近年考研数学三线性代数部分题目整合.pdf

1 线性代数 考研题 线性代数 考研题 第一章第一章 行列式行列式 一 选择题 1 95 若 21321 都是四维列向量 且四阶行列式m 1321 n 3221 则四阶行列式 21321 等于 A nm B nm C mn D nm 二 填空题 1 96 五阶行列式 a aa aa aa aa D 11000 1100 0110 0011 0001 2 97 设n阶矩阵 01111 10111 11011 11101 11110 L L LLLLLL L L L A 则 A 3 99 设随机变量 2 2 1 nnjiXijL独立同分布 2 ij XE 则行列式 nnnn n n XXX XXX XXX Y L LLLL L L 21 22221 11211 的数学期望 YE 4 01 设行列式 2235 0070 2222 0403 D 则第四行各元素余子式之和的值为 5 05 设 321 均为三维列向量 记三阶矩阵 321 A 93 42 321321321 B 如果1 A 那么 B 6 06 已知 21 为 2 维列向量 矩阵 2 2121 A 21 B 若行列式6 A 则 B 第二章第二章 矩阵矩阵 2 一 选择题 1 96 设n阶矩阵A非奇异 2 n A是矩阵A的伴随矩阵 则 A AAA n 1 B AAA n 1 C AAA n 2 D AAA n 2 2 97 设BA 为同阶可逆矩阵 则 A BAAB B 存在可逆矩阵P 使BAPP 1 C 存在可逆矩阵C 使BACC T D 存在可逆矩阵P和Q 使BPAQ 3 98 设 3 nn阶矩阵 1 1 1 1 L LLLLL L L L aaa aaa aaa aaa A 若矩阵A的秩为1 n 则a必为 A 1 B n 1 1 C 1 D 1 1 n 4 01 设 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A 41424344 31323334 21222324 11121314 aaaa aaaa aaaa aaaa B 0001 0100 0010 1000 1 P 1000 0010 0100 0001 2 P 其中A可逆 则 1 B等于 A 21 1 PPA B 2 1 1 PAP C 1 21 APP D 1 1 2 PAP 5 02 设BA 为n阶矩阵 BA分别为BA 对应的伴随矩阵 分块矩阵 BO OA C 则C的伴随 矩阵 C A BBO OAA B AAO OBB C ABO OBA D BAO OAB 6 03 设三阶矩阵 abb bab bba A 若A的伴随矩阵的秩为 1 则必有 A ba 或02 ba B ba 或02 ba C ba 且02 ba D ba 且02 ba 7 04 设n阶矩阵A与B等价 则必有 A 当 0 aaA时 aB B 当 0 aaA时 aB 3 C 当0 A时 0 B D 当0 A时 0 B 8 05 设矩阵 33 ij aA满足 T AA 其中 A为A的伴随矩阵 T A为A的转置矩阵 若 131211 aaa 为三个相等的正数 则 11 a为 A 3 3 B 3 C 3 1 D 3 9 05 设CBA 均为n阶矩阵 E为n阶单位矩阵 若ABEB CAAC 则CB 为 A E B E C A D A 10 06 设A为 3 阶矩阵 将A的第 2 行加到第 1 行得B 再将B的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得C 记 100 010 011 P 则 A APPC 1 B 1 PAPC C APPC T D T PAPC 11 08 设A为n阶非零矩阵 E为n阶单位矩阵 若OA 3 则 A AE 不可逆 AE 不可逆 B AE 不可逆 AE 可逆 C AE 可逆 AE 可逆 D AE 可逆 AE 不可逆 12 09 设BA 均为 2 阶矩阵 BA分别为BA 的伴随矩阵 若3 2 BA 则分块矩阵 OB AO 的伴随矩阵为 A OA BO 2 3 B OA BO 3 2 C OB AO 2 3 D OB AO 3 2 13 09 设PA 均为 3 阶矩阵 T P为P的转置矩阵 且 200 010 001 APPT 若 321 P 3221 Q 则AQQT为 A 200 011 012 B 200 021 011 C 200 010 002 D 200 020 001 14 11 设A为 3 阶矩阵 将A的第二列加到第一列得矩阵B 再交换B的第二行与第三行得单位矩阵 记 100 011 001 1 P 010 100 001 2 P 则 A A 21P P B 2 1 1 PP C 12P P D 1 12 PP 15 12 设A为 3 阶矩阵 P为 3 阶可逆矩阵 