数学建模、回归分析.pdf

5 回归分析 回归分析是研究一个或多个随机变量与另一 些变量之间的关系的统计方法 应用回归模 型可以进行因果关系分析 预测 优化与控 制等多种目的 回归分析分类 一元回归分析 m n 1 模型 多元回归分析 m 1 n k 1 模型 多重回归分析 m 1 n 1 模型 2 0 yf xN 2 1212 0 kp yf x xxN LL 111 mkp YF xx LL 回归分析的方法与步骤 选定回归函数 对回归函数中的位置参数进行估计 最 小二乘方法 检验有关参数的假设 假设检验 建立回归方程进行预测和控制 12 p L 例例2 水泥凝固时放出的热量水泥凝固时放出的热量y与水泥中与水泥中4种化学成分种化学成分x1 x2 x3 x4 有关 今测得一组数据如下 试确定一个 线性模型有关 今测得一组数据如下 试确定一个 线性模型 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x1 7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10 x2 26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68 x3 6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8 x4 60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12 y 78 5 74 3 104 387 6 95 9 109 2102 7 72 5 93 1 115 983 8 113 3109 4 1 线性关系是否显著 如果显著 则建立线性模型 2 当x 8 30 10 10 时 95 的可能y落在哪个区间 3 是否4种化学成分都对释放的热量有显著影响 4 y还受其他因素影响吗 如x1 x2 yt 1 xt 1 01 1223344 ybb xb xb xb x 2 0123401 1223344 1 n iiiii i Q b b b b bbb xb xb xb xy 线性关系的显著性检验 1 1 n i i yy n 101 112211 01 122 kk nnnkkn ybb xb xb x ybb xb xb x L L L 2 1 n i i Uyy 2 1 n eii i Qyy 记 回归平方和 残差平方和 1 1 e U k FF k nk Qnk 若线性关系不显著 则 1 1 FFk nk F1 k n k 1 时拒绝 H0 F 越大 说明回归方程越显著 与 F 对应的概率 p 时拒绝 H0 回归模型成立 pp xxy 110 matlab多元线性回归 p b 1 0 n Y Y Y Y 2 1 npnn p p xxx xxx xxx X 1 1 1 21 22221 11211 引例引例1的解的解 1 输入数据 输入数据 x 143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164 X ones 16 1 x Y 88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102 2 回归分析及检验 回归分析及检验 b bint r rint stats regress Y X 得到结果 b bint 16 0730 33 7071 1 5612 0 7194 0 6047 0 8340 stats 0 9282 180 9531 0 0000 即 的置信区间为 33 7017 1 5612 的 置 信 区 间 为 0 6047 0 834 r2 0 9282 F 180 9531 p 0 0000 p0 a 0 3 指数曲线指数曲线 bx yae 其中参数 a 0 4 倒指数曲线倒指数曲线 b x yae 其中 a 0 5 对数曲线对数曲线 y a blogx x 0 6 S 型曲线型曲线 x bea y 1 问 题 问 题 建立牙膏销售量与价格 广告投入之间的模型 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了 建立牙膏销售量与价格 广告投入之间的模型 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量 价格 广告费用 及同期其它厂家同类牙膏的平均售价 个销售周期本公司牙膏销售量 价格 广告费用 及同期其它厂家同类牙膏的平均售价 9 260 556 804 253 7030 7 930 055 803 853 8029 8 510 256 754 003 752 7 38 0 055 503 803 851 销售量销售量 百万支百万支 价格差 元 价格差 元 广告费用广告费用 百万元百万元 其它厂家 价格 其它厂家 价格 元元 本公司价 格 本公司价 格 元元 销售 周期 销售 周期 8 综合实例 牙膏的销售量 基本模型基本模型 y 公司牙膏销售量公司牙膏销售量 x1 其它厂家与本公司价格差其它厂家与本公司价格差 x2 公司广告费用公司广告费用 