q u a t i o n s a n dd i s s c u s ss i m i l a r i t yr e d u c t i o n sf o rt h ev i b r a t i n gs t r i n g e q u a t i o na n dt h ev a r i a b l ec o e 伍c i e n tb o u s s i n e s qe q u a t i o n s a sw e l la st h e e x a c ts o l u t i o n sf o rak i n do fr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sb yt h ef i r s t i n t e g r a lm e t h o d s o m en e w a n ds i g n i f i c a t i v er e s u l t sa r eo b t a i n e d a l o n gw i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fp r o d u c t i o na n dp r a c t i c e s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y t h en o n l i n e a rs c i e n c ei sw i d e s p r e a da p p l i e di n v a r i o u sf i e l d s a n das e r i e so fr e m a r k a b l ea c h i e v e m e n t si so b t a i n e di n r e c e n ty e a r s be c a u s eo ft h en o n l i n e a rp r o b l e m sa r eo f t e nd e s c r i b e dw i t h n o n l i n e a rp d e s t h en o n l i n e a rp d e sa r em o r ea n dm o r ec l o s et o c o n n e c t e dw i t ho t h e rs u b j e c t s s u c ha sp h y s i c s c h e m i s t r y b i o l o g ya n d e n g i n e e r i n g s o l v i n g t h en o n l i n e a rp d e sa n dt h er e s e a r c ha b o u t p r o p e r t i e sf o rt h e i rs o l u t i o n sb e c o m e sav e r yi m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i ci n t h e o r ya n d t h ep r a c t i c e f o rt h ec o m p l e x i t yo fn o n l i n e a rp d e s t h e r es t i l lh a v em a n yp d e s w h o s ee x a c ts o l u t i o n sa r eu n a b l et ob eo b t a i n e d a l t h o u g he x a c ts o l u t i o n s f o ral o to fp d e sh a v eb e e ns t u d i e d t h es o l v i n gp r o c e s sh a se a c hs k i l l 3 r e s p e c t i v e l y t h e r ei ss t i l ln oag e n e r a ls o l v i n gm e t h o d t h u s s o m e t i m e s w ed o n ts o l v et h ee q u a t i o n s b u tr e s e a r c ha b o u tp r o p e r t i e sf o rt h e i r s o l u t i o n sd i r e c t l y c o m p l e t e l yi n t e g r a b l en o n l i n e a rp d e s w h i c hc a nb es o l v a b l eb yt h e i s tm e t h o do f t e nh a v er e m a r k a b l ep r o p e r t i e s s u c ha st h ep a i n l e v d p r o