且 2 1 1 1AP P 321 P 4 3221 Q 则 AQQ 1 A 1 2 1 B 2 1 1 C 2 1 2 D 1 2 2 二 填空题 1 95 设 4 阶方阵A的秩为 2 则其伴随矩阵 A的秩为 2 98 设矩阵BA 满足EBABAA82 其中 100 020 001 A E为单位矩阵 A为A的伴随 矩阵 则 B 3 98 设BA 均为n阶矩阵 3 2 BA 则 2 1 BA 4 99 设 101 020 101 A 而2 n为正整数 则 1 2 nn AA 5 99 已知ABAB 其中 200 012 021 B 则 A 6 00 设 T 1 0 1 矩阵 T A n为正整数 则 n AaE 7 01 设矩阵 k k k k A 111 111 111 111 且3 A秩 则 k 8 02 设矩阵 32 11 A EAAB23 2 则 1 B 9 03 设n维向量0 0 0 aaa T L T EA T a EB 1 E是n阶单位矩阵 其中A的逆矩阵为B 则 a 10 03 设BA 均 为 三 阶 矩 阵 E三 阶 单 位 矩 阵 已 知BAAB 2 202 040 202 B 则 1 EA 11 04 设 100 001 010 A APPB 1 其中P为三阶可逆矩阵 则 22004 2AB 5 12 06 设矩阵 21 12 A E为 2 阶单位矩阵 矩阵B满足EBBA2 则 B 13 07 设矩阵 0000 1000 0100 0010 A 则 3 A的秩为 14 10 设BA 为 3 阶矩阵 且2 2 3 1 BABA 则 1 BA 15 12 设A为 3 阶矩阵 3 A A为A的伴随矩阵 若交换A的第一行与第二行得到矩阵B 则 BA 三 解答题 1 95 已知三阶矩阵A的逆矩阵为 311 121 111 1 A 试求伴随矩阵 A的逆矩阵 2 97 设A为n阶非奇异矩阵 为n维列向量 b为常数 记分块矩阵 AA I P T 0 b A Q T 其中 A是矩阵A的伴随矩阵 I为n阶单位矩阵 1 计算并化简PQ 2 证明 矩阵Q可逆的充分必要条件是bA T 1 第三章第三章 线性方程组线性方程组 一 选择题 1 96 设有任意两个 n 维向量组 1 m和 1 m 若存在两组不全为零的数 1 m和 k1 km 使 1 k1 1 m k m m 1 k1 1 m k m m 0 则 A 1 m和 1 m都线性相关 B 1 m和 1 m线性无关 C 1 1 m m 1 1 m m线性无关 D 1 1 m m 1 1 m m线性相关 2 97 设向量组 1 2 3线性无关 则下列向量组中 线性无关的是 A 1 2 2 3 3 1 B 1 2 2 3 1 2 2 3 C 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 D 1 2 3 2 1 3 2 22 3 3 1 5 2 5 3 3 97 非齐次线性方程组 AX b 中未知量个数为 n 方程个数为 m 系数矩阵 A 的秩为 r 则 A r m 时 方程组 AX b 有解 B r n 时 方程组 AX b 有唯一解 C m n 时 方程组 AX b 有唯一解 D r m 时仅有零解 B 当 n m 时必有非零解 C 当 m n 时仅有零解 D 当 m n 时必有非零解 10 03 设 1 2 s均为 n 维向量 下列结论不正确的是 A 若对于任意一组不全为零的数 k1 k2 ks 都有 k1 1 k2 2 ks s 则 1 2 s 线性无关 B 若 1 2 s线性相关 则对于任意一组不全为零的数 k1 k2 ks 都有 k1 1 k2 2 ks s C 1 2 s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s D 1 2 s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 11 04 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A O 若 1 2 3 4是非齐次线性方程组 Ax b 的互不相等的解 则对应的齐次线性方程组 Ax 的基础解系 A 不存在 B 仅含一个非零解向量 C 含两个线性无关的解向量 D 含三个线性无关的解向量 12 06 设 1 2 s均为 n 维列向量 A 是 m n 矩阵 下列选项正确的是 A 若 1 2 s线性相关 则 A 1 A 2 A s线性相关 B 若 1 2 s线性相关 则 A 1 A 2 A s线性无关 C 若 1 2 s线性无关 则 A 1 A 2 A s线性相关 D 若 1 2 s线性无关 则 A 1 A 2 A s线性无关 13 07 设向量组 1 2 3线性无关 则下列向量组线性相关的是 A 1 2 