第三章——导数及应用.doc

周至五中 巨海斌第三章导数及其应用高考导航考纲要求备考策略1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数的概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数yC(C为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义.导数是初等数学与高等数学的衔接点，也是研究函数的重要工具，湖南省2011年考查本章内容的是第6、8、22题，共计23分，占总分的15%以上.一般以选择、填空题的形式考查导数的运算与导数的几何意义或微积分的知识；对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立、参数的取值范围、方程根的个数、不等式的证明等问题.复习时采用以下应对策略：1.重视对导数定义的理解，熟练掌握求导公式和运算法则，以及求积分公式，这是基础.2.加强利用导数求函数的单调区间、极值、最值等方法与步骤规范化训练，这是基本功.3.专项训练利用导数解答不等式恒成立、参数的取值范围、方程根的个数、不等式的证明、实际应用等问题，以便达到识型、合法、能解的目的.知识网络3.1导数的概念与运算考点诠释重点：导数的概念，导数的几何、物理意义及其应用.难点：对导数定义的理解，特别是对表达式f(x0)的理解及运用；简单复合函数求导.典例精析题型一导数的概念【例1】(1)设f(x)在xx0附近有定义，且1，求f(x0)的值；(2)设函数f(a)3，求的值.【思路分析】由导数的定义可得f(x0)的极限表达式，借此可寻找导数与极限之间的联系.【解析】(1)令2hx，则122f(x0)，所以f(x0).(2) 22f(a)6.【方法归纳】定义是数学知识的基础，“回到定义去”是解决数学问题的基本策略.本例主要考查导数的概念、极限的运算以及代数式的变形，其中导数的概念是解题的关键.注意导数是函数值增量与自变量增量比值的极限(自变量增量无限趋近于零时)，解题时必须把握好增量的对应性，即函数值增量必须是相应自变量的函数值的差值.【举一反三】1.物体在某一受力状态下的位移s(t)(单位：m)与运动时间t(单位：s)的关系为：s(t)t3(t0).(1)利用导数的定义求s(t)；(2)求该物体在t2秒时的瞬时速度v(2).【解析】(1)ss(tt)s(t)(tt)3t3t(3t23ttt2)，3t23ttt2，s(t)(3t23ttt2)3t2.(2)该物体在2秒时的瞬时速度就是s(t)在t2处的导数，v(2)s(2)32212(m/s).题型二求已知函数的导数【例2】 求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y3xex2xe；(3)y；(4)ysin32x.【思路分析】(1)(2)利用积的导数运算法则；(3)利用商的导数运算法则求导；(4)是一个复合函数，首先找出中间量u2x，vsin u，yv3，然后利用复合函数求导法则求导.【解析】(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(3xex)(2x)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.(4)y3(sin 2x)2(sin 2x)6sin22xcos 2x.【方法归纳】理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则.求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因，从本例可以看出，深刻理解和掌握导数的运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算.【举一反三】2.求下列函数的导数：(1)yln(x)；(2)y(x22x3)e2x；(3)y.【解析】(1)y(x)(1).(2)y(2x2)e2x2(x22x3)e2x2(x2x2)e2x.(3)y()()x (1x).题型三导数的几何意义及应用【例3】已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程.【思路分析】已知切点的坐标求切线的方程，可利用导数求出过切点的切线的斜率，再用点斜式即可求出切线的方程.【解析】(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率为k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01，或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.【方法归纳】根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用xx0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键.由导数的几何意义可知，点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0).若不知道切点坐标，应根据导数的几何意义列方程求出切点坐标.【举一反三】3.设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a等于( B )A.2 B.2 C. D.【解析】y，ky|x3，又k(a)1，a2，故选B.体验高考(2011大纲全国)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D.1【解析】依题意得ye2x(2)2e2x，y|x02e202，曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y22x，即y2x2.在坐标系内画出直线y2x2，y0与yx，注意到直线y2x2与yx的交点坐标是(，)，直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图形不难得知，这三条直线所围成的三角形的面积等于1，故选A.【举一反三】(2011山东)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为( C )A.(0，) B.(1,0)(2，)C.(2，) D.(1,0)【解析】因为f(x)2x2，所以解不等式组得x2，故选C.3.2导数的应用(一)考点诠释重点：函数的单调性与导数的关系，极值与最值的求法.难点：f(x)与f(x)在某个区间上单调性的关系.典例精析题型一导数与函数的单调性【例1】已知函数yx3ax6的一个单调递增区间为(1，)，求a的值及函数的其他单调区间.【思路分析】函数f(x)的一个单调区间是(1，)，则f(1)0.【解析】y3x2a.函数的一个递增区间为(1，)，1是方程y0的一个根，312a0，a3.y3x23.由3x230，得x1或x1，(1，)，(，1)是函数的递增区间.由3x230，得1x1，(1,1)是函数的一个递减区间.综上所述，a的值为3，函数的递增区间为(，1)和(1，)，递减区间为(1,1).【方法归纳】判断函数的单调性时，先要明确函数的定义域，然后对函数求导，再解不等式f(x)0.f(x)0的解对应的区间就是函数的单调增区间；f(x)0的解对应的区间就是函数的单调减区间，这种方法只对可导函数适用.【举一反三】1.讨论函数yx3ax的单调性.【解析】由题意知，y3x2a.