p e r t y b l i c k l u n da n dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s al a xp a i r a n ds oo n b u tt h e r ei sn os y s t e m a t i cw a yt od e t e r m i n ew h e t h e rap d ei ss o l v a b l e u s i n gt h ei s tm e t h o d t h ew t ca l g o r i t h mw h i c h w a sp r o p o s e db yw e i s s t a b o ra n dc a r n e v a l ec a l le x a m i n eap d e g r o u p w h e t h e rh a sp a i n l e v d p r o p e r t y i fap d e g r o u p p a s sp a i n l e v dt e s t i tw i l ls a t i s f yt h ee s s e n t i a l c o n d i t i o no fc o m p l e t e l yi n t e g r a b l e o t h e r w i s e t h ep d e g r o u p i sn o t c o m p l e t e l yi n t e g r a b l e o n ei m p o r t a n tm e t h o dt oo b t a i nt h ee x p l i c i ts o l u t i o n so fn o n l i n e a r p d e si st h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o do fi n f m i t e s i m a lt r a n s f o r m a t i o n w h i c hl e a d st h eo r d e ro fap d ed e c r e a s eo n et i m e t h ec kd i r e c tm e t h o d w h i c hw a sd e v e l o p e db yc l a r k s o na n dk r u s k a li ns t u d y i n gs i m i l a r i t y r e d u c t i o n so fb o u s s i n e s q e q u a t i o n i n v o l v e sn ol i eg r o u pt h e o r e t i c t e c h n i q u e s a n ds e e k st h es o l u t i o n sa st h ef o r mu x 沪吣 厶w z x 力 o fae q u a t i o n b a s eo nd i v i s i o nt h e o r e ma n dh i l b e r t n u l l s t e u e n s a t z t h e o r e m z s f e n gp r o p o s e dan e wa p p r o a c hw h i c hi sc u r r e n t l yc a l l e d t h ef i r s ti n t e g r a lm e t h o dt ot h ec o m p o u n d b u r g e r s k d ve q u a t i o n i n2 0 0 2 f o l l o w i n gt h ea b o v et h e o r ya n dm e t h o d s w eh a v ec o m p l e t e dt h r e e a s p e c t sw o r ki nt h i sp a p e r f k s t l y w ep r o p o s ep a i n l e v dt e s tf o rt h e n o n l i n e a rv i b r a t i n gs t r i n ge q u a t i o na n dak i n do fv a r i a b l ec o e f f i c i e n t b o u s s i n e s q e q u a t i o n s d r a wt h e c o n c l u s i o nt h a tt h ev i b r a t i n gs t r i n g e q u a t i o no w n sp a i n l e v dp r o p e r t ya n dt h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n