2 3 3 1 B 1 2 2 3 3 1 C 1 2 2 2 2 3 3 2 1 D 1 2 2 2 2 3 3 2 1 14 10 设向量组 I r 21 L可由向量组 II s 21 L线性表示 下列命题正确的是 A 若向量组 I 线性无关 则sr B 若向量组 I 线性无关 则sr 7 C 若向量组 II 线性无关 则sr D 若向量组 II 线性无关 则sr n 已知 BA E 试判断 A 的 列向量组是否线性相关 为什么 2 95 k 为何值时 线性方程组 42 4 321 2 321 321 xxx kxkxx kxxx 有唯一解 无解 有无穷多组解 在有解的情况下 求出其全部解 3 96 已知线性方程组 6 1723 1462 032 4321 4321 4321 4321 txxxx xpxxx xxxx xxxx 讨论参数 p t 取何值时 方程组有解 无解 当有解时 试用其导出组的基础解系表示通解 4 98 设已知下列非齐次线性方程组 I II I 33 14 62 321 4321 421 xxx xxxx xxx II 12 112 43 432 4321 txx xxnx sxxmxx 1 求解方程组 I 用其导出组的基础解系表示通解 2 当方程组 II 中的参数 m n s t 为何值时 方程组 I 与 II 同解 5 99 已知线性方程组 8 0 0 0 3 2 2 2 1 2 321 321 xcxbxa cxbxax xxx 1 a b c 满足何种关系时 方程组仅有零解 2 a b c 满足何种关系时 方程组有无穷多组解 并用基础解系表示全部解 6 00 设向量组 1 a 2 10 T 2 2 1 5 T 3 1 1 4 T 1 b c T 试问 满足什么条件时 1 可由 1 2 3线性表出 且表示唯一 2 不能由 1 2 3线性表出 3 可由 1 2 3线性表出 但表示不唯一 并求出一般表达式 7 02 设四元齐次线性方程组 I 为 02 032 4321 321 xxxx xxx 且已知另一四元齐次线性方程组 II 的一个基础解系为 1 2 1 a 2 1 T 2 1 2 4 a 8 T 1 求方程组 I 的一个基础解系 2 当 a 为何值时 方程组 I 与 II 有非零公共解 在有非零公共解时 求出全部非零公共解 8 02 设齐次线性方程组 0 0 0 321 321 321 n n n axbxbxbx bxbxaxbx bxbxbxax L LLLLLLL L L 其中 a 0 b 0 n 2 试讨论 a b 为何值时 方程组仅有零解 有无穷多组解 在有无穷多组解时 求出全部解 并用基础解系表示全部解 9 03 设向量组 I 1 1 0 2 T 2 1 1 3 T 3 1 1 a 2 T 和向量组 II 1 1 2 a 3 T 2 2 1 a 6 T 3 2 1 a 4 T 问 a 为何值时 向量组 I 与向量组 II 等价 a 为何值时 向量组 I 与向量组 II 不等价 10 03 已知齐次线性方程组 0 0 0 0 332211 332211 332211 332211 nn nn nn nn xbaxaxaxa xaxbaxaxa xaxaxbaxa xaxaxaxba L LLLLLLLLLLLLLLLL L L L 其中0 1 n i i a 试讨论 a1 a 2 an和 b 满足何种关系时 1 方程组仅有零解 2 方程组有非零解 在有非零解时 求此方程组的一个基础解系 11 04 设 1 1 2 0 T 2 1 a 2 3a T 3 1 b 2 a 2b T 1 3 3 T 试讨论 a b 为 何值时 1 不能由 1 2 3线性表示 2 可由 1 2 3唯一地线性表示 并求出表达式 3 可由 1 2 3线性表示 但表达式不唯一 并求出表达式 9 12 04 设线性方程组 14 4 2 3 022 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 已知 1 1 1 1 T是该方程组的一个解 试求 1 方程组的全部解 并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 2 该方程组满足 x 2 x 3的全部解 13 05 已知齐次线性方程组 i 0 0532 032 321 321 321 axxx xxx xxx 和 ii 0 1 2 0 32 2 1 321 xcxbx cxbxx 同解 求 a b c 的值 14 06 设 4 维向量组 1 1 a 1 1 1 T 2 2 2 a 2 2 T 3 3 3 3 a 3 T 4 4 4 4 4 a T 问 a 为何值时 1 2 3 4线性相关 当 1 2 3 4线性相关时 求一个极大线性无关组 并将 其余向量用该极大线性无关组线性表出 