当a0时，y0，则函数在R上单调递增；当a0时，若x(，)，则y0，此时函数单调递减；若x(，)或(，)时，则y0，此时函数单调递增.所以当a0时，函数在R上单调递增；当a0时，函数在(，)和(，)上单调递增，在(，)上单调递减.题型二导数与函数的极值【例2】(2011安徽)设f(x)，其中a为正实数.(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.【思路分析】对函数f(x)求导，(1)中令f(x)0，求根列表得极值点；(2)由单调性转化为不等式恒成立来求解.【解析】f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2，结合可知：x(，)(，)(，)f(x)0,0f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数，则f (x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.【方法归纳】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲，f(x)在点xx0处取极值的必要条件是f(x)0.但是，当x0满足f(x0)0时，f(x)在点xx0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.【举一反三】2.已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.【解析】(1)f(x)3ax22bxc.因为x1是函数f(x)的极值点，所以x1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的两根.由根与系数的关系，得 又f(1)1，所以abc1.由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，所以当f(x)x20时，有x1或x1；当f(x)x20时，有1x1.所以函数f(x)x3x在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数.所以当x1时，函数取得极大值f(1)1；当x1时，函数取得极小值f(1)1.题型三导数与函数的最值【例3】求函数f(x)ln(1x)x2在区间0,2上的最大值和最小值.【思路分析】先求出函数f(x)在0,2上的极值，再求出f(0)、f(2)，比较大小便可得出最大、最小值.【解析】f(x)x，令x0，化简为x2x20，解得x12或x21，其中x12舍去.又由f(x)x0，且x0,2，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)ln 2为函数f(x)的极大值.又因为f(0)0，f(2)ln 310，f(1)f(2)，所以，f(0)0为函数f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 2为函数f(x)在0,2上的最大值.【方法归纳】求函数f(x)在某闭区间a，b上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在a，b上的最值.【举一反三】3.已知f(x)ax32ax2b(a0)，是否存在正实数a，b使得f(x)在区间2,1上的最大值是5，最小值是11？若存在，求出a，b的值及相应函数f(x)；若不存在，请说明理由.【解析】假设存在正实数a，b满足条件，f(x)ax32ax2b(a0)，f(x)3ax24axax(3x4)，令f(x)0，得x10，x22,1，因为a0，则f(x)、f(x)的情况如下：x2,0)0(0,1f(x)0f(x)极大值因此f(0)必为最大值，f(0) 5，得b5，f(2)16a5，f(1)a5，f(1)f(2)，f(2)16a511，a1，故存在正实数a1，b5满足题意，且f(x)x32x25.体验高考(2011北京)已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围.【解析】(1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得xk.当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)，单调递减区间是(k，k).当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以f(x)的单调递减区间是(，k)和(k，)，单调递增区间是(k，k).(2)当k0时，因为f(k1)e，所以不会有x(0，)，f(x).当k0时，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)等价于f(k)，解得k0.故当x(0，)，f(x)时，k的取值范围是，0).【举一反三】(2011江西)设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(，)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值.【解析】(1)由f(x)x2x2a(x)22a，当x，)时，f(x)的最大值为f()2a.令2a0，得a，所以当a时，f(x)在(，)上存在单调递增区间.(2)令f(x)0，得两根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a，得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).3.3导数的应用(二)考点诠释重点：会利用导数证明不等式，研究函数零点(方程根)的个数问题，解决实际生活中的优化问题.难点：构造新函数的方法，实际问题中函数关系式的确立等.典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知mR，函数f(x)(x2mxm)ex.(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m0时，求证：f(x)x2x3.【思路分析】(1)函数f(x)无零点，即x2mxm0无解，利用0解得m的取值范围；(2)令g(x)f(x)x2x3，证明g(x)的最小值大于或等于0即可.【解析】(1)由已知条件f(x)0无解，即x2mxm0无实根，则m24m0，解得0m4，故实数m的取值范围是(0,4).(2)证明：当m0时，f(x)x2ex，则有f(x)x2x3x2(exx1).令g(x)f(x)x2x3，则由g(x)，g(x)随x变化情况可知，gmin(x)g(0)0，所以对于xR，g(x)g(0)0，即f(x)x2x30，故f(x)x3x2.【方法归纳】利用导数证明不等式时要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对xa，b都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)，只要利用导数说明h(x)在a，b上的最小值为0即可.【举一反三】1.已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在区间1，e上的值域；(2)求证：当x1时，f(x)x3.【解析】(1)由已知f(x)x，当x1，e时，f(x)0，因此f(x)在 1，e上为增函数.故f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1)，因而f(x)在区间1，e上的值域为，1.