tb o u s s i n e s q e q u a t i o n s o w np a i n l e v dp r o p e r t yw h e n 似 删s a t i s f yac e r t a i n c o n s t r a i n tc o n d i t i o n s a n do b t a i nb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o rt h et w o e q u a t i o n s s e c o n d l y u s i n gt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o d t h ev i b r a t i n g s t r i n ge q u a t i o nc a nb er e d u c e dt ot h e 廿l i r da n d t h ef o u r t ht y p eo fe l l i p t i c e q u a t i o n s b ym e a n so ft h ec kd i r e c tm e t h o d w 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e p t e db y j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a lr e s e a r c ha n de x p o s i t i o n k e y i n t e g r a l e q u a t i o n s w o r d s p a i n l e v 6p r o p e r t y v i b r a t i n gs t r i n ge q u a t i o n r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s s i m i l a r i t yr e d u c t i o n f k s t v a r i a b l ec o e f f i c i e n tb o u s s i n e s q 独创性 或创新性 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外 论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处 本人承担一切相关责任 本人签名 j z 摹 逸4 日期 翘翌j 乏 一 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定 即 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学 学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许学位论文被查阅和借 阅 学校可以公布学位论文的全部或部分内容 可以允许采用影印 缩印或其它 复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后遵守此规定 保密论文注释 本学位论文属于保密在石2 年解密后适用本授权书 非保密论 文注释 本学位 本人签名 导师签名 适篙担予 夕芗 日期j 塑翌2 z 一 日期 刁理左 一 北京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 本硕士论文以线性和非线性微分方程理论为基础 借助于计算机符号计算 系统m a p l e 和m a t h e m a t i c a 完成了以下三个方面的工作 一 非线性弦振动方程 和一类变系数b o u s i n e s q 方程的p a i n l e v 6 分析 二 非线性弦振动方程和一类变 系数b o u s i n e s q 方程的相似约化 三 一类反应扩散方程的首次积分解法 本章 将介绍本文所涉及的学科发展现状 知识背景以及本文的内容简介和结构安排 1 1 引言 随着生产实践和科学技术的迅猛发展 非线性科学在各领域内得到了广泛的 应用 并取得了一系列可喜的成果 这使得微分方程也越来越与其它学科密切相 连 物理 化学 生物 工程 航空航天 医学 经济和金融领域中的许多原理 和规律都可以描述成适当的微分方程 如万有引力定律 机械能守恒定律 人口 发展规律 生态种群竞争 疾病传染 遗传基因变异 股票的涨伏趋势 利率的 浮动 市场均衡价格的变化等 甚至有些领域的基本方程就是常微分方程或者偏 微分方程 如流体力学中的连续性方程 电磁学中的麦克斯韦方程 大气动力学 中的天气预报方程等 此外 热量传递和动量传递 石油勘探开发 煤层气的开 发利用 核废料的处理 水资源的利用以及通讯电子中的一些理论问题都需要借 助于微分方程来研究 