15 07 设线性方程组 04 02 0 3 2 21 321 321 xaxx axxx xxx 与方程 x1 2x2 x3 a 1 有公共解 求 a 的值及所 有公共解 16 08 设 n 元线性方程组 AX b 其中 nn aa aa a A 2 1 2 12 2 2 OO O X x1 xn T b 1 0 0 T 1 证明行列式 A n 1 a n 2 a 为何值 方程组有唯一解 求 x1 3 a 为何值 方程组有无穷多解 求通解 17 09 设 240 111 111 A 2 1 1 1 1 求满足 12 A 13 2 A的所有向量 32 2 对 1 中任一向量 32 证明 321 线性无关 18 10 设 11 010 11 A 1 1 a b 已知线性方程组bAx 存在两个不同的解 1 求a 2 求方程组bAx 的通解 19 11 TTT 5 3 1 1 1 0 1 0 1 321 不能由 10 TTT a 5 3 1 3 2 1 1 1 321 线性表出 1 求a 2 将 321 由 321 线性表出 20 12 设 100 100 010 001 a a a a A 0 0 1 1 b 1 求 A 2 已知线性方程组bAx 有无穷多解 求a 并求bAx 的通解 第四章第四章 向量空间向量空间 一 选择题 1 00 设 A 为 n 阶实矩阵 AT是 A 的转置矩阵 则对于线性方程组 AX O 和 ATAX O 必有 A 的解是 的解 的解也是 的解 B 的解是 的解 但 的解不是 的解 C 的解不是 的解 的解也不是 的解 D 的解是 的解 但 的解不是 的解 二 填空题 1 04 设 A a i j 3 3是实正交矩阵 且 a ii 1 b 1 0 0 T 则线性方程组 AX b 的解是 三 解答题 1 01 设 i a i1 a i2 a in T i 1 2 r r n 是 n 维实向量 且 1 2 r线性无关 已 知 b1 b2 b n T是线性方程组 0 0 0 2211 2222121 1212111 nrnrr nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa L LLLLLLL L L 的非零解向量 试判断向量组 1 2 r 的线性相关性 第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量 一 选择题 1 95 n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的 A 充分必要条件 B 充分而非必要条件 C 必要而非充分条件 D 既非充分也非必要条件 2 95 设 2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值 则矩阵 1 2 3 1 A有一特征值等于 A 3 4 B 4 3 C 3 1 D 4 1 3 99 设 A B 为 n 阶矩阵 且 A 与 B 相似 E 为 n 阶单位矩阵 则 A E A E B B A 与 B 有相同的特征值和特征向量 C A 与 B 都相似于同一个对角矩阵 D 对任意常数 t tE A 与 tE B 相似 4 02 设 A 是 n 阶实对称矩阵 P 是 n 阶可逆矩阵 已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向 量 则矩阵 P 1AP T属于特征值 的特征向量是 11 A P 1 B PT C P D P 1 T 5 03 设矩阵 001 010 100 B 已知矩阵 A 相似于 B 则秩 A 2E 与秩 A E 之和等于 A 2 B 3 C 4 D 5 6 05 设 1 2是矩阵 A 的两个不同的特征值 对应的特征向量分别为 1 2 则 1 A 1 2 线性 无关的充分必要条件是 A 1 0 B 2 0 C 1 0 D 2 0 7 10 设A为 4 阶实对称矩阵 且OAA 2 若A的秩为 3 则A相似于 A 0 1 1 1 B 0 1 1 1 C 0 1 1 1 D 0 1 1 1 二 填空题 1 00 若四阶矩阵 A 与 B 相似 矩阵 A 的特征值为 5 1 4 1 3 1 2 1 则行列式 B 1 E 2 00 四阶矩阵 A 相似于 B A 的特征值为 2 3 4 5 E 为四阶单位矩阵 则 B E 3 08 设 3 阶矩阵 A 的特征值 1 2 2 则 4A 1 E 4 08 设 3 阶矩阵 A 的特征值互不相同 若行列式 A 0 则 A 的秩为 5 09 设 TT k 0 1 1 1 1 若矩阵 T 相似于 000 000 003 则 k 三 解答题 1 96 设有 4 阶方阵 A 满足条件 3I A 0 AAT 2B A 0 时 B 为正 定矩阵 4