高等数学系列经典学习资料2.6连续函数性质.pdf

华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院 1 1 注意注意 若函数在开区间上连续若函数在开区间上连续 结论不一定成立结论不一定成立 4 闭区间上连续函数的性质4 闭区间上连续函数的性质 定理2 4 5 定理2 4 5 在闭区间上连续的函数 即 在闭区间上连续的函数 即 设设 baCxf x o y ab xfy 1 2 则则 21 ba 使使 min 1 xff bxa max 2 xff bxa 值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 1 1 1 1 最值定理 最值定理 最值定理 最值定理 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院 2 2 例如例如 1 0 xxy 无最大值和最小值无最大值和最小值 x o y 1 1 21 3 1 1 10 1 xx x xx xf x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值 又如 也无最大值和最小值 又如 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院 3 3 baxf在因此 bx o y a xfy 1 2 m M 推论推论推论推论 有界性定理有界性定理有界性定理有界性定理 由定理由定理2 4 5 可知有可知有 max xfM bax min xfm bax bax 故 证证 设设 baCxf Mxfm 有 上有界上有界 2 介值定理 定理 介值定理 定理 零点定理零点定理 baCxf 至少有一点至少有一点 ba 且 使 且 使 x y o a b xfy 0 f 0 bfaf 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院 4 4 定理定理定理定理2 4 6 介值定理介值定理介值定理介值定理 设设 baCxf 且且 Aaf BABbf 则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C 一点一点 ba 证证 作辅助函数作辅助函数 Cxfx 则则 baCx 且且 ba CBCA 0 f 02 1 f 内必有方程的根内必有方程的根 1 2 1 取取 1 2 1 的中点的中点 4 3 x 0 4 3 f 内必有方程的根内必有方程的根 4 3 2 1 可用此法求近似根可用此法求近似根 二分法二分法 4 3 2 1x0 1 在区间在区间 1 0 的中点取 1 0 内至少有 则 则 内至少有 则 则 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院 6 6 0 21 2 xfxff 上连续上连续 且恒为正且恒为正 例例例例2 2 设设设设 xf在在 ba 对任意的对任意的 2121 xxbaxxxf 0 21 xFxF 故由零点定理知故由零点定理知 存在存在 21 xx 0 F即即 21 xfxff 当当 21 xfxf 时时 取取 1 x 或或 2 x 则有则有 21 xfxff 证明证明 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院 7 7 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1 最大最小值定理 最大最小值定理 设设f x 在在 a b 上连续 则 上连续 则 至少存在两点至少存在两点 a b 使当使当x a b 时时 有有f f x f 2 推论推论 有界性定理有界性定理 设设f x 在在 a b 上连续 则 上连续 则 f x 在在 a b 上有界上有界 3 介值定理介值定理 设设f x 在在 a b 上连续上连续 且且f a f b 则则 对任何介于对任何介于f a f b 之间的实数之间的实数c 存在 存在 a b 使使 f c 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院 8 8 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 续续续续 4 介值定理的介值定理的 推论推论1 f x 在在 a b 上连续上连续 M m是是f x 在在 a b 上的最大上的最大 最小值 则 最小值 则 对任何对任何c m c M a b 使使f c 5 推论推论2 根的存在定理根的存在定理 设设f x 在在 a b 上连续上连续 且且f a f b 0 则至少存在一点则至少存在一点 a b 使得 使得f 0 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院 9 9 2 0 aCxf 2 0 aff 证明至少存在证明至少存在 0 a 使使 aff 提示提示 令令 xfaxfx 则则 0 aCx 易证易证 0 0 a 1 1 设设设 一 点 设 一 点 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院1010 4 0 上连续在闭区间xf 1 3 x ex至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的 证 证 2 证明 令 证明 令1 3 x exxf 且且 0 f1 3 e 4 f14 34 e 0 e 根据零点定理根据零点定理 4 0 0 f使原命题得证