微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学 而且越 来越多的应用于社会科学的各个领域 由于非线性问题常常用非线性偏微分方程来描述 因而非线性偏微分方程的 求解和其解的性质的研究成为了理论和实践中一个备受关注的研究课题 微分 方程的显式解 特别是行波解可以很好的描述各种物理现象 如振动 传播波等 但是由于非线性偏微分方程的复杂性 至今仍有大量的微分方程无法求出精确 解 虽然已经求出很多微分方程的精确解 但是求解方法也各有各的技巧 至今 尚无一般的求解方法 值得庆幸的是孤子理论中蕴藏着一系列构造显式解的方 法 如反散射法 i s d 1 5 b i i c k l u n d 变换法 2 4 z6 7 d a r b o u x 变换法嘲 i i i r o t a 双 线性法 9 延拓 法 1 0 l p a i n l e v 6 分析法 5 7 1 1 1 2 1 l i e 群法 1 3 2 0 c k 直接方法 1 4 1 9 等 随着各种求解办法的不断出现 不但过去难以求解的方程逐渐得到了解决 而且不断发现非线性方程有意义的新解 近年来 计算机的发展和m a p l e m a t h e m a t i c a 等符号运算系统的出现给求解非线性方程带来了极大的方便 北京邮电大学硕士研究生学位论文 2 0 世纪后期非线性物理有了长足的发展 孤立子和呼吸子的发现迅速改变 了科学家和数学家对非线性科学的观点 2 1 1 不但呼吸子和分形理论给出了对古 怪而又变化莫测的自然现象一个更好的解释 而且孤子理论可以用来解释可预 测的自然现象和通常情况下遭到破坏的状况 孤立子是在相互作用后能够保持 其形状和速度不变或者仅产生一个局部扰动的孤立波 l a b l o w i t z 和c l a r k s o n 在 研究孤子的过程中 给出了完全可积的概念和一大类微分方程解的结构 l 完全 可积的非线性偏微分方程 p d e s 往往具有一些非常好的特性 譬如无穷多对称 性 无穷多守恒律 p a i n l e v d 性质 或许是经过一个变量变换 b i c k l u n d 变换 d a r b o u x 变换 双线性形式和l a x 对等田 2 3 因而通过研究这些非线性p d e s 的 完全可积性 可以更好的给出他们解的特性 有很多方法可以求解完全可积的非 线性p d e s 例如通过变换化为线性方程或者用反演散射法圆 近来 借助于 m a t h e m a t i c a 和m a p l e 运用i s t 法求解了一些复杂的方程 其中包括复杂的 c a m a s s a h o l m 方程 2 4 j 如果一个方程可以用i s t 法求解 它将是完全可积并且 拥有无穷多对称 p a i n l e v d 性质等好的特性 然而却没有一个系统的方法来确定 一个微分方程是否可以用i s t 法求解 1 2 完全可积性与p a i n l e v 6 分析 在上个世纪的世纪之交 p a i n l e v d 和他的同事将所有的有理的在所有可移动 奇点的邻域内解是单值的二阶常微分方程 o d e s 进行了分类 将没有流动临界 点的所有可能的方程分为了5 0 类 所有这些具有p a i n l e v d 性质的o d e s 要么可 以化为能用已知的函数求解的方程 要么可以通过变换化为以下六个p a i n l e v d 方 程之一 pi 娶 6 w z d z 2 p 宴 2 w 3 删 口 d z 2 哑查 w 1 t a z j 2 一 l 西d w 宰口q p 2 f l 言 眦万d 2 w 烈1d i w 2 警 z 删扛咖 告 p v 窘 去 上w 1 l f t 坐d z1 2 一j li d w 2 北京邮电大学硕士研究生学位论文 孚卜 钥 警 百 勋 w 1 眦万d 2 w 吉 击 忑1 巴 击 上g x w 1 警 出2 1w 一1w z iz z i 龙 w w 攻 川1 w 2 l z 口 告 而r z 1 筹 pi p 的解可以用p a i n l e v d 超越函数表示 但是除了口 和y 取一些特殊值 的情况 p a i n l e v d 超越函数却无法用古典的超越函数来表示 2 5 有证据表明 可积性与微分方程的奇异结构密切相关 2 6 具体地说 奇异流 形的密集分支可以表明它不是完全可积的 2 7 1 8 8 9 年k o w a l e w s k i 首次应用复杂的奇异结构确定了旋转陀螺的一个新的非 平凡的可积系统 2 吼 1 9 8 1 年 a b l o w i t z r a m a n i 和s e g u r a r s e 2 9 以及m c l e o d 和 o l v e i d 0 分别阐明了p a i n l e v d 猜测是一个p d e 可以用i s t 法求解的必要条件 p a i n l e v d 猜测断言由可以用i s t 法求解的非线性p d e 约化得到的每一个非线性 o d e 都具有p a i