110 xy 2 22210 xxy 55 566 577 5 7 7 5 8 8 5 9 9 5 10 x2 y 0 200 20 40 6 7 7 5 8 8 5 9 9 5 10 x1 y 2 2322110 xxxy x1 x2 解释变量解释变量 回归变量回归变量 自变量自变量 y 被解释变量 因变量 被解释变量 因变量 0 1 2 3 回归系数回归系数 随机误差 均值为零的 正态分布随机变量 随机误差 均值为零的 正态分布随机变量 MATLAB 统计工具箱统计工具箱 模型求解模型求解 b bint r rint stats regress y x alpha 输入输入 x n 4数 据矩阵 数 据矩阵 第第1列为全列为全1向量向量 1 2 221 xxx alpha 置信水平置信水平 0 05 2 2322110 xxxy b 的估计值的估计值 bint b的置信区间的置信区间 r 残差向量残差向量y xb rint r的置信区间的置信区间 y n维数据向量维数据向量 输出 由数据 输出 由数据 y x1 x2估计估计 结果分析结果分析 y的的90 54 可由模型确定可由模型确定 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间 17 3244 5 7282 28 9206 1 3070 0 6829 1 9311 3 6956 7 4989 0 1077 0 3486 0 0379 0 6594 R2 0 9054 F 82 9409 p 0 0000 0 1 2 3 2 2322110 xxxy F远超过远超过F检验的临界值检验的临界值 p远小于 远小于 0 05 2的置信区间包含零点 的置信区间包含零点 右端点距零点很近右端点距零点很近 x2 对因变量对因变量y 的 影响不太显著 的 影响不太显著 x22项显著可将项显著可将x2 保留在模型中保留在模型中 模型从整体上看成立模型从整体上看成立 2 2322110 xxxy 销售量预测销售量预测 价格差价格差x1 其它厂家价格其它厂家价格x3 本公司价格本公司价格x4 估计估计x3调整调整x4 控制价格差控制价格差x1 0 2元 投入广告费元 投入广告费x2 650万元 销售量预测区间为 万元 销售量预测区间为 7 8230 8 7636 置信度 置信度95 上限用作库存管理的目标值上限用作库存管理的目标值下限用来把握公司的现金流 若估计 下限用来把握公司的现金流 若估计x3 3 9 设定 设定x4 3 7 则可以 则可以95 的把握知 道销售额在 的把握知 道销售额在 7 8320 3 7 29 百万元 以上 百万元 以上 控制控制x1通过通过x1 x2 预测预测y 2933 8 2 2322110 xxxy 百万支百万支 模型改进模型改进 x1 和和x2 对对y 的影响独立的影响独立 2 2322110 xxxy 214 2 2322110 xxxxxy 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间 17 3244 5 7282 28 9206 1 3070 0 6829 1 9311 3 6956 7 4989 0 1077 0 3486 0 0379 0 6594 R2 0 9054 F 82 9409 p 0 0000 0 1 2 3 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间 29 1133 13 7013 44 5252 11 1342 1 9778 20 2906 7 6080 12 6932 2 5228 0 6712 0 2538 1 0887 1 4777 2 8518 0 1037 R2 0 9209 F 72 7771 p 0 0000 3 0 1 2 4 x1 和和x2 对对y 的影响有 交互作用 的影响有 交互作用 两模型销售量预测比较两模型销售量预测比较 214 2 2322110 xxxxxy 2 2322110 xxxy 2933 8 y 百万支百万支 区间区间 7 8230 8 7636 区间区间 7 8953 8 7592 3272 8 y 百万支百万支 控制价格差控制价格差x1 0 2元 投入广告费元 投入广告费x2 6 5百万元百万元 预测区间长度更短略有增加预测区间长度更短略有增加 y x2 6 5 x1 0 2 0 200 20 40 6 7 5 8 8 5 9 x1 y 0 200 20 40 6 7 5 8 8 5 9 x1 y 5678 7 5 8 8 5 9 9 5 10 x2 y 5678 8 8 5 9 9 5 10 10 5 x2 y 2 2322110 xxxy 214 2 2322110 xxxxxy 两模型 与两模型 与x1 x2 关系的比较关系的比较 y 交互作用影响的讨论交互作用影响的讨论 2 221 0 6712 07558 72267 30 1 xxy x 价格差价格差 x1 0 1 价格差价格差 x1 0 3 2 223 0 6712 00513 84535 32 1 xxy x 214 2 2322110 xxxxxy 5357