(2)证明：令F(x)f(x)x3x3x2ln x，则F(x)x2x2，因为x1，所以F(x)0，故F(x)在(1，)上为减函数.又F(1)0，故当x1时，F(x)0恒成立，即f(x)x3.题型二导数与方程的解(函数的零点)【例2】已知函数f(x)x2aln x在(1,2上是增函数，g(x)xa在(0,1)上为减函数.(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)求证：当x0时，方程f(x)g(x)2有唯一解.【思路分析】(1)根据f(x)、g(x)的单调性，求出a的取值范围，从而确定a的值，代入求得其解析式；(2)要证方程有唯一解，把它转化为函数有唯一零点，数形结合可证.【解析】(1)f(x)2x，依题意f(x)0，x(1,2，即a2x2，x(1,2.上式恒成立，a2.又g(x)1，依题意g(x)0，x(0,1)，即a2，x(0,1).上式恒成立，a2.由得a2.f(x)x22ln x，g(x)x2.(2)证明：由(1)可知，方程f(x)g(x)2，即x22ln xx220.设h(x)x22ln xx22，则h(x)2x1，当h(x)0时，(1)(2x2x2)0，解得x1.令h(x)0，由x0，解得x1.令h(x)0，由x0，解得0x1.列表分析：x(0,1)1(1，)h(x)0h(x)递减极小值递增可知h(x)在x1处有一个最小值0，当x0且x1时，h(x)0，h(x)0在(0，)上只有一个解.即当x0时，方程f(x)g(x)2有唯一解.【方法归纳】研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.【举一反三】2.已知f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不相等的解，求a的取值范围.【解析】(1)F(x)2ax，x0.当a0时，F(x)的递增区间为(，)，递减区间为(0，)；当a0时，F(x)的递减区间为(0，).(2)ax22ln x，x，e，a.设h(x)，则h(x).令24ln x0，得x，h(x)maxh()，h()ln 2，h(e)，数形结合知ln 2a.题型三用导数解决生活中的优化问题【例3】已知某厂生产x件产品的成本为c25 000200xx2(元).(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？【思路分析】本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.【解析】(1)设平均成本为y元，则y200(x0)，y(200).令y0，得x11 000，x21 000(舍去).当在x1 000附近左侧时，y0；在x1 000附近右侧时，y0；故当x1 000时，y取得极小值.由于函数只有一个点使y0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为L500x(25 000200x)300x25 000.所以L(300x25 000)300.令L0，得x6 000，当x在6 000附近左侧时，L0；当x在6 000附近右侧时，L0，故当x6 000时，L取得极大值.由于函数只有一个使L0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品.【方法归纳】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.【举一反三】3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】(1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时，其经过甲地的耗油量为f(x)(x3x8)(0x120)，f(40)17.5(升)，因此从甲地到乙地要耗油17.5升.(2)f(x).又0x120，令f(x)0，解得x80，当0x80时，f(x)0；当80x120时，f(x)0.则当x80时，f(x)取到最小值f(80)11.25(升).因此当汽车以80千米/小时行驶时耗油最少，最少耗油量为11.25升.体验高考(2011山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解析】(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r).由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3),0r2.由于c3，所以c20，当r30时，r.令m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2). 若0m2，即c，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0；当r(m,2)时，y0.所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点.若m2，即3c，当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点.综上所述，当3c时，建造费用最小时r2；当c时，建造费用最小时r.【举一反三】(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)ex(x0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是(e).【解析】设点P的坐标为(x0，e)，则切线l的方程为yee (xx0)，则过点P的l的垂线m的方程为ye(xx0)，令x0，得M(0，ex0e)，所以te，得t(1x0)( )，令t0，得x01，当0x01时，t0，te单调递增；当x01时，t0，te单调递减，所以当x01时，t取最大值，为(e).3.4定积分与微积分基本定理考点诠释重点：定积分的概念、几何意义，会求简单函数的定积分，利用定积分解决一些简单问题.难点：利用定积分求面积，定积分的应用.典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】(1)(ex2x)dx等于()A.1 B.e1 C.e D.e1(2) dx等于()A.2ln 2 B.2ln 2 C.ln 2 D.ln 2(3)设f(x)若f(f(1)1，则a.【思路分析】利用常用函数的求导公式及定积分的性质，找到被积函数的原函数，即可求解.【解析】(1)因为(ex)ex，(x2)2x，所以(e1)(e00)e.故选C.(2)ln 4ln 2ln 22ln 22ln 2ln 2ln 2.故选D.(3)f(1)lg 10，ff(1)f(0)0a3.a31，即a1.【方法归纳】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：若f(x)是偶函数，则若f(x)是奇函数，则【举一反三】1.求下列定积分：(1)(2)(3)【解析】题型二利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y22x与直线y4x所围成的平面图形的面积.【思路分析】首先画出图象，求出它们的交点坐标，选择合适的积分变量，确定积分上、下限，最后求出面积.【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，4)，则S()dx4x()dx18.方法二：S(4y)dy18.【方法归纳