n l e v d 性质 但是这一猜测只是一个必要条件 而非充分条件 一 般的 多数p d e s 不能准确约化为非线性o d e s 因此对于这一猜测并不实用 3 l 19 8 3 年 w e i s s t a b o r 和c a m e v a l e t l l 通过推广o d e s 的p a i r d e v d 性质 提出了 p d e s 的p a i r d e v d 性质与可积性之间的联系 即直接判断p d e s 是否具有p a i n l e v d 性质的方法 与判别o d e s 是否具有p a i n l e v d 性质的方法类似卜 p a i n l e v d 检验 又称为w t c 算法 1 3 相似约化 为了统一和扩展求解常微分方程的各种特殊方法 1 9 世纪末s m l i e 在 g a l o i s 和a b e l 关于代数方程和置换群结果的启发下引进了l i e 群f 不变群或对称 群 的概念 1 8 8 1 年 s m l i e 证明了一个微分方程如果在单参数群的变换下不 变 则其阶数可减少一次 之后s m l i e 又考察了偏微分方程 并建立了一维热 传导方程的局部变换群 开创了l i e 群在偏微分方程中应用的先河r 翻 经典l i e 群方法是求偏微分方程相似解的标准方法 然而这种方法需要进行大量而又复 杂的代数运算 1 9 0 5 年 p o i n c a r e 发现l o r e n t z 变换构成了m a x w e l l 方程的对称群 使得人们 开始重视李群理论 19 0 9 年 b a t e m a n c u n n i n g h a m 和c a n n i c h a e l 推广了p o i n c a r e 的结论 用对称群理论求得了波动方程的精确解 1 9 1 8 年 基于对称群理论的著 名n o e t h e r 定理的提出 进一步引起了人们对l i e 对称理论的注意 但是由于受 北京邮电大学硕士研究生学位论文 计算复杂性和研究手段等历史条件的限制 对称群在偏微分方程上的应用一直 没有得到很大的发展 直至2 0 世纪5 0 年代 对称群理论应用才进入了一个新的 发展时期 1 9 5 0 年gb k k h o f 把对称群应用到了流体力学方程上 之后e c a f t a n 给予了对称群理论上的发展 2 0 世纪5 0 年代 o v s i a n n i k o v 和其合作者们成功地 把对称群应用于求解数学物理方程 并获得了引人瞩目的成果1 3 2 7 0 年代开始由 于计算机的普及和符号运算的初步应用 对称群在偏微分方程中的应用进入了快 速发展的阶段 相继出现了对称群理论和应用的专著 得到了大量数学物理方程 的对称性 求解微分方程的l i e 变换群方法 通常称为经典 或古典 无穷小变换 约化 方法 1 9 6 9 年 b l u m m a n 和c o l e 推广了l i e 群方法 提出了非经典l i e 群方法 即 非经典无穷小约化方法 1 3 与经典无穷小约化相比 非经典无穷小约化的计算 量更大 计算过程更复杂 但由于它们在寻求使方程形式不变的变换群时的差异 使得非经典无穷小约化方法有可能求出不同于用经典无穷小约化方法的新的不 变变换和相似解 这使得非经典相似约化方法得到了更为广泛的应用和发展 1 9 8 9 年 p e t e ra c l a r k s o n 与m a r t i nd k r u s k a l 首次用一种直接变换的方法 求得b o u s s i n e s q 方程的相似解 1 4 1 这是一种不涉及群论的直接约化方法 我们称 之为c k 直接方法 c k 直接方法直接寻求微分方程具有如下形式 x d u f 以z r 的解 1 4 首次积分法 近年来先后提出了一系列求解非线性偏微分方程精确解的方法 如齐次平 衡法 3 3 3 4 双曲函数展开法 3 5 1 椭圆函数展开法阅 辅助函数展开法等 3 7 1 2 0 0 2 年 基于除法定理和h i l b e r t 零点定理冯兆生 3 8 删提出了首次积分法 并用它求解 了b u r g e r s k d v 方程 3 引 s i n e g o r d o n 方程p 9 和二维b u r g e r s k d v 方程 4 们 1 5 本文主要工作和结构安排 基于上述理论和方法本文完成了以下三个方面的工作 一 应用w t c 算法 对非线性弦振动方程和描述顺流方向可变剪切流动的一类变系数b o u s s i n e s q 方 程作了p a i n l e v d 分析 得到了弦振动方程具有p a i n l e v d 性质和变系数b o u s s i n e s q 方程在系数删和g o 满足一定约束条件的情况下具有p a i r d e v d 性质的结论 同 时也得到了这两个方程的b t i e k l u n d 变换 二 应用经典相似约化方法对弦振动方 4 北京邮电大学硕士研究生学位论文 程作了相似约化 得到了其相似解和相似约化 应用c k 直接方法对弦振动方程 和变系数b o u s s i n e s q 方程作了相似约化 分别得到了它们的相似解和相似约化 其中也得到了这两个方程的一些显式解 三 应用首次积分法求解了一类反应扩 散方程 得到了其新的精确解 据我们检索 本文得到的一些结论和结果是新颖 而又有意义的 本文的主要成果有 以上述第二部分内容为基础的学术论文 非线性弦振动 方程的相似约化 已被 工程数学学报 e i 检索 核心期刊 录用 以上述第三 部分内容为基础的学术论文 一类反应扩散方程的精确解 已被 数学研究与评 论 核心期刊 录用 正式录用通知见附录 本文的结构安排如下 在第二章中我们介绍了奇点的分类和p a i n l e v 6 性质以 及w t c 算法 并用w t c 算法对非线性弦振动方程和描述顺流方向可变剪切流 动的一类变系数b o u s s i n e s q 方程作p a i n l e v 6 分析 在第三章中我们介绍了经典 l i e 群方法和c k 直接约化方法 并用经典l i e 群方法对非线性弦振动方程作了相 似约化 用c k 直接方法对非线性弦振动方程和描述顺流方向可变剪切流动的一 类变系数b o u s s i n e s q 方程作了相似约化 在第四章中我们介绍了首次积分算法 并应用首次积分法求得了一类反应扩散方程的精确解 北京邮电大学硕士研究生学位论文 2 1 引言 第二章p ainie v 6 分析 一般来讲 p a i n l e v 6 分析是研究微分方程奇异性结构的 具体的 我们考虑依 赖于初始条件的微分方程的解具有怎样的奇异性 2 2 节介绍了奇点的分类以及p a i n l e v 6 性质的相关知识 2 3 节介绍了w e i s s t a b o r 和c a m e v a l e 提出的关于p a i n l e v 6 检验 p d et e s t 的w t c 算法 2 4 节介绍 了p a i n l e v 6 分析的应用 讨论了非线性弦振动方程和描述顺流方向可变剪切流动 的一类变系数b o u s s i n e s q 方程的p a i n l e v 6 分析 其中2 4 1 小节验证了非线性弦 振动方程具有p a i n l e v 6 性质 并得到了它的自b t i c k l u n d 变换 2 4 2 小节验证了描 述顺流方向可变剪切流动的一类变系数b o u s s i n e s q 方程在系数 肭和删满足一 定约束条件的情况下也具有p a i n l e v 6 性质 同时也得到了它的自b i i c k l u n d 变换 2 2 奇点与p a i n i e v 6 性质 2 2 1 奇点 完全由系数确定的奇点叫作固定奇点 固定奇点与初始条件和边界条件无 关 一般的 线性o d e s 的解仅有固定奇点 2 5 1 如果一个奇点依赖于o d e 的积分常数那么它是流动奇点 2 5 1 例如 r i c c a t i 方程 z w 2 z 0 2 1 的通解是w z 1 z c 其中c 是积分常数 奇点用依赖于积分常数 所以 2 1 有一个流动奇点庐c 一个o d e 的解可能有各种各样的奇点 其中流动奇点包括极点 支点和本 性奇点 以下我们来举例说明各种奇点 例2 1 方程2 w w 0 的解为z z 它的奇点是z 0 像这样的不随积分 常数而变化的极点 我们称之为固定极点 固定极点是固定奇点的一类 因而固 定极点与初始条件和边界条件无关 2 5 1 r i c e a t i 方程 2 1 的奇点g c 随着积分常数而变化 这样的与初始条件或边 6 北京邮电大学硕士研究生学位论文 界条件有关的极点称为流动极点 2 5 1 例2 2 方程y 一y t a 2 的通解为 1 y e 一知 其中x o 为积分常数 展开可得 1111 y 2 1 x x 0 t 2 x x o 2 3 1 x x o a n x x o 一 上式表明解y e 卜如的级数展开式中有无穷多个负幂项 这时称x x 为本性 奇点 一般地 如果解在奇点 的邻域内展开时 罗朗级数 吼去坞丽1 t a m 丽1 x 一 z 飞 2 仅有有限个负幂项 如上式所示 称z 为押阶极点 2 纠 例2 3 方程2 删 l 0 的通解为以z z c 它的奇点与初值条件和根式 相关 称为流动代数支点 2 5 例2 4 方程w w 2 0 的通解为w z l o g z q c 2 它的奇点与初值条件 和对数有关 称为流动对数支点 2 5 例2 5 方程 1 w 2 w 1 2 w w 口 0 的通解为w z t a n h c l z c 2 它的 奇点不但与初值条件相关 还与三角函数相关 像这样的奇点我们称为非孤立的 的流动本性奇点口5 1 2 2 2p d e 的p a e v 6 性质 如果一个o d e 的所有活动奇点都是简单极点 称这个o d e 具有p a i n l e v 性质 该方程不含有活动临界点 即无代支点和对数支点 像这样的方程称为 p a i n l e v 6 型方程1 6 7 i1 1 2 5 j 由p a i n l e v 6 假设可知一个完全可积的p d e 通过相似约化得到的每一个 o d e 或作变量变换后的o d e 都是p a i r d e v 6 型的 即该p d e 具有p a i n l e v 6 性质 换句话说 如果一个p d e 经过相似约化得到的o d e 不是p a i n l e v 6 型 那么该 p d e i 不是完全可积的 w e i s s 等人在19 8 3 年将o d e 的p a i n l e v 6 性质推广到p d e 使之能有效地用于非线性系统的可积性及不可积系统特殊类型解的研究 他们 的方法在文献上一般称为w t c 方法 利用这个方法可以得出可积方程的l a x 对 b a c k l u n d 变换 d a r b o u x 变换等 l1 1 7 北京邮电大学硕士研究生学位论文 方程 y p x y y 嵋 q x y y r x y 2 2 其中p 墨y q x 少 r 毛y 为y 的有理函数 且对x 解析 这样的方程只有简单 极点 称为p a i n l e v 6 方程 p a i n l e v 6 等将形如 2 2 的二阶方程分为5 0 类 其中有 4 4 类可以化为线性方程或用已知函数求解 另外6 类为1 2 节中的pi p 定义2 1 如果一个p d e 的解在其可移动的非本性奇异流形的邻域内是单值 解析的 则称该p d e 具有p a i n l e v 6 性质 7 1 流形是指一类特殊的连通 h a u s d o r f f 紧的拓扑空间 在此空间每一点的邻近 预先建立了坐标系 使得任何两个 局部 坐标系间的坐标变换都是连续的 这里 所说在一点邻近建立坐标系就是 存在这个点的一个邻域u 和一个同胚映射伊 e 其中矿是某个欧氏空间r 中的开集 这样的缈可看成u 上刀个函数 它们 就给出u 中点的坐标 在上面流形的定义中 若坐标变换皆是连续可微的 则进 一步称该空间为微分流形 流形的概念最早是由b r i e m a n n 在1 8 5 4 年提出的 流形最重要的特性是有局部坐标系 这个特性并不奇特 以至流形能广泛地出现 在物理 几何问题之中 同时这个特性又使人们可系统地运用坐标方法 从而导 致富有成效的研究 因此流形成为数学中一个重要概念 设有奇异流形 西 z l 乞 z 3 i p i t 乙 0 2 3 而甜 毛 乞 z 3 气 为偏微分方程 n z l 7 2 z 3 乙 0 2 4 的一个解 甜具有形式 u z l 7 2 毛 乙 妒口 吩矽 茸0 其中 i u j z l 7 2 乞 乙 是在流形 2 3 的邻域内关于毛 z 2 g n 的解析函数 口为负整数 西是x 和t 的解析函数 且u 满足方程 2 4 则我们称该偏微分方程 具有p a i n l e v 6 性质 1 1 2 3p a i n l e v 6 分析的w t c 算法 考虑微分方程系统 f 甜 z z u f z 甜 肼 z 0 2 5 北京邮电大学硕士研究生学位论文 其中f 有m 个分量互 凡 非自由变量甜 z 有m 个分量m z z 自 由变量z 有m 个分量z l 一 锄 g u 册 z 表示m 阶混合偏导数的集合 因此这 个系统的幂次是m m 如果系统含有任意含参数的系数 常数或者z 的任意 解析函数 那么可以设它们是非零的 一般的 几个复变量的函数是不会有孤立奇点的 4 1 1 例如 厂 z 1 z 在z o 有一个孤立奇点 但是两个复变量的的函数w 豁 i v z z 纱 厂 嵋z 1 z 2 6 在这些变量的四维空间中有一个二维奇异分支 称为点 甜 u0 0 因此 我们定 义 个复变l a 口 a 的函数的支点 在其邻域内这个函数可以写成如下 形式 f z 器 其中g 和h 在包含 口1 口2 口 在内的区域上是解析的 且 g q 口2 a i 0 h a l 口2 口 0 2 8 因此 w t c 方法考虑流形 甙z 3 0 2 9 的邻域内的解奇异结构 其中烈z 0 在该流形的一个邻域内是z 兰 口l 口 a 的解析函数 特别地 如果奇异流形由 2 9 定义且矾z 是p d e 的一个解 那么我 们设有一个罗朗级数解 z g 嘶 z 七 z g 毛 z i 1 2 m 2 1 0 其中甜啦 z 是z 的解析函数 在这个流形的邻域内 f o z of 1 a 是积分常数 至少有一个 o 2 1 8 1 o 的解 1 主项平衡 取u x d z t o x r 一口 则 甜 x f 一a w o x r 庐 a i 丸 u x x x r 一口卜口一1 o x f 妒 6 t 2 妒j 2 代入到 2 1 7 的主项 即方程的右端 得 2 u 0 2 丸 咖 一a c t 一1 u o 丸2 吨 0 由矽的指数和系数分别平衡可得 